高三理科数学三角函数解题方法例子[1].doc

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唐竽汉

三角函数唐竽汉

唐竽汉

唐竽汉

【教学内容】唐竽汉

三角函数中的给角求值、给值求值、三角函数式的化简、三角恒等式和条件等式的证明以及在三角形中的三角恒等变换及求值等内容。

【教学目标】

1、给角求值问题关键是正确地选用公式化一般角为特殊角求值，而把非特殊角的三角函数相约或相消；给值求值是附有条件的求值问题，关键是寻找已知条件与所求三角式之间的角、运算及函数名称之间的区别和联系，可将已知式进行适当变换，向所求式转化，或将所求的三角式进行变换，再把已知式代入进行计算。

2、三角函数式的化简关键是能正确运用三角公式，采用切、割化弦、通分、平方降次、1的代换等思想方法来进行化简；三角条件等式的证明关键是要比较等式两端的特征，用分析法或综合法寻找正确的证明途径，通过三角恒等变换、变角变次变名称，达到使等式两端“异”转化为“同”，或“繁”转化为“简”的目的。

3、在三角形中，勾股定理、正弦定理、余弦定理是基础，同时注意到三角变换公式，特别是几组常见的三角形中的恒等关系式，利用它们可以灵活地进行边角转换、研究三角形的边（角）关系、判断三角形的形状。

【知识讲解】

例1：

求的值

解：

例2：

已知tan（α-β）=1/2,tanβ=-1/7且α、β∈（0，π）求2α-β的值。

分析：

要求2α-β的值，只需要先求出角2α-β的某一个三角函数值，再结合2α-β的范围来确定该角的大小，但是由于条件中所给角α、β的范围较大，但α、β实际上仅仅是一个确定的角，所以解这类习题常常需要先根据已知条件把角的范围进一步缩小，最好能使2α-β恰好在所求的三角函数的某一单调区间内，否则若2α-β的范围过大往往会出现多解，从而把不满足条件的角也包含进去了。

解：

tanα=tan[（α-β）+β]=，∴α∈（0，）

tanβ=-∴β∈（π），∴2α-β∈（-π，0）

tan2（α-β）=

∴tan（α-β）=tan[2（α-β）+β]==1所以2α-β=-

例3：

已知tan2θ=-2，θ∈（），求：

的值。

解：

原式=

∵tan2θ=-2,2θ∈（,π）,令2θ终边上一点为的坐标P（x,y）,设y=2,x=1,则r=3

∴cos2θ=,sinθ=

所以原式=

例4：

化简：

解：

∵tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanαtanβ）

说明：

这里实际上是运用的两角和（差）的正切公式tan（α+β）=变形，把tanα+tanβ用α+β的正切及tanα·tanβ来表示，这类问题在三角求值问题中也常遇到，如求tan（15°-α）tan（75°-α）+tan（15°-α）·tan2α+tan（75°-α）·tan2α的值等等。

例5：

已知，且，求cosα

解：

∵sinα+sin3α=2sin2α·cosαcosα+cos3α=2cos2α·cosα

∴sin2αsinα=-4cosα·cos2α∵∴cosα≠0

∴2sin2α=-cos2α即3cos2α=1∴cosα=-

例6：

已知5sinβ=sin（2α+β）,求证

分析：

从角的关系入手，首先考虑结论中的两个角是α+β，α，而已知条件中的两个角可以用α+β，α来表示，然后再运用两角和差的正余弦公式即可。

证明：

∵5sinβ=sin（2α+β）

∴5sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]

∴5sin（α+β）cosα-5cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα

即4sin（α+β）cosα=6cos（α+β）sinα

∴

例7：

在ΔABC中，已知sinA=3/5,cosB=5/13，求cosC的值。

分析：

由于三角形内角和为180°,所以求cosC的值即求-cos（A+B）的值，由cosB=5/13可知sinB=12/13但由sinA=3/5可得cosA=±4/5，在这里到底是两种情形都存在，还是只有一种情形，我们要加以判别，这是此题的关键所在。

