考研数学二真题及解析.docx

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数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析

一、选择题：

1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

（1））若函数在处连续，则（）

（A） （B） （C） （D）

【答案】A

【解析】在处连续选A.

（2）设二阶可导函数满足且，则（）

【答案】B

【解析】

为偶函数时满足题设条件，此时，排除C,D.

取满足条件，则，选B.

（3）设数列收敛，则（）

当时，当时，

当时，当时，

【答案】D

【解析】特值法：

（A）取，有，A错；

取，排除B,C.所以选D.

（4）微分方程的特解可设为

（A）（B）

（C）（D）

【答案】A

【解析】特征方程为：

故特解为：

选C.

（5）设具有一阶偏导数，且对任意的，都有，则

（A）（B）（C）（D）

【答案】C

【解析】是关于的单调递增函数，是关于的单调递减函数，

所以有，故答案选D.

（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：

m）处，图中实线表示甲的速度曲线（单位：

），虚线表示乙的速度曲线，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为（单位：

s），则（）

（A） （B） （C） （D）

【答案】B

【解析】从0到这段时间内甲乙的位移分别为则乙要追上甲，则

，当时满足，故选C.

（7）设为三阶矩阵，为可逆矩阵，使得，则（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】B

【解析】

因此B正确。

（8）设矩阵,则（）

（A） （B）

（C） （D）

【答案】B

【解析】由可知A的特征值为2,2,1,

因为，∴A可相似对角化，即

由可知B特征值为2,2,1.

因为，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化，∴，但B不相似于C.

二、填空题：

9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）曲线的斜渐近线方程为_______

【答案】

【解析】

（10）设函数由参数方程确定，则______

【答案】

【解析】

（11）_______

【答案】1

【解析】

（12）设函数具有一阶连续偏导数，且，，则

【答案】

【解析】故

，

因此，即，再由，可得

【答案】

【解析】

（13）

【答案】.

【解析】交换积分次序：

.

（14）设矩阵的一个特征向量为，则

【答案】-1

【解析】设，由题设知，故

故.

三、解答题：

15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）求极限

【答案】

【解析】，令，则有

（16）（本题满分10分）设函数具有2阶连续偏导数，，求，

【答案】

【解析】

结论：

（17）（本题满分10分）求

【答案】

【解析】

（18）（本题满分10分）已知函数由方程确定，求的极值

【答案】极大值为，极小值为

【解析】

两边求导得：

（1）

令得

对

（1）式两边关于x求导得

（2）

将代入原题给的等式中，得，

将代入

（2）得

将代入

（2）得

故为极大值点，；为极小值点，

（19）（本题满分10分）设函数在区间上具有2阶导数，且，证明：

方程在区间内至少存在一个实根；

方程在区间内至少存在两个不同实根。

【答案】

【解析】

（I）二阶导数，

解：

1）由于，根据极限的保号性得

有，即

进而

又由于二阶可导，所以在上必连续

那么在上连续，由根据零点定理得：

至少存在一点，使，即得证

（II）由

（1）可知，，令，则

由罗尔定理，则，

对在分别使用罗尔定理：

且，使得，即

在至少有两个不同实根。

得证。

（20）（本题满分11分）已知平面区域计算二重积分。

【答案】

【解析】

（21）（本题满分11分）设是区间内的可导函数，且，点是曲线L:

上任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点，法线与x轴相交于点，若，求L上点的坐标满足的方程。

【答案】

【解析】设的切线为，令得，法线,令得。

由得，即。

令，则，按照齐次微分方程的解法不难解出,

（22）（本题满分11分）设3阶矩阵有3个不同的特征值，且。

证明：

若，求方程组的通解。

【答案】（I）略；（II）通解为

【解析】

（I）证明：

由可得，即线性相关，

因此，，即A的特征值必有0。

又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0.

且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为

∴

（II）由

（1），知，即的基础解系只有1个解向量，

由可得，则的基础解系为，

又，即，则的一个特解为，

综上，的通解为

（23）（本题满分11分）设二次型在正交变换下的标准型，求的值及一个正交矩阵.

