导数及应用专题复习资料.doc

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得数学者得天下

导数及应用专题复习

知识梳理

1．导函数：

函数在定义内每一个点处的导数是关于的一个函数，这个函数称为的导函数，即有：

。

2．切线的几何意义：

设函数在点处可导，那么它在处的导数等于函数所表示的曲线在相应点处的。

3．函数的单调性：

设函数在某个区间内有导数，如果在这个区间内有，那么在这个区间内为函数；如果在这个区间内有，那么在这个区间内为函数。

4．函数的极值：

设函数在点及其附近有定义，则

⑴如果的值比附近所有点的函数值都大，我们就说是函数的一个；

⑵如果的值比附近所有点的函数值都小，我们就说是函数的一个；

5．求函数极值的一般步骤是：

①求；

②求方程的根；

③检查在方程的根的左右的单调性，如果在根处左增右减，则函数在处取；如果在根处左减右增，则函数在处取。

6．函数的最值：

设是定义在上的函数，在内有导数，求导数在上的最大值与最小值，可分为两步进行：

⑴求在内的极值；

⑵将的各极值与，比较，其中最大的一个为，最小的一个为。

7．函数图象与其导函数图象的关系：

⑴若导函数在内图象位于轴上方，即，则函数在内；若导函数在内图象位于轴下方，即，则函数在内。

⑵若导函数在内单增，则函数在内；若导函数在内单减，则函数在内；即：

增减。

求导公式

①（c为常数）②③④

⑤⑥⑦⑧

⑨⑩

求导法则

①（c为常数）②

③④

典型题型探究

一、导数的几何意义的应用

例1：

求曲线在点处的切线与x轴及直线x＝1所围成的三角形的面积。

二、利用导数研究函数的图象

例2：

右图是的导函数的图象，则函数的图象只可能是（）

（A）（B）（C）（D）

例3：

函数的大致图象为（）

x

y

o

4

-4

2

4

-4

2

-2

-2

x

y

o

4

-4

2

4

-4

2

-2

-2

x

y

y

4

o

-4

2

4

-4

2

-2

-2

6

6

6

6

y

x

-4

-2

o

4

2

2

4

ABCD

三、导数与函数单调性

例4：

已知函数。

⑴求函数的单调区间；

⑵若在处取得极值，试讨论方程的根的情况。

四、导数与函数的极值

例5：

已知、为实数，，。

⑴若为定值，求在上的极值；

⑵若在上恒有，求的取值范围。

五、导数与函数的最值

例6：

已知函数，问是否存在实数、,使在上取得最大值3，最小值-29，若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由。

六、应用导数解决实际应用问题

例7：

在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？

最大容积是多少？

自我检测：

一、选择题

1.已知函数,且,则的值为（）

A.1 B.C.－1 D.0

2.已知函数在处的导数为3，则的解析式可能为（）

A．=（x-1）3+3（x-1）B．=2（x-1）2C．=2（x-1）D．=x-1

3．一质点做直线运动,由始点起经过s后的距离为,则速度为零的时刻是（）A.4s末B.8s末C.0s与8s末D.0s,4s,8s末

4．函数有（）

A.极小值-1，极大值1B.极小值-2，极大值3C.极小值-1，极大值3D.极小值-2，极大值2

5.若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是（）

A.B.C.D.

二、填空题

6．若曲线在P点处的切线平行于直线，则P点的坐标为。

7．有一长为16m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_______m2。

三、解答题

8.已知曲线在x=1处的切线与平行.

⑴求的解析式；

⑵求由曲线与，，所围成的平面图形的面积.

9．已知函数在区间上的最小值为-37，求实数的值。

10．某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：

达到100人的团体，每人收费1000元.如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人，如何组团可使旅行社的收费最多?

（不到100人不组团）

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