第四章点运算chen教材Word文档格式.docx

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我们可将光度学标定作为图像数字化的软件方（面）。

对比度增强在一些数字图像中，感兴趣的特征仅占据整个灰度级相当窄的一个范围。

点运算可以扩展感兴趣特征的对比度使之占据可显示灰度级的更大部分。

该方法有时称为对比度增强（contrastenhancement）或对比度扩展（contraststretching）。

显示标定一些显示设备有能使图像视觉特征突出的优选从度范围。

用这样的显示设备时，数字图像中具有相同对比度的较暗和较亮的特征，在显示时却不能同样好地表现出来。

在这种情况下，用户可利用点运算让感兴趣的所有特征显示同样突出。

许多显示设备不能保持数字图像上像素的灰度值和显示屏幕上相应点的亮度之间的线性关系。

同样地，许多胶片记录仪不能线性地将灰度值转换为光密度。

这—缺点可以通过在图像显示之前，先进行经合理设计的点运算来克服。

另外，可将点运算和显示非线性组合起来互相抵消．以保持在显示图像时的线性关系。

此过程被称为显示标定（displaycalibration）。

有时，特殊的非线性显示关系对于图像的恰当描述是有价值的。

电视机或CRT显示器的γ值就是旨在利用这种非线性（称为γ校正）。

点运算可纠正或调整显示的γ值。

点运算有时被看作强化细节或增加图像某些部分的对比度的图像处理步骤。

然而，因为信息其实是包含在数字图像中的，所以，真正做的工作是使感兴趣部分的灰度级与显示设备的对比度范围匹配起来。

因此，我们可以认为显示标定和对比度增强是数字图像显示的软件方（面）。

轮廓线点运算可为图像加上轮廓线。

可以用点运算方法进行阈值化，根据灰度级可将一幅图像划分成一些不连接的区域．有助于在后续运算中确定边界或用于定义掩模。

裁剪因为数字图像通常以整数格式存储，所以，可用的灰度级范围是有限的。

对于8比特图像，在每个像素值被存储之前，输出灰度级一定要被裁剪到0-255的范围之间。

在本章，我们假定每个点运算之后有一个裁剪步骤将负值置为0，并限制正值不超过灰度级最大值Dm。

4.1.2点运算的种类

为方便起见，我们将点运算分为不同的类别。

4.1.2.1线性点运算

首先考虑输出灰度级与输入灰度级呈线性关系的点运算。

在这种情况下，灰度变换函数形式为：

（2）

其中，DA为输入点的灰度值，DB为相应输出点的灰度值（图4-1）。

显然，如果a＝1和b＝0，只需将A（x，y）复制到B（x，y）即可。

如果a>

1，输出图像的对比度将增大。

若a<

1，则对比度将减小。

若a＝1而b≠0，操作仅使所有像素的灰度值上移或下移。

其效果是使整个图像在显示时更暗或更亮。

如果a为负值，暗区域将变亮，亮区域将变暗，点运算完成了图像求补

图4-1线性点运算

4.1.2.2非线性点运算

下面将讨论非减灰度变换函数——它们处处有着有限的正斜率。

这类函数保留了图像的基本外貌，但并不限于线性运算。

非线性点运算可根据其对中间范围的灰度级的运算而进行分类。

图4-2表示一类灰度变换函数，它增加中间范围像素的灰度级而只使暗像素和亮像素做较小改变。

这种灰度变换函数的例子如下：

（3）

图4-2非线性点运算

其中，Dm为灰度级的最大值，参数C定义了中间灰度范围内的增加（C>

0）或减少（C<

0）量（程度）。

第二种类非线性单调点运算用降低较亮或较暗物体的对比度来加强灰度级处于中间范围的物体的对比度。

这样一个S形的灰度变换函数在中间部分的斜率大于1，而两端处斜率小于1。

例如，基于正弦函数的变换为：

0<

α<

1（4）

其中，灰度级范围从0到DM，该范围中，直方图非零。

参数a越大上述效果越明显。

