综合法与分析法.doc

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证明不等式的基本方法¾¾综合法与分析法

班级________姓名____________

1.已知a＞0,a-b+c＜0,其中a,b,c均为实数,则一定有（）

A.b2-4ac＞0B.b2-4ac≤0C.b2-4ac＜0D.b2-4ac≥0

2.正数a,b,c,d满足a+d=b+c,|a-d|＜|b-c|,则有（）

A.ad=bcB.ad＜bcC.ad＞bcD.ad与bc大小不确定

3.设a,b,c是正数,且ab+bc+ca=1,则下列不等式正确的是（）

A.a2+b2+c2≥2B.（a+b+c）2≥3C.≥6D.a+b+c≤

4.已知a+b+c=0,求证:

ab+bc+ca≤0

5.设x＞0,y＞0,证明不等式:

＞

6.已知a,b,c∈R+,用综合法证明:

2（a3+b3+c3）≥a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）

7.已知a＞0,b＞0,a+b=1,求证:

≤2

8.已知m,n∈R+,求证:

≥

9.已知a,b,c为正数,求证:

≥a+b+c

10.若a,b,c是正数,且a+b+c=3,求证:

≤3

参考解答

1.A2.C3.B

4.证法一：

（综合法）∵a+b+c=0∴（a+b+c）2=0

展开得：

∴ab+bc+ca≤0

证法二：

（分析法）要证ab+bc+ca≤0∵a+b+c=0

故只需证ab+bc+ca≤（a+b+c）2

即证：

即：

显然成立

∴原式成立

证法三：

∵a+b+c=0∴-c=a+b

∴ab+bc+ca=ab+（a+b）c=ab-（a+b）2=-a2-b2-ab

=

5.证法一：

（综合法）∵

∵x＞0,y＞0,∴

证法二：

（分析法）所证不等式即：

即

即

只需证

∵成立

∴

6.∵a3+b3-a2b-b2a=（a-b）2（a+b）≥0

∴a3+b3≥a2b+b2a,同理b3+c3≥b2c+c2b,c3+a3≥c2a+a2c

相加得2（a3+b3+c3）≥a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）（注:

原题有误）

7.证法一:

（分析法）由已知a＞0,b＞0,a+b=1,要证≤2

只需证≤4即a+b+1+2≤4

即≤1只需证ab≤

∵ab≤=成立,因此原不等式成立

证法二:

（综合法）∵≤,≤,

相加得≤=2得证

8.∵m,n∈R+,∴要证≥只要证≥

而≥故只要证≥即≥（*）

只要证≥1

由（*）式的对称性,不妨设m≥n＞0,则m-n≥0,≥0,从而≥1成立

因此,原不等式成立

9.∵a,b,c为正数,∴≥2a,≥2b,≥2c,

相加得+≥2（a+b+c）≥2c即≥a+b+c

10.∵a,b,c是正数,且a+b+c=3,

∴≤,≤,≤

相加得≤

即≤