考研数二真题及解析考研数二真题及解析docx.docx
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2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：
1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）设f（x）x2（x1）（x2），求f（x）的零点个数（）
A0B1C2D3
（2）如图，曲线段方程为y
f（x），
函数在区间[0,a]上有连续导数，则
y
C（0,f（a））
A（a,f（a））
a
定积分
xf（x）dx等于（
）
y=f（x）
0
A曲边梯形ABOD面积.
B梯形ABOD面积.
D
C曲边三角形ACD面积.
D三角形ACD面积.OB（a,0）x
（3）在下列微分方程中，以yC1ex
C2cos2x
C3sin2x（C1,C2,C3为任意常数）为通解
的是（
）
Ay
y4y4y0.
B
y
y4y4y0.
Cy
y4y4y0.
D
y
y4y4y0.
（4）判断函数f（x）
lnxsinx（x0）间断点的情况（）
x1
A有1个可去间断点，1个跳跃间断点
B有1个跳跃间断点，1个无穷间断点
C有两个无穷间断点
D有两个跳跃间断点
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（5）
设函数f
（x）在（
）内单调有界，
xn为数列，下列命题正确的是
（
）
A
若
xn收敛，则
f（xn）
收敛.
B
若xn单调，则f（xn）
收敛.
C
若
f（xn）
收敛，则xn
收敛.
D
若f（xn）
单调，则
xn
收敛.
设函数f
连续.若F
u,v
f
x2
y2
Duv为图中阴影部分，则
（6）
x2
dxdy，其中区域
Duv
y2
F
（
）
y
x2+y2=u2
u
A
vf
u2
x2+y2=1
B
vf
u2
u
C
vf
u
v
Duv
Dvfuu
Ox
（7）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵.若A3O，则（）
AEA不可逆，EA不可逆.BEA不可逆，EA可逆.
CEA可逆，EA可逆.DEA可逆，EA不可逆.
1
2
A合同的矩阵为（）
（8）设A
，则在实数域上与
2
1
2
1
.
2
1
A
2
B
2
1
1
2
1
1
2
C
.
D
1
1
2
2
.
.
二、填空题：
9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）
f（x）连续，lim
1
cos（sinx）
1，则f（0）
2
x
0（ex
1）f（x）
（10）
微分方程（y
x2ex）dxxdy
0的通解是y
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（11）
曲线sinxy
ln
yx
x在点0,1处的切线方程为
.
2
（12）
求函数f（x）
（x
5）x3
的拐点______________.
y
（13）已知z
x
x
y
z
_______.
，则
x（1,2）
（14）矩阵A的特征值是,2,3，其中未知，且2A48，则=_______.
三、解答题：
15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分9分）
sinx
sinsinx
sinx
求极限lim
x
4
.
x0
（16）（本题满分10分）
xx（t）
设函数yy（x）由参数方程t2确定，其中x（t）是初值问题
yln（1u）du
0
dx
2tex
0
d2y
dt
的解.求
dx
2.
x|t0
0
（17）（本题满分9分）
1
x
2arcsinx
计算
dx
0
1x2
（18）（本题满分11分）
计算
max,1
其中
D{（x,y）0x2,0y2}
xy
dxdy
D
（19）（本题满分11分）
设f（x）是区间[0,）上具有连续导数的单调增加函数，且f（0）1.对于任意的
t[0,），直线x0,xt，曲线yf（x）以及x轴所围成曲边梯形绕x轴旋转一周生
成一旋转体.若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f（x）的表达式.
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（20）（本题满分11
分）
（I）
证明积分中值定理：
若函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，则至少存在一点
[a,b]，
b
f（x）dx
f（）（ba）；
使得
a
（x）具有二阶导数，且满足，
（2）
（1）,
（2）
3
（II）
若函数
（x）dx，则至少存在
2
一点
（1,3），使得（）0.
（21）（本题满分11分）
求函数ux2y2z2在约束条件zx2y2和xyz4下的最大和最小值.
（22）（本题满分12分）
设n元线性方程组
Axb，其中
2a
1
x1
1
a2
2a
x2
0
A
1
，x
，b
a2
2ann
xn
0
（I）
证明行列式A
n1an
（II）
当a为何值时，该方程组有唯一解，并求
x1
（III）当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解
（23）（本题满分10分）
设A为
3阶矩阵，
1,2为A的分别属于特征值
1,1的特征向量，向量
3满足
A32
3，
（I）证明1,2,3线性无关；
（II）令P1,2,3，求P1AP
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
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一、选择题
（1）【答案】D
【详解】因为
f（0）
f
（1）
f
（2）
0，由罗尔定理知至少有
1（0,1），
2（1,2）使
f
（1）
f
（2）
0，所以
f（x）至少有两个零点
.由于f（x）是三次多项式，三次方程
f（x）0的实根不是三个就是一个，故
D正确.
（2）【答案】C
a
a
xf（x）0a
a
f（x）dxaf（a）
a
【详解】
xf（x）dx
xdf（x）
0
f（x）dx
0
0
0
其中af（a）是矩形ABOC面积，
a
（x）dx为曲边梯形ABOD的面积，所以
a
f
xf（x）dx为
0
0
曲边三角形的面积．
（3）【答案】D
【详解】由微分方程的通解中含有
ex
、cos2x、sin2x知齐次线性方程所对应的特征方程
有根r1,r
2i，所以特征方程为
（r
1）（r
2i）（r2i）0，即r3
r2
4r
40.故
以已知函数为通解的微分方程是y
y
4y
40
（4）【答案】A
【详解】x
0,x
1时f（x）无定义，故
x
0,x
1是函数的间断点
因为lim
f（x）
lim
lnx
1
lim
1x
cscx
lim
1|
cscxcotx
x0
x0
x0|x
x0
lim
sin2x
lim
x
0
x0
xcosx
x0
cosx
同理
又
所以
lim
f（x）
0
x
0
lim
f（x）
lim
lnx
x
1
x
1
x
1
lim
f（x）
lim
lnx
x
1
x
1
1
x
x0是可去间断点，
limsinx
lim
1
sin1sin1
x1
x1
x
limsinx
sin1
x1
x1是跳跃间断点.