方法一：

∵sinA=∈∴A∈（30°，45°）∪（135°，150°）

又cosB=∴B∈（60°,90°），此时若A∈（135°,150°）

则A+B>180°不能构成三角形，A∈（30°,45°）

∴cosC=cos（180°-A-B）=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=16/65

方法二:

∵sinA=3/5,∴cosA=±4/5cosB=5/13∴sinB=12/13

⑴若cosA=-4/5,则sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=-33/65<0不合题意

⑵若cosA=4/5,则cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=16/65,综上所述：

cosC=16/65

例8：

求函数f（x）=的最大值。

分析：

此题看上去似乎是一个代数中无理函数求最值的习题，但直接假设是不可能求出解的，这时我们可以先注意函数f（x）的定义域x∈[-2,2]，即x/2∈[-1,1]，由三角函数的性质可以设x/2=cosθ,θ∈[0,π],这样就把代数最值问题转化为三角最值问题了，从而使问题很快解决。

解：

∵4-x2≥0∴-2≤x≤2,令x=2cosθθ∈[0,π]

则f（x）=cosθ-2+=2sinθ+cosθ-2=sin（θ+φ）-2

其中tanφ=1/2,φ=arctan1/2,此时arctan1/2≤θ+φ≤π+arctan1/2

∴sin（θ+ф）的最大值为1

当θ+φ=π/2即θ=π/2-arctan1/2时“=”成立

∴f（x）≤-2即f（x）的最大值为-2

【每周一练】

一、选择题：

1、若tan（α+β）=2/5tan（β-π/4）则tan（α+π/4）的值为（）

A、B、C、D、

2、ΔABC中，A>B是sinA>sinB的（）

A、充分不必要条件B、必要不充分条件

C、充要条件D、既不充分也不必要条件

3、已知tanα=1/7,tanβ=1/3,α、β均为锐角，则α+2β的值是：

（）

A、B、C、D、

4、已知cotα=2，tan（α-β）=-，则tan（β-2α）等于（）

A、B、-C、C、-

5、若sin4θ+cos4θ=1，则sinθ+cosθ的值是（）

A、1B、-1C、-1和1D、以上均不正确

6、已知且α、β满足，则tanβ等于（）

A、B、C、D、

7、（其中）的值为（）

A、4B、-4C、2D、-2

8、函数y=3sin（x+20°）+5sin（x+80°）的最大值是：

（）

A、B、C、7D、8

9、在ΔABC中，若sin（A+B）sin（A-B）=sin2C，则ΔABC的形状是（）

A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、等腰三角形

10、若，且，则cos2α的值是（）

A、B、C、D、或

11、设，k∈Z，T=.则T为（）

A、正值B、非负值C、负值D、可正可负

二、填空题：

12、已知且0≤x≤p，则tanx=

13、

14、

15、若，则

16、化简3+tan（A+60°）tan（A-60°）+tanA·tan（A+60°）+tanA·tan（A-60°）为

17、若α是第二象限的角，且则=

18、ΔABC，若cosA·cosB+sinA·cosB+cosA·sinB+sinA·sinB=2,则ΔABC是

19、=

三、解答题：

20、已知，求的值。

21、化简：

22、已知θ为锐角，并且sinθ-cosθ=1/2,求1-sinθ+sin2θ-sin3θ+…的值

23、已知的值

24、ΔABC中，若tanA、tanB是方程x2+mx+1=0的两个根，

（1）求tan（A+B）；

（2）求实数m的取值范围。

25、已知圆o的半径为R，它的内接三角形ABC中2R（sin2A-sin2C）=（a-b）sinB成立，求SΔABC的最大值。

26、对于任一实数a，设y=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为f（a）

