探究圆锥曲线中离心率的问题.doc

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探究圆锥曲线中离心率的问题

离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现，下面给同学们介绍常用的四种解法。

一、直接求出a、c，求解e

已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式来求解。

例1.过双曲线C：

的左顶点A作斜率为1的直线，若与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（）

A. B. C. D.

分析：

这里的，故关键是求出，即可利用定义求解。

解：

易知A（-1，0），则直线的方程为。

直线与两条渐近线和的交点分别为B、C，又|AB|=|BC|，可解得，则故有，从而选A。

二、变用公式，整体求出e

例2.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）

A. B. C. D.

分析：

本题已知，不能直接求出a、c，可用整体代入套用公式。

解：

由（其中k为渐近线的斜率）。

这里，则，从而选A。

三、第二定义法

由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。

例3.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（）

A. B. C. D.

解：

由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F，则轴，知|MF|是通径的一半，则有。

由圆锥曲线统一定义，得离心率，从而选B。

四.构造a、c的齐次式，解出e

根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值，这也是常用的一种方法。

例4.已知、是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）

A. B. C. D.

解：

如图，设的中点为P，则点P的横坐标为，由，由焦半径公式，即，得，有，解得（舍去），故选D。

练一练

设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（D）

A. B. C. D.

解：

由

高考试题分析

1.（2009全国卷Ⅰ）设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（C）

（A）（B）2（C）（D）

解：

渐进线的斜率与抛物线切线的斜率相等。

设切点，则切线的斜率为.由题意有又，

解得:

.

由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即，

2.（2009浙江理）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是（）

A．B．C．D．

答案：

C

【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，，，

因此．

3.（2009浙江文）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（）

A．B．C．D．

【解析】对于椭圆，因为，则

4.（2009山东卷理）设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）.

A.B.5C.D.

【解析】:

双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=,

所以,,故选D

5.（2009安徽卷理）下列曲线中离心率为的是

（A）（B）（C）（D）

[解析]由得，选B

6.（2009江西卷文）设和为双曲线（）的两个焦点,若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为

A．B．C．D．3

【解析】由有,则,故选B.

7.（2009江西卷理）过椭圆（）的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为

A．B．C．D．

【解析】因为，再由有从而可得，故选B

8.（2009全国卷Ⅱ理）已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率（A）

A．B.C.D.

9.（2008福建理11）双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（B）

A.（1,3） B. C.（3,+） D.

利用第二定义及焦半径判断

10.（2008湖南理8）若双曲线（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是（B）

A.（1,2） B.（2,+） C.（1,5） D.（5,+）

解析：

利用第二定义

11.（2008江西理7）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C）

A．B．C．D．

解析：

满足的点总在椭圆内部，所以c

12.（2008全国二理9）设，则双曲线的离心率的取值范围是（B）

A． B． C． D．

13.（2008陕西理8）双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（B）

A． B． C． D．

14.（2008浙江理7）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：

2,则双曲线的离心率是（D）

（A）3（B）5（C）（D）

15.（2008全国二文11）设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为（B）

A． B． C． D．

16.（2008湖南文10）双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（C）

A．B．C．D．

利用焦半径公式及，解不等式即可。

17.（2007全国2理）设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且，则双曲线的离心率为（B）

A． B． C． D．

解

18（07全国2文）．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（D）

A． B． C． D．

19（07江苏理3）．在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为（A）

A．B．C．D．

（注意焦点在轴上）

20．设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（D）

A． B． C． D．

21（07湖南文）．设分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（D）

A． B． C． D．

22（07北京文4）．椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（　D　）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

23.（2009重庆卷文）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为．

【答案】

.解法1，因为在中，由正弦定理得

则由已知，得，即

设点由焦点半径公式，得则

记得由椭圆的几何性质知，整理得

解得，故椭圆的离心率

24.（2009湖南卷理）已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C的离心率为

【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是是虚半轴长，是焦半距，且一个内角是，即得，所以，所以，离心率

25.（2008全国一理15）在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．

26（2010辽宁文数）设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为

（A）（B）（C）（D）

解析：

选D.不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：

，

则一个焦点为

一条渐近线斜率为：

，直线的斜率为：

，，

，解得.

27（2010四川理数）（9）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是

（A）（B）（C）（D）

解析：

由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，

即F点到P点与A点的距离相等

而|FA|＝，|PF|∈[a－c,a＋c]，于是∈[a－c,a＋c]

即ac－c2≤b2≤ac＋c2

∴Þ又e∈（0,1）故e∈

答案：

D

28（2010广东文数）7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是

A.B.C.D.

（2010全国卷1文数）（16）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为.

【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：

“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.

【解析1】如图，,

作轴于点D1,则由，得

所以,

即,由椭圆的第二定义得

又由,得

【解析2】设椭圆方程为第一标准形式，设，F分BD所成的比为2，，代入

，

（2010全国卷1理数）

（2010辽宁理数）（20）（本小题满分12分）

设椭圆C：

的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.

（I）求椭圆C的离心率；

（II）如果|AB|=，求椭圆C的方程.

解：

设，由题意知＜0，＞0.

（Ⅰ）直线l的方程为，其中.

联立得

解得

因为，所以.

即

得离心率.……6分

（Ⅱ）因为，所以.

由得.所以，得a=3，.

椭圆C的方程为.……12分

（2010全国卷2文数）（22）（本小题满分12分）

已知斜率为1的直线1与双曲线C：

相交于B、D两点，且BD的中点为M（1.3）

（Ⅰ）（Ⅰ）求C的离心率；

（Ⅱ）（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|=17证明：

过A、B、D三点的圆与x轴相切。

【解析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。

（1）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出A,B的关系式即求得离心率。

（2）利用离心率将条件|FA||FB|=17，用含A的代数式表示，即可求得A，则A点坐标可得（1，0），由于A在X轴上所以，只要证明2AM=BD即证得。

（2010江西理数）21.（本小题满分12分）

设椭圆，抛物线。

（1）若经过的两个焦点，求的离心率；

（2）设A（0，b），,又M、N为与不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心为，且△QMN的重心在上，求椭圆和抛物线的方程。

【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。

（1）由已知椭圆焦点（c,0）在抛物线上，可得：

，由

。

（2）由题设可知M、N关于y轴对称，设,由的垂心为B，有

。

由点在抛物线上，，解得：

故，得重心坐标.

由重心在抛物线上得：

，，又因为M、N在椭圆上得：

，椭圆方程为，抛物线方程为。

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