【答案】

【解析】

，其中

由于经正交变换后，得到的标准形为，

故，

将代入，满足，因此符合题意，此时，则

，

由，可得A的属于特征值-3的特征向量为；

由，可得A的属于特征值6的特征向量为

由，可得A的属于特征值0的特征向量为

令，则，由于彼此正交，故只需单位化即可：

，

则，

175

2016年考研数学二真题

一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．

１．当时，若，均是比高阶的无穷小，则的可能取值范围是（）

（A）（B）（C）（D）

2．下列曲线有渐近线的是

（A）（B）（C）（D）

【详解】对于，可知且，所以有斜渐近线

应该选（C）

3．设函数具有二阶导数，，则在上（）

（A）当时，（B）当时，

（C）当时，（D）当时，

4．曲线上对应于的点处的曲率半径是（）

（Ａ）（Ｂ）　　（Ｃ）　（Ｄ）

5．设函数，若，则（）

（Ａ）　　　（Ｂ）　　　　（Ｃ）　　　　（Ｄ）　

6．设在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足及，则（）．

（A）的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；

（B）的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；

（C）的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；

（D）的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上．

7．行列式等于

（A）（B）　　（C）（D）

8．设是三维向量，则对任意的常数，向量，线性无关是向量线性无关的

（A）必要而非充分条件（B）充分而非必要条件

（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）

9．．

10．设为周期为4的可导奇函数，且，则．

11．设是由方程确定的函数，则．

12．曲线的极坐标方程为，则在点处的切线方程为．

13．一根长为1的细棒位于轴的区间上，若其线密度，则该细棒的质心坐标．

14．设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围是．

三、解答题

15．（本题满分10分）

求极限．

16．（本题满分10分）

已知函数满足微分方程，且，求的极大值和极小值．

17．（本题满分10分）

设平面区域．计算

18．（本题满分10分）

设函数具有二阶连续导数，满足．若，求的表达式．

19．（本题满分10分）

设函数在区间上连续，且单调增加，，证明：

（1）；

（2）．

20．（本题满分11分）

设函数，定义函数列

，，

设是曲线，直线所围图形的面积．求极限．

21．（本题满分11分）

已知函数满足，且，求曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积．

22．（本题满分11分）

设，E为三阶单位矩阵．

（1）求方程组的一个基础解系；

（2）求满足的所有矩阵．

23．（本题满分11分）

证明阶矩阵与相似．

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学

（二）试题

一、选择题:

18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

（1）下列反常积分收敛的是（）

（A）（B）（C）（D）

（2）函数在内（）

（A）连续

（B）有可去间断点

（C）有跳跃间断点

（D）有无穷间断点

（3）设函数,若在处连续则:

（）

（A）（B）

（C）（D）

（4）设函数在内连续，其中二阶导数的图形如图所示，则曲线的拐点的个数为（）

（A）（B）（C）（D）

（5）设函数满足，则与依次是（）

（A）（B）（C）（D）

（6）设是第一象限由曲线，与直线，围成的平面区域，函数在上连续，则（）

（A）

（B）

（C）

（D）

（7）设矩阵,.若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为（）

（A）（B）

（C）（D）

（8）设二次型在正交变换下的标准形为，其中，若则在正交变换下的标准形为（）

（A）（B）

（C）（D）

二、填空题：

914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）则

（10）函数在处的阶导数_________

（11）设连续，，若，则

（12）设函数是微分方程的解，且在处取得极值3，则=.

（13）若函数由方程确定，则=.

（14）若阶矩阵的特征值为，，其中为阶单位阵，则行列式.

三、解答题：

15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

设函数，.若与在时是等价无穷小，求的值.

（16）（本题满分10分）

设A>0，D是由曲线段及直线，所围成的平面区域，，分别表示D绕轴与绕轴旋转成旋转体的体积，若，求A的值.

（17）（本题满分11分）

已知函数满足，，，求的极值.

（18）（本题满分10分）

计算二重积分，其中

（19）（本题满分11分）

已知函数，求零点的个数？

（20）（本题满分10分）

已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为的物体在的恒温介质中冷却，30min后该物体降至，若要将该物体的温度继续降至，还需冷却多长时间？

（21）（本题满分10分）

已知函数在区间上具有2阶导数，，，，设，曲线在点处的切线与轴的交点是，证明.

（22）（本题满分11分）

设矩阵且.

（1）求的值；

（2）若矩阵满足，为3阶单位阵，求.

（23）（本题满分11分）

设矩阵相似于矩阵.

（1）求的值；

（2）求可逆矩阵，使为对角阵.

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．

１．设，当时，（）

（A）比高阶的无穷小（B）比低阶的无穷小

（C）与同阶但不等价无穷小（D）与等价无穷小

2．已知是由方程确定，则（）

（A）2（B）1（C）-1（D）-2

３．设，则（）

（Ａ）为的跳跃间断点．（Ｂ）为的可去间断点．　　　　

（Ｃ）在连续但不可导．（Ｄ）在可导．

４．设函数，且反常积分收敛，则（）

（A）（B）（C）（D）

５．设函数，其中可微，则（）

（A）（B）（C）（D）

6．设是圆域的第象限的部分，记，则（）

（A）（B）（C）（D）

7．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则

（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．

（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．

（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价．

（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．

8．矩阵与矩阵相似的充分必要条件是

（A）（B），为任意常数

（C）（D），为任意常数

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）

9．．

10．设函数，则的反函数在处的导数．

11．设封闭曲线L的极坐标方程为为参数，则L所围成的平面图形的面积为．

12．曲线上对应于处的法线方程为．

13．已知是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足方程的解为．

14．设是三阶非零矩阵，为其行列式，为元素的代数余子式，且满足，则=．

三、解答题

15．（本题满分10分）

当时，与是等价无穷小，求常数．

16．（本题满分10分）

设D是由曲线，直线及轴所转成的平面图形，分别是D绕轴和轴旋转一周所形成的立体的体积，若，求的值．

17．（本题满分10分）

设平面区域D是由曲线所围成，求．

18．（本题满分10分）

设奇函数在上具有二阶导数，且，证明：

（1）存在，使得；

（2）存在，使得．

19．（本题满分10分）

求曲线上的点到坐标原点的最长距离和最短距离．

20．（本题满分11）

设函数

⑴求的最小值；

⑵设数列满足，证明极限存在，并求此极限．

21．（本题满分11）

设曲线L的方程为．

（1）求L的弧长．

（2）设D是由曲线L，直线及轴所围成的平面图形，求D的形心的横坐标．

22．本题满分11分）

设，问当为何值时，存在矩阵C，使得，并求出所有矩阵C．

23（本题满分11分）

设二次型．记．

（1）证明二次型对应的矩阵为；

（2）若正交且为单位向量，证明在正交变换下的标准形为．

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题:

1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

（1）曲线的渐近线条数（）

（A）0（B）1（C）2（D）3

（2）设函数，其中为正整数,则（）

（A）（B）（C）（D）

（3）设，则数列有界是数列收敛的

（）

（A）充分必要条件（B）充分非必要条件

（C）必要非充分条件（D）非充分也非必要

（4）设则有

（）

（A）（B）（C）（D）

（5）设函数为可微函数，且对任意的都有则使不等式成立的一个充分条件是

（）

（A）（B）（C）（D）

（6）设区域由曲线围成，则

（）

（A）（B）2（C）-2（D）-

（7）设,,,,其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为（）

（A）（B）（C）（D）

（8）设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且.若，则（）

（A）（B）（C）（D）

二、填空题：

9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）设是由方程所确定的隐函数，则.

（10）.

（11）设其中函数可微，则.

（12）微分方程满足条件的解为.

（13）曲线上曲率为的点的坐标是.

（14）设为3阶矩阵，，为伴随矩阵，若交换的第1行与第2行得矩阵，则.

三、解答题：

15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

已知函数，记，

（I）求的值;

（II）若时，与是同阶无穷小，求常数的值.

（16）（本题满分10分）

求函数的极值.

（17）（本题满分12分）

过点作曲线的切线,切点为,又与轴交于点,区域由与直线围成,求区域的面积及绕轴旋转一周所得旋转体的体积.

（18）（本题满分10分）

计算二重积分，其中区域为曲线与极轴围成.

（19）（本题满分10分）

已知函数满足方程及,

（I）求的表达式;

（II）求曲线的拐点.

（20）（本题满分10分）

证明,.

（21）（本题满分10分）

（I）证明方程，在区间内有且仅有一个实根；

（II）记（I）中的实根为，证明存在，并求此极限.

（22）（本题满分11分）

设，

（I）计算行列式；

（II）当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解.

（23）（本题满分11分）

已知，二次型的秩为2，

（I）求实数的值；

（II）求正交变换将化为标准形.

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题：

1～8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

（1）已知当时，函数与是等价无穷小，则（）

（A）（B）

（C）（D）

（2）设函数在处可导，且，则（）

（A）（B）（C）（D）

（3）函数的驻点个数为（）

（A）0（B）1（C）2（D）3

（4）微分方程的特解形式为（）

（A）（B）

（C）（D）

（5）设函数，均有二阶连续导数，满足，，则函数在点处取得极小值的一个充分条件是（）

（A），（B），

（C），（D），

（6）设，，，则，，的大小关系为（）

（A）（B）

（C）（D）

（7）设为3阶矩阵，将的第2列加到第1列得矩阵，再交换的第2行与第3行得单位矩阵。

记，，则=（）

（A）（B）（C）（D）

（8）设是4阶矩阵，为的伴随矩阵。

若是方程组的一个基础解系，则的基础解系可为（）

（A）（B）（C）（D）

二、填空题：

9～14小题，每小题4分，共24分。

请将答案写在答题纸指定位置上。

（9）。

（10）微分方程满足条件的解为。

（11）曲线的弧长。

（12）设函数，则。

（13）设平面区域由直线，圆及轴所围成，则二重积分。

（14）二次型，则的正惯性指数为。

三、解答题：

15～23小题，共94分。

请将解答写在答题纸指定位置上，解答应字说明、

证明过程或演算步骤。

（15）（本题满分10分）

已知函数，设，试求的取值范围。

（16）（本题满分11分）

设函数由参数方程确定，求的极值和曲线的凹凸区间及拐点。

（17）（本题满分9分）

设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导且在处取得极值，求。

（18）（本题满分10分）

设函数具有二阶导数，且曲线与直线相切于原点，记为曲线在点处切线的倾角，若，求的表达式。

（19）（本题满分10分）

（I）证明：

对任意的正整数，都有成立。

（II）设，证明数列收敛。

（20）（本题满分11分）

一容器的内侧是由图中曲线绕轴旋转一周而成的曲面，该曲线由与连接而成。

（I）求容器的容积；

（II）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？

（长度单位：

，重力加速度为，水的密度为）

（21）（本题满分11分）

已知函数具有二阶连续偏导数，且，，，其中，计算二重积分。

（22）（本题满分11分）

设向量组，，不能由向量组，，线性表示。

（I）求的值；

（II）将用