（1）求f（a）

（2）若f（a）=求：

a

【每周一练答案】

一、选择题

1、B2、C3、A4、B5、C6、D7、B8、C9、C10、C11、A

二、填空题

12、0或13、-14、2-15、3-216、0

17、-118、等腰直角三角形19、1

三、解答题

20、21、

22、解：

sinθ∈（0，1）∴-sinθ∈（-1,0）

原式=，又由sinθ-cosθ=得tanθ/2=

∴原式=

23、由条件知cosx-sinx=cosx+sinx=,∴cosx=-,sinx=

∴tanx=7∴原式=

24、

（1）tan（A+B）=1

（2）由题意知0

25、

26、

（1）f（a）=

（2）a=-1

高三数学----三角函数续

【教学内容】

三角函数

【教学目标】

1、学习三角函数，首先要牢固掌握三角函数的定义、性质、图象等基础知识，并熟练掌握和、差、倍、半以及和差化积、积化和差公式。

2、要熟练掌握三角函数的定义，三角函数值的符号，掌握同角三角函数的三种关系及诱导公式，并能运用它求任意角的三角函数值。

3、熟练掌握基本三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx的定义域；并能结合代数函数定义域的求法，求出与三角函数有关的函数的定义域。

了解单位圆中的正、余弦线，并用它来求简单三角不等式的解集。

4、三角函数的单调区间是定义域的子集，应在确定定义域后再求出单调区间；而比较三角函数值的大小，通常是转化为在同一单调区间的两个同名函数值的大小比较问题。

5、了解周期函数及最小正周期的意义，会计算y=Asin（ωx+φ）＋Ｋ或可以化为此类型的三角函数的周期；掌握由y=sinx到y=Asin（ωx+φ）的图象的变换方法，并能用“五点法”作出y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象。

6、熟练掌握y=sinx,y=cosx,y=asinx+bcosx的值域；能通过三角变换把三角函数的值域问题转化为代数最值问题，采用观察法、配方法、反函数法、基本不等式法及数形结合法等方法来计算。

【知识讲解】

例1：

α是第二象限角，其终边上一点P（x，），且cosα=x，求sinα的值。

解：

∵OP=∴cosα==x

又α是第二象限角∴x<0

∴x=－则：

sinα=

例2：

若，试判断θ所在的象限。

若原等式成立，则必须满足：

∴θ应为第三象限角

例3：

已知tanα=－2，求的值。

分析：

因为已知条件是角α的正切值为2，而所求的是含sin2α与cos2α的三角式，因此关键是把所求的三角式转化为用tanα来表示，一种办法是把看成分母为1，再把1改写成sin2α+cos2α,然后分子、分母同除以cos2α即可；或是先提取cos2α后，写成tanα的函数，而cos2α又可以由同角三角函数的关系写成：

即

解法一：

原式=

解法二：

原式=

例4：

确定lg（cos6－sin6）的符号。

分析：

要确定lg（cos6－sin6）与0的大小关系，关键的是要比较cos6－sin6与1的大小关系，而我们可以用任意角的三角函数的定义或两角和差的三角函数公式来判断它

们之间的大小。

解法一：

∵cos6－sin6=cos（2π－6）+sin（2π－6）

而2π－6是锐角，在该角的终点上任取一点P，它的坐标为（x,y），则x∈R＋，y∈R+

所以

∴由对数函数的性质可知lg（cos6－sin6）>0。

解法二：

而∴

∴cos6－sin6>1∴lg（cos6－sin6）>0。

例5：

求函数y=tan的最小正周期。

解：

y=tan

∴最小正周期T=π。

例6：

求函数的定义域。

分析：

与代数函数类似，在三角函数求定义域中，我们仍然是从分母不为零，偶次根式的被开方数大于或等于零，对数的底数大于零且不等于１，真数大于零出发去计算；在遇到最简单的不等式如sinx≤a,sinx≥a中求X的范围时，我们应注意充分运用单位圆中的正弦线或余弦线来求，这样就可以避免利用图象求交集时容易发生的错误。

