年高考数学试题全国理及答案.doc
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1989年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题
考生注意：
这份试题共三道大题（24个小题），满分120分.
一．选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分）
1．如果I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中I是全集，那么等于（A）
（A）（B）{d}（C）{a,c}（D）{b,e}
2．与函数y=x有相同图象的一个函数是（D）
（A）（B）（C）（D）
3．如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（C）
（A）（B）（C）（D）
4．的值等于（A）
（A）-1（B）（C）（D）
5．已知是等比数列，如果且的值等于（B）
（A）8（B）16（C）32（D）48
6．如果的值等于（C）
（A）（B）（C）（D）
7．设复数z满足关系式，那么z等于（D）
（A）（B）（C）（D）
8．已知球的两个平行截面的面积分别为5和8，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是（B）
（A）4（B）3（C）2（D）5
9．已知椭圆的极坐标方程是那么它的短轴长是（C）
（A）（B）（C）（D）
10．如果双曲线上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的右准线的距离是（D）
（A）10（B）（C）（D）
11．已知如果那么（A）
（A）在区间（-1，0）上是减函数（B）在区间（0，1）上是减函数
（C）在区间（-2，0）上是增函数（D）在区间（0，2）上是增函数
12．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（C）
（A）60个（B）48个（C）36个（D）24个
二．填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果.）
13．方程的解集是_________________
答案：
或
14．不等式的解集是____________________ 答案：
15．函数的反函数的定义域是_____________ 答案：
（-1，1）
16．已知那么____答案：
-2
17．已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是A的_______条件;的______条件
答案：
必要，必要（注：
仅答对一个结果的，只给2分）
A
O
B
18．如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A、B两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB与轴之间的距离等于________________答案：
三．解答题（本题满分60分，共6个小题.）
19．（本小题满分8分）
证明：
证：
20．（本小题满分10分）
如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=
（Ⅰ）求证：
顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上;
（Ⅱ）求这个平行六面体的体积
A1B1
DC
ND1C1O
AMB
（Ⅰ）证：
连结A1O，则A1O⊥底面ABCD作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连结A1M，A1N
由三垂线定理得A1M⊥AB，A1N⊥AD∵∠A1AM=∠A1AN，
∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA∴A1M=A1N∴OM=ON
∴点O在∠BAD的平分线上
（Ⅱ）∵AM=AA1∴AO=AM
又在职Rt△AOA1中，A1O2=AA12-AO2=
∴A1O=∴平行六面体的体积V=
21．（本小题满分10分）
AY
C
OX
自点A（-3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线L所在直线的方程
解：
已知圆的标准方程是
（x-2）2+（y-2）2=1,
它关于x轴的对称圆的方程是（x-2）2+（y+2）2=1,
设光线L所在直线的方程是y-3=k（x+3）（其中斜率k待定）
由题设知对称圆的圆心（2，-2）到这条直线的距离等于1，即
故所求的直线方程是
即3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0.
22．（本小题满分12分）
已知试求使方程有解的k的取值范围
解：
由对数函数的性质可知，原方程的解x应满足
当
（1），
（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解
由
（1）得
当k=0时，由a>0知（4）无解，因而原方程无解
当k≠0时，（4）的解是把（5）代入
（2），得
解得：
综合得，当k在集合内取值时，原方程有解
23．（本小题满分10分）
是否存在常数a,b,c使得等式
对一切自然数n都成立？
并证明你的结论
解：
假设存在a,b,c使题设的等式成立，这时，n=1,2,3得
于是，对n=1,2,3下面等式成立：
记
设n=k时上式成立，即
那么
也就是说，等式对n=k+1也成立
综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设的等式对一切自然数n成立
24．（本小题满分10分）
设f（x）是定义在区间上以2为周期的函数，对,用表示区间已知当时，f（x）=x2.
（1）求f（x）在上的解析表达式;
（2）对自然数k,求集合不等的实根}
解：
（1）∵f（x）是以2为周期的函数，∴当时，2k也是f（x）的周期
又∵当时，，
∴即对，当时，
（2）当且时，利用
（1）的结论可得方程
上述方程在区间上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足
由
（1）知a>0，或a<-8k.
当a>0时：
因2+a>2-a，故从
（2），（3）
可得即
当a＜-8k时：
易知无解，综上所述，a应满足故所求集合
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