最新全国各地2011届高考数学试题汇编：导数及其应用1.doc

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导数及其应用

题组一

一、选择题

1．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）

求曲线与所围成图形的面积，其中正确的是 （）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据定积分的几何意义，确定积分限和被积函数。

【解析】两函数图象的交点坐标是，故积分上限是，下限是，由于在上，，故

求曲线与所围成图形的面。

【考点】导数及其应用。

【点评】本题考查定积分的几何意义，对定积分高考可能考查的主要问题是：

利用微积分基本定理计算定积分和使用定积分的几何意义求曲边形的面积。

2.（江西省南昌市新建二中、莲塘一中2011届高三上学期12月联考理）

函数的反函数是（）

A．B．

C．Ｄ．

答案D.

3．（安徽省蚌埠二中2011届高三第二次质检文）

已知函数在区间（，1）上有最小值，则函数在区间

（1，上一定（）

A．有最小值 B．有最大值 C．是减函数 D．是增函数

答案D.

开始

输出

结束

是

否

输入

4.（北京市房山区2011年高三上学期期末统练试卷文）阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间内，那么输入实数的取值范围是

（A）

（B）

（C）

（D）

答案B.

二、填空题

5．（安徽省百校论坛2011届高三第三次联合考试理）

已知上有两个不同的零点，则m的取值范围为。

答案

三、简答题

6．（安徽省野寨中学、岳西中学2011届高三上学期联考文）（本小题满分12分）

已知函数．求：

（I）函数的最小正周期；

（II）函数的单调增区间。

答案

7．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）（本小题满分12分）设函数

（1）当时，求的最大值；

（2）令，（），其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；

（3）当，，方程有唯一实数解，求正数的值．

【分析】

（1）函数的定义域是，把代入函数解析式，求其导数，根据求解目标，这个导数在函数定义域内只有一个等于零的点，判断这唯一的极值点是极大值点即可；

（2）即函数的导数在小于或者等于恒成立，分类参数后转化为函数的最值；（3）研究函数是单调性得到函数的极值点，根据函数图象的变化趋势，判断何时方程有唯一实数解，得到所满足的方程，解方程求解。

【解析】

（1）依题意，知的定义域为（0，+∞），

当时，，

（2′）令=0，

解得．（∵）

因为有唯一解，所以，当时，

，此时单调递增；

当时，，此时单调递减。

所以的极大值为，此即为最大值………4分

（2），，

则有≤，在上恒成立，

所以≥，（8′）

当时，取得最大值，

所以≥………8分

（3）因为方程有唯一实数解，

所以有唯一实数解，

设，

则．令，．

因为，，所以（舍去），

，

当时，，在（0，）上单调递减，

当时，，在（，+∞）单调递增

当时，=0，取最小值．（12′）

则既

所以，因为，所以（*）

设函数，因为当时，

是增函数，所以至多有一解．

因为，所以方程（*）的解为，即，

解得．…12分

【考点】导数及其应用。

【点评】本题考查导数在研究函数性质、研究不等式和方程问题中的综合运用，试题的难度不大，但考查点极为全面。

本题的难点是第三问中方程解的研究，当函数具有极值点时，在这个极值点左右两侧，函数的单调性是不同的，这样就可以根据极值的大小，结合函数图象的变化趋势确定方程解的个数，如本题中函数在定义域内有唯一的极值点，而且是极小值点，也就是最小值点，如果这个最小值小于零，函数就出现两个零点，方程就有两个不同的实数解，只有当这个最小值等于零时，方程才有一个实数解，而最小值等于零的这个极小值点满足在此点处的导数等于零，函数值也等于零，即我们的【解析】中的方程组，由这个方程组求解使用了构造函数通过函数的性质得到的方法也是值得仔细体会的技巧。

8.（安徽省蚌埠二中2011届高三第二次质检文）

（本题满分12）设函数。

（1）写出函数的最小正周期及单调递减区间；

（2）当时，函数的最大值与最小值的和为，求的图象、y轴的正半轴及x轴的正半轴三者围成图形的面积。

答案8、

（1）最小正周期，单调递减区间是

（2）

9．（安徽省蚌埠二中2011届高三第二次质检文）

（本小题满分13分）已知函数。

（1）求函数的单调区间；

（2）若恒成立，试确定实数k的取值范围；

（3）证明：

答案

（1）

当时，有，此时上单调递增，

当时，此时单调递增，在上单调递减。

（2）恒成立在恒成立，，

（3）证明略。

10．（安徽省合肥八中2011届高三第一轮复习四考试理）（3分）已知函数

（1）求的单调区间与极值；

（2）若函数上是单调减函数，求实数a的取值范围。

答案

11.（北京市房山区2011年高三上学期期末统练试卷文）（本小题满分14分）

已知函数.

（Ⅰ）若，求曲线在处切线的斜率；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.

答案（本小题满分14分）

解：

（Ⅰ）由已知，………………2分

.

故曲线在处切线的斜率为.………………4分

（Ⅱ）.………………5分

①当时，由于，故，

所以，的单调递增区间为.………………6分

②当时，由，得.

在区间上，，在区间上，

所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

………………8分

（Ⅲ）由已知，转化为.………………9分

………………10分

由（Ⅱ）知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.

（或者举出反例：

存在，故不符合题意.）………………11分

当时，在上单调递增，在上单调递减，

故的极大值即为最大值，，………13分

所以，

解得.………………14分

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