第三类非线性单调点运算是压低在中间灰度级处的对比度而在较亮和较暗部分的对比度将加强。

该灰度变换函数在中间处的斜率小于1，而在靠近两端处斜率大于1。

基于正切函数的例子如下：

0<

（5）

同样，参数a决定点运算的效果。

4.2点运算和直方图

前面的讨论假定点运算以可预见的方式改变灰度级直方图。

现在我们来讨论在已知输人图像直方图和灰度变换函数形式的前提下，如何预测输出图像直方图的问题。

有两个原因使得以上这种能力十分有用。

首先，据此可设计一个点运算，将输出灰度级范围放大到指定的程度或产生特定形式的输出直方图。

其次，这种性质使我们更深入地理解点运算对一幅图所产生的效果：

当人们设计点运算时．这种深人理解无疑是十分有用的。

4.2.1输出直方图

假定有一输入图像A（x，y），经过由灰度变换函数f（D）所定义的点运算处理后，产生输

出图像B（x，y）。

已知输入图像的直方图HA（D），我们希望得到输出图像直方图的表达式。

任一输出像素的灰度值可由下式得到：

（6）

其中，DA是相应的位置输入像素的灰度值。

至此，我们假定f（D）是斜率有限的非减函数，因此其反函数存在，我们可以得到：

（7）

以后的讨论将围绕这个限制展开。

图4-3点运算对直方图的影响

图4-3显示了输入直方图、灰度变换函数以及输出直方图之间的关系。

灰度值DA转换为DB；

同样，灰度级范围

转换为

。

而见，在灰度级DA到

之间的所有像素将转化到灰度级DB到

之间。

因此，灰度级DB到

之间的输出像素的个数等于灰度级DA到

之间的输入像素的个数。

这意味着HD（D）在

之间的面积与HD（D）在

之间的面积相等，即：

（8）

如果使

适当地小，则

也将很小，因此可以用矩形面积来积分近似

（9）

则输出直方图的值为

（10）

当

趋近于0时取极限。

因为f（D）处处存在非零的斜率，

也趋近于0，从而得到

（11）

由于DB可由公式（6）得到，将之代人可得：

（12）

这样，我们得到一个混合的含有独立变量的方程：

DB在等式左边，而DA在等式右边。

通过将等式（7）定义的反函数代人可解决这个问题。

由此可得到一般形式：

（13）

其中

（14）

在（13）、（14）中下标被删去了

4.2.2举例

4.2.2.1线性点运算

考虑式

（2）所给出的点运算。

我们注意到其导数为a，反函数为：

（15）

将式（13）代人可得：

（16）

注意到若b>

0，则直方图向右平移，若b<

0，则直方图向左平移。

同样a>

1使直方图变宽但其幅值相应减少，这样可使直方图下的面积保持不变。

而a<

1时的情况则正好相反。

为了分析线性点运算的效果，我们假定输入直方图为高斯函数，并由下式给出

（17）

如图4-4，将等式（16）代人可得：

（18）

如图中所示。

输出直方图也是高斯函数，但峰值位置移到c+b/a，宽度（在1/e处）为原来的a倍，而高度为原来的1/a。

图4-4线性点运算对高斯直方图的影响

4.2.2.2二阶点运算

第二个例子考虑平方点运算

（19）

设输入图像的直方图为

（20）

它是高斯函数的右半部，如图4-5所示。

图4-5平方点运算

利用等式（13），我们可得到输出直方图为

（21）

如图4-6所示

图4-6平方点运算得到的输出直方图

4.2.2.3S形变换

第三个例子考虑用式（4）对一幅具有双峰的直方图进行正弦拉伸。

设图像直方图为：

（22）

如图4-7（b）所示。

这是一幅典型的背景很暗而物体具有高灰度值的图像。

图4-7正弦拉伸示例：

（a）变换函数；

（b）输入直方图；

（c）反变换函数；

（d）输出直方图

解等式（4）求得反函数为

（23）

变换函数的导数为

（24）

