高中数学解题基本方法换元法.docx
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高中数学解题基本方法换元法
高中数学解题基本方法--换元法
高中数学解题基本方法--换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：
局部换元、三角换元、均值换元等。
局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：
4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y＝＋的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x＋y＝r（r0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。
如上几例中的t0和α∈[0,]。
Ⅰ、再现性题组：
1.y＝sinx?
?
cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设fx＋1＝log4－x（a1），则fx的值域是_______________。
3.已知数列a中，a＝－1，a?
?
a＝a－a，则数列通项a＝___________。
4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。
5.方程＝3的解是_______________。
6.不等式log2－1?
?
log2－2〈2的解集是_______________。
【简解】1小题：
设sinx+cosx＝t∈[－,]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1，当t＝，y＝＋；
2小题：
设x＋1＝tt≥1，则ft＝log[-t-1＋4]，所以值域为－∞,log4]；
3小题：
已知变形为－＝－1,设b＝，则b＝－1,b＝－1＋n－1-1＝－n，所以a＝－；
4小题：
设x＋y＝k，则x－2kx＋1＝0,△＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1；
5小题：
设3＝y，则3y＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1；
6小题：
设log2－1＝y，则yy＋12，解得－2y1，所以x∈log,log3。
Ⅱ、示范性题组：
例1.实数x、y满足4x－5xy＋4y＝5（①式），设S＝x＋y，求＋的值。
（93年全国高中数学联赛题）
【分析】由S＝x＋y联想到cosα＋sinα＝1,于是进行三角换元，设代入①式求S和S的值。
【解】设代入①式得：
4S－5S?
?
sinαcosα＝5
解得S＝；
∵-1≤sin2α≤1∴3≤8－5sin2α≤13∴≤≤
∴＋＝＋＝＝
此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝的有界性而求，即解不等式：
||≤1。
这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。
【另解】由S＝x＋y，设x＝＋t，y＝－t，t∈[－，]，
则xy＝±代入①式得：
4S±55，
移项平方整理得100t+39S－160S＋100＝0。
∴39S－160S＋100≤0解得：
≤S≤
∴＋＝＋＝＝
【注】此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x＋y与三角公式cosα＋sinα＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。
第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S＝x＋y而按照均值换元的思路，设x＝＋t、y＝－t，减少了元的个数，问题且容易求解。
另外，还用到了求值域的几种方法：
有界法、不等式性质法、分离参数法。
和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。
本题设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a＋13b＝5，求得a∈[0,]，所以S＝a－b＋a＋b＝2a＋b＝＋a∈[,]，再求＋的值。
例2．△ABC的三个内角A、B、C满足：
A＋C＝2B，＋＝－，求cos的值。
（96年全国理）
【分析】由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得；由“A＋C＝120°”进行均值换元，则设，再代入可求cosα即cos。
【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得,
由A＋C＝120°，设，代入已知等式得：
＋＝＋＝＋＝＝＝－2,
解得：
cosα＝，即：
cos＝。
【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。
所以＋＝－
＝－2，设＝－＋m，＝－－m，
所以cosA＝，cosC＝，两式分别相加、相减得：
cosA＋cosC＝2coscos＝cos＝，
cosA－cosC＝－2sinsin＝－sin＝，
即：
sin＝－，＝－，代入sin＋cos＝1整理得：
3m－16m－12＝0,解出m＝6，代入cos＝＝。
【注】本题两种解法由“A＋C＝120°”、“＋＝－2”分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。
假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：
由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。
所以＋＝－＝－2，即cosA＋cosC＝－2cosAcosC，和积互化得：
2coscos＝－[cosA+C＋cosA-C，即cos＝－cosA-C＝－2cos－1，整理得：
4cos＋2cos－3＝0,
解得：
cos＝
y
,
－x
例3.设a0，求fx＝2asinx＋cosx－sinx?