（5）【答案】B
【详解】因为
f（x）在（,
）内单调有界，且
{x}单调.所以{f（xn）}单调且有界.故
n
第5页共14页
{f（xn）}一定存在极限.
（6）【答案】A
f
u2
v2
v
u
2
）rdr
u
2）dr
【详解】用极坐标得
Fu,v
u2
v2
dudv
dv
f（rr
vf（r
D
0
1
1
所以
F
vf
u2
u
（7）【答案】C
【详解】（EA）（EAA2）EA3E，（EA）（EAA2）EA3E
故EA,EA均可逆．
（8）【答案】D
1
2
【详解】记D
，
2
1
1
2
2
1
2
2
则ED
1
1
4，又EA
1
4
2
2
1
所以A和D有相同的特征多项式，所以
A和D有相同的特征值.
又A和D为同阶实对称矩阵，所以
A和D相似．由于实对称矩阵相似必合同，故
D正确.
二、填空题
（9）【答案】2
【详解】
所以
1
cos[xf（x）]
lim
2sin2[xf（x）2]
lim
2sin2[xf（x）2]
f（x）
lim
2
x2f（x）
[xf（x）2]2
4
x0（ex
1）f（x）
x0
x0
1lim
f（x）
1
f（0）
1
2x
0
2
f（0）
2
（10）【答案】x（ex
C）
【详解】微分方程y
x2ex
dx
xdy
0可变形为dy
y
xex
dx
x
1
1
xxex1
dx
xexe
dx
C
dx
C
x（ex
C）
所以yex
xdx
x
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（11）【答案】
【详解】设
yx
1
1
1
dy
Fx
ycos（xy）
x
F（x,y）
y
，
sin（xy）ln（yx）x，则
1
dx
Fy
xcos（xy）
x
y
将y（0）1代入得dy1，所以切线方程为y1x0，即yx1
dxx0
（12）【答案】（1,6）
【详解】y
x53
5x23
y
5x23
10x13
10（x
2）
3
3
3x13
y
10
x13
10
x43
10（x
1）
9
9
9x43
x
1时，y
0
；x
0时，y
不存在
在x
1左右近旁
y
异号，在x
0左右近旁y
0，且y
（1）6
故曲线的拐点为（
1,
6）
（13）【答案】
2（ln21）
2
【详解】设
所以
u
y,v
x，则z
uv
x
y
z
zu
zv
vuv1（
y2
）uvlnu1
x
ux
vx
x
y
xy
1lny
uv
vylnu
y
1
ux2
y
x
y
x
所以
z
2（ln2
1）
x（1,2）
2
（14）【答案】-1
【详解】|A|
23
6
|2A|23|A|
23
6
48
1
第7页共14页
三、解答题
（15）【详解】
[sinx
sin（sinx）]sinx
sinx
sin（sinx）
方法一：
lim
x
4
lim
x
3
x0
x0
cosx
cos（sinx）cosx
1
cos（sinx）
1sin
2x
1
lim
lim
lim2
3x
2
3x
2
2
6
x0
x0
x
0
3x
方法二：
sinxx
1x3
o（x3）
sin（sinx）sinx
1sin3x
o（sin3x）
6
6
lim
[sinx
sin（sinx）]sinx
lim
sin4xo（sin4
x）
1
x
4
6x
4
x
4
6
x0
x0
（16）【详解】
方法一：
由dx
2
x
0
x
2tdt，积分并由条件x
得
e
x
1
t
2
，即x
n（1l
）t
2
dt
te
得edx
t0
dy
dy
ln（1
t2）
2t
所以
dt
（1
2
）ln（1
2
）
dx
dx
2t
t
t
dt
1
t2
d
2
2
d2y
d
dy
dt
[（1
t
）ln（1
t
）]
2tln（1
t2）
2t
dx2
dx
dx
dx
2t
dt
1
t2
（1
t2）[ln（1
t2）
1]
方法二：
由dx
2
x
0
得
x
2tdt，积分并由条件
xt0
得
e
x
1
t
2
，即x
n（1l
）t
2
dt
te
edx
dy
dy
ln（1
t2）
2t
所以
dt
（1
2
）ln（1
2
）
x
dx
dx
2t
t
t
ex
dt
1
t2
所以
d2y
ex（x1）
dx2
（17）【详解】
x2
arcsinx
1
x2arcsinx
方法一：
由于lim
2
，故
dx是反常积分.
x1
1
x
0
1
x
2
令arcsinx
t
，有x
sint，t
[0,
2）
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1x2arcsinx
tsin2
t
costdt
2tsin
2
tdt
t
tcos2t
dx
2
2
（
）dt
0
1x2
0cost
0
0
2
2
t22
1
2tdsin2t
2
tsin2t2
40
4
16
4
0
0
2
1
2
2
1
cos2t
16
16
4
8
0
1
2sin2tdt
4
0
1x2
arcsinx
dx
1
1
2
d（arcsinx）
2
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