解：

∵≥1∴≥log22

∴≥2

∴

k∈Z

例7：

求函数的定义域。

分析：

这里的关键是如何求区间－4≤X≤4与sinx>0的解集的交集。

sinx>0的解集是一些不连续的区间的并集，要找交集我们可以借助于数轴这一工具，从数轴上去找公共部分。

这种方法在计算复杂的函数的定义域时常常用到。

解：

由16－x2≥0得到－4≤X≤4

由sinx>0知x∈（2kπ，2kπ+π）k∈Z

所以原函数的定义域为

例8：

已知α∈

⑴比较sinα、α、tanα的大小；

⑵比较cosα、cos（sinα）、sin（cosα）的大小。

分析：

这里要比较sinα、α、tanα

的大小，显然不能直接运用三角函数的单

调性，此时我们应注意到在弧度制中，圆

的弧长L=θR,其中θ为圆心角的弧度数,

R为圆的半径,而sinα、tanα又均可以用单

位圆中的有向线段来表示,有向线段的数量就表示角α的正弦值和正切值.这样我们就把问题转化为比较线段及弧的长度的大小了.而它们的大小则可以借助于图形面积间关系来证明,从而使问题得以解决。

   证明：

⑴设角α的终边与单位圆相交于P,过P作PM⊥OX于M,则sin=MP,又设单位圆与X轴正向交于一点A,过A作单位圆的切线,交OP的延长线于点T,则tanα=AT,又劣弧的长等于α,连接PA,∵

∴即：

sinα<α

⑵∵0<α<π/2∴0

由⑴可知:

sin（cosα）cosα,所以sin（cosα）

例9：

如图：

已知函数的一段，求这个函数的解析式。

分析：

对于正弦函数来讲，最高点与最低点间的图象

恰好是半个周期的图象，由此可以确定函数的周期，而要

求初相φ，我们通常是把函数图象的最高点或最低点的坐

标代入，而不把图象与X轴交点的坐标代入，否则就会出

现多解情形，把不符合条件的也包含进去了。

解：

由图象可知A=2，，

∴ω=3/2,令把点（π/6,－2）的坐标代入,得,

得φ=－3π/4。

∴所求函数解析式为

说明:

若把点（π/2,0）代入，则把关于X轴的轴对称图象的解析式也包括进来了，而显然是不满足条件中的。

例10：

求函数的单调增区间。

分析：

这类问题的解法通常都是运用复合函数的单调性来解决的，要求的增区间，只要求函数的减区间，这时要注意两点:

①应把改写成；②注意对数函数的定义域，即u>0，因为任何一个函数的单调区间都是定义域的子集。

解：

令，要求y的增区间，因为单调递减，只要求的减区间，即的增区间，

∴∴≤（k∈Z）

∴（K∈Z）即为所求函数的单调增区间。

例11：

判断函数在区间上的增减性，并加以证明。

解：

，由正弦函数的性质可知，f（x）在上单调递增，在区间上单调递减，其中k∈Z,∴f（x）在上单调递减,下面我们用函数单调性的定义来证明:

令,

∵,

∴∴f（x1）>f（x2）

∴f（x）在上单调递减.

例12:

试判断下列各函数的奇偶性:

⑴⑵

⑶

解:

⑴定义域为k∈Z,且有:

所以函数

为偶函数.

⑵定义域为R，且有:

·cos2x=0，所以函数是奇函数.或:

为奇函数.

⑶首先求函数f（x）的定义域，由于有1+sinx+cosx≠0，

∴，于是

且,k∈Z所以这个函数的定义域是:

在数轴上,这个定义域关于原点不对称,所以它既不是奇函数,也不是偶函数。

说明：

⑴定义域在数轴上关于原点对称，是函数具有奇偶性的必要但不充分条件,所以判定函数的奇偶性时，应首先判断函数的定义域是否关于原点对称。

⑵要注意“恒等变形”常常不是等价变换，所以处理有关函数问题时，对函数式的化简要慎重对侍，如题3，如果作如下化简：

由函数

y=tanx/2是奇函数得出原函数也是奇函数的结论就是错误的，事实上最后的约分步骤是一个非等价变形，因为sinx/2+cosx/2有可能为零，它是导致错误的根本原因。