代入等式（13）得到输出直方图如图4-7（d）所示。

注意经过点运算，两峰之间的距离增加了。

4.2.3一般情形

推导式（13）的过程中，我们假定f（D）处处均存在有限的、非零的斜率。

然而，如果f（D）在一定间隔内斜率为零，则HA下的有限面积将迫近HB，产生一个宽度为无穷小的一条带，即一个尖峰，这点也可从式（13）中得到。

另一方面，如果f（D）存在无穷大的斜率．就会出现相反的情形：

HA下对应的宽度为无穷小的带在HB下将被扩展为一定的宽度，但输出直方图的幅值将趋近于无穷小。

因此．图4-3中的构架在这两种特殊情况下都是有效的，输直方图将按式（13）所表明的那样。

如果灰度变换函数f（D）不是一个单调函数，则它的反函数不存在，式（13）不能被直接使用。

但可将输入灰度级范围分成互不衔接的几段，使每一段上可应用以上介绍的技术。

这种方法将输人图像分成了相邻的、互不衔接的几部分，整个图像的输出直方图为各个部分变换后的直方图之和。

4.3点运算的应用

4.3.1直方图均衡化

假定我们希望点运算使一输入图像转换为在每一灰度级上都有相同的像素点数的输出图像（即输出的直方图是平的）。

这对于在进行图像比较或分割之前将图像转化为一致的格式将是十分有用的。

经过均衡化后，在每一灰度级的像素个数为Dm/Ao，其中Dm是灰度级的最大值，A0是图像的面积。

图4-8表示三幅图像，以及它们的归一化直方图和归一化面积函数。

左边和中间的图像表明其直方阁被拉平了。

图4-8直方图平均化和直方图匹配

从等式（13）可知，输出直方图是两个同一自变量的函数的比值。

显然，如果分子和分母的函数相同，仅差一比例常数，也就是说、如果：

（25）

则该比值将为常数，对等式（25）的两边进行积分，我们发现只要下式成立，该条件即可被满足：

（26）

从第5章中可知．图像的概率密度函数（PDF）是被归一化到单位面积的直方图，即

（27）

其中，H（D）是直方图，A0是图像的面积。

我们知道一幅图像的累积分布函数（CDF）是其面积归一化的阈值面积函数：

（28）

因此，CDF就是能使直方图变平的点运算，即：

（29）

而图4-8中的直方图均衡化变换函数（GST）将是：

（30）

CDF是一个性质特别好的函数，因为它是非负的，且处处存在非负、有限的斜率。

经过直方图均衡化的点运算处理后，实际的直方图将呈现参差不齐的外形，这是由于灰度级的可能个数有限造成的。

在一些灰度级处可能没有像素，在另外—些灰度级处则像素很拥挤。

图4-9表示直方图均衡化的一个例子。

图4-9直方图均衡化

4.3.2直方图匹配

有时，需对一幅图像进行变换，使其直方图与另一幅图像的直方图或特定函数形式的直方图相匹配。

例如，同一场景在不同的光照条件下被数字化为两幅图像，在对这两幅图像进行比较之前，就可用这种变换。

在图4-8中，假定我们希望将图像A（x，y）变换为具有特定直方图H3（D）的图像C（x，y）。

这可分两步完成，首先利用点运算函数f（D）将A（x，y）变换为上述的平坦直方图的图像B（x，y），然后，通过第二个函数点运算g（D），将B（x，y）变换为C（x，y），也就是：

（31）

从等式（30）可得为了产生B（x，y）所需要的条件。

而且，我们知道点运算：

（32）

会使C（x，y）成为一幅具有平坦直方图的图像。

它正是我们要做的事的反面。

将式（32）中的B（x，y）的表达式代人式（31），我们就可得到第二个点运算如下

（33）

这就是说，顺序地先应用DmP3（D），接着再应用g（D），作点运算，其净效果将为零。

因此，g（D）应是DmP3（D）的反函数，也就是说：

（34）

现在，如果希望从A（x，y）一步得到C（x，y），我们可将两个点运算合在一起．即：

（35）

注意，将式（30）和式（34）代入式（35）后．Dm将不再存在。