?
cosx－2a的最大值和最小值。
【解】设sinx＋cosx＝t，则t∈[-,]，由sinx＋cosx＝1＋2sinx?
?
cosx得：
sinx?
?
cosx＝
∴fx＝gt＝－t－2a＋（a0），t∈[-,]
t＝-时，取最小值：
－2a－2a－
当2a≥时，t＝，取最大值：
－2a＋2a－；
当02a≤时，t＝2a，取最大值：
。
∴fx的最小值为－2a－2a－，最大值为。
【注】此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx?
?
cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。
换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[-,]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错。
本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。
一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为fsinx±cosx，sinxcsox，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。
例4.设对所于有实数x，不等式xlog＋2xlog＋log0恒成立，求a的取值范围。
（87年全国理）
【分析】不等式中log、log、log三项有何联系？
进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。
【解】设log＝t，则log＝log＝3＋log＝3－log＝3－t，log＝2log＝－2t，
代入后原不等式简化为（3－t）x＋2tx－2t0，它对一切实数x恒成立，所以：
，解得∴t0即log0
01，解得0a1。
【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。
为什么会想到换元及如何设元，关键是发现已知不等式中log、log、log三项之间的联系。
在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。
另外，本题还要求对数运算十分熟练。
一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。
例5.已知＝，且＋＝②式，求的值。
【解】设＝＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sinθ＋cosθ＝kx+y＝1,代入②式得：
＋＝＝即：
＋＝
设＝t，则t＋＝,解得：
t＝3或∴＝±或±
【另解】由＝＝tgθ，将等式②两边同时除以，再表示成含tgθ的式子：
1＋tgθ＝＝tgθ，设tgθ＝t，则3t―10t＋3＝0，
∴t＝3或，解得＝±或±。
【注】第一种解法由＝而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。
第二种解法将已知变形为＝，不难发现进行结果为tgθ，再进行换元和变形。
两种解法要求代数变形比较熟练。
在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。
例6.实数x、y满足＋＝1，若x＋y－k0恒成立，求k的范围。
【分析】由已知条件＋＝1，可以发现它与a＋b＝1有相似之处，于是实施三角换元。
【解】由＋＝1，设＝cosθ，＝sinθ，
即：
代入不等式x＋y－k0得：
3cosθ＋4sinθ－k0，即k3cosθ＋4sinθ＝5sinθ+ψ
所以k-5时不等式恒成立。
【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。
一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。
y
x
x＋y－k0
k平面区域
本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：
在平面直角坐标系，不等式ax＋by＋c0a0所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。
此题不等式恒成立问题化为图形问题：
椭圆上的点始终位于平面上x＋y－k0的区域。
即当直线x＋y－k＝0在与椭圆下部相切的切线之下时。
当直线与椭圆相切时，方程组有相等的一组实数解，消元后由△＝0可求得k＝－3,所以k-3时原不等式恒成立。
Ⅲ、巩固性题组：
已知fx＝lgxx0，则f4的值为_____。
A.2lg2B.lg2C.lg2D.lg4
函数y＝x＋1＋2的单调增区间是______。
A.[-2,+∞B.[-1,+∞D.-∞,+∞C.-∞,-1]
设等差数列a的公差d＝，且S＝145，则a＋a＋a＋……＋a的值为_____。
A.85B.72.5C.60D.52.5
已知x＋4y＝4x，则x＋y的范围是_________________。
已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，则＋的范围是____________。
不等式ax＋的解集是4,b，则a＝________，b＝_______。
函数y＝2x＋的值域是________________。
在等比数列a中，a＋a＋…＋a＝2，a＋a＋…＋a＝12，求a＋a＋…＋a。
y
DC
AB
Ox
实数m在什么范围内取值，对任意实数x，不等式sinx＋2mcosx＋4m－10恒成立。
已知矩形ABCD，顶点C4,4，A点在曲线x＋y＝2x0,y0上移动，且AB、AD始终平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积。
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