⑶对于例3,我们还可以这样来处理:

由1+sinx+cosx≠0知X可以取π/2,但X不能取－π/2从而直接说明定义域不关于原点对称,从而说明原函数非奇非偶。

例13：

已知函数f（x）=sinx·cos2θ-sinx·cosθ-3sinx+的最大值为3，

（1）求常数θ的值；

（2）求函数g（x）=（sinx+2cosθ）（sinx+10·cosθ）的最小值及最大值。

解：

（1）f（x）=（cos2θ-cosθ-3）·sinx+

∵cos2θ-cosθ≤2∴cos2θ-cosθ-3<0

∴当sinx=-1时fmax（x）=-cos2θ+cosθ+

由已知得-cos2θ+cosθ+=3即4cos2θ-4cosθ-3=0

∴cosθ=-，θ=2kπ±k∈Z

（2）由

（1）得，cosθ=-，∴g（x）=（sinx-1）（sinx-5）=（sinx-3）2-4

当sinx=1时，gmin（x）=0；当sinx=-1时，gmax（x）=12

例14:

求函数的最大、最小值。

解：

∵1－sinx≥0

∴y≥0,当sinx=1时Ymin=0,当1－sinx>0时,1－sinx+≥2,ymax=1/2

说明:

这是一个关于sinx的分式函数且分母的次数为二次的,用基本不等式求解时应注意基本不等式成立的条件。

若类似于代数函数判别式法求最值时，要注意正弦函数本身的值域，如果分式函数的分子分母的次数均为一次的，如，求最值时我们可以运用基本三角函数y=Asin（ωx+φ）的最值，或运用y=asinx+bcosx的值域，或运用形数结合的方法去处理。

例15：

已知f（x）=cos2x+2psinx+q的最大值为9，最小值为6，求p,q的值。

分析：

f（x）是关于sinx的二次函数，即f（x）=－（sinx－p）2+p2+q+1,令t=sinx,y=－（t－p）2+p2+q+1因为已知Y的最大和最小值，而二次函数的对称轴t=p又在变化，因此要分对称轴在±1的两侧及－1~0之间和0~1间这四种情形来讨论。

解：

f（x）=－sin2x+2psinx+q+1=－（sinx－p）2+p2+q+1

①当p>1时ymax=－1+2p+q+1＝q+2pymin=－（－1）2+2p+q+1=q－2p

由

②当p<－1时,Ymax=q－2p,Ymin=q+2p

由

③当p∈[0,1]时,ymax=p2+q+1,ymin=q－2p

由

④当p∈[－1,0）时,Ymax=p2+p+1,Ymin=q+2p

由

综上所述或

【每周一练】

一、选择题：

1、若θ∈（0,2π），则使sinθ

（）

A、（）B、（）C、（）D、（）

2、已知a=sin，b=sin2，c=cos4，则a、b、c的大小关系是（）

A、c

3、已知f（tanx）=sinx,则f（cotx）等于：

（）

A、cscxB、cosxC、secxD、－sinx

4、已知条件甲：

x是第一象限角；条件乙：

sinx是增函数，则甲是乙成立的（）

A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件

5、已知sinθ/2=4/5且sinθ<0，则θ所在的象限是（）

A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限

6、函数y=2sin（2x+π/3）的图象（）

A、关于原点中心对称B、关于直线x=－π/6对称

C、关于Y轴对称C、关于直线x=π/12对称

7、下列函数中，既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（）

A、y=x2B、y=cos2xC、y=|sinx|D、y=10sin2x

8、函数y=cos（sinx）的值域是：

（）

A、[－1，1]B、[0，1]C、[0,cos1]D、[cos1,1]

9、函数y=lg[cos（2x－π/3）]的单调递减区间为：

（）

A、B、

C、D、

10、已知α在第三、四象限内，sinα=，那么m的取值范围是（）

A、（-1，0）B、（-1，4）C、（-1，）D、（-1，1）

11、函数f（x）的定义域为[0，1]，则函数f（sinx）的定义域是：

（