《量子力学》题库文档格式.doc
《《量子力学》题库文档格式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《量子力学》题库文档格式.doc（58页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
所以表示力学量的算符必须是厄米算符。
9请写出微扰理论适用条件的表达式。
，
10试简述微扰论的基本思想。
复杂的体系的哈密顿量分成与两部分。
是可求出精确解的，而可看成对的微扰。
只需将精确解加上由微扰引起的各级修正量，逐级迭代，逐级逼近，就可得到接近问题真实的近似解。
11简述费米子的自旋值及其全同粒子体系波函数的特点，这种粒子所遵循的统计规律是什么？
由电子、质子、中子这些自旋为的粒子以及自旋为的奇数倍的粒子组成的全同粒子体系的波函数是反对称的，这类粒子服从费米（Fermi）－狄拉克（Dirac）统计，称为费米子。
12通常情况下，无限远处为零的波函数所描述的状态称为什么态？
一般情况下，这种态所属的能级有什么特点？
束缚态，能级是分立的。
13简述两个算符存在共同的完备本征态的充要条件，并举一例说明（要求写出本征函数系）。
在这些态中，测量这两个算符对应的力学量时，两个测量值是否可以同时确定？
两个算符存在共同的完备本征函数系的充要条件是这两个算符对易。
例如，，这两个算符有共同的完备本征函数系。
14若两个力学量的算符不对易，对这两个力学量同时进行测量时，一般地它们是否可以同时具有确定值？
它们的均方偏差之间有什么样的关系？
不可能同时具有确定值。
它们的均方偏差之间满足海森堡不确定性关系。
15请写出线性谐振子偶极跃迁的选择定则。
16指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。
①；
②；
③
解：
①是线性算符
②不是线性算符
③是线性算符
17指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。
18下列函数哪些是算符的本征函数，其本征值是什么？
①，②，③， ④， ⑤
解：
①
∴不是的本征函数。
②
∴不是的本征函数，其对应的本征值为1。
③
∴可见，是的本征函数，其对应的本征值为－1。
④
∴是的本征函数，其对应的本征值为－1。
⑤
∴是的本征函数，其对应的本征值为－1。
19问下列算符是否是厄米算符：
①②
解：
因为
∴不是厄米算符。
②
∴是厄米算符。
20全同粒子体系的波函数应满足什么条件？
描写全同粒子体系的波函数只能是对称的或是反对称的，且它们的对称性不随时间改变。
二、证明题
1已知粒子在中心力场中运动，试证明（角动量在方向的分量）是守恒量。
证：
因为粒子在势函数为的中心力场中运动时，哈密顿算答是
因为与、有关而与无关，且
所以，
2试证：
对于一维运动，设有两个波函数及是对应于同一级量E的解，则常数。
其中，“’”是对x的微商。
因为，所以
凑全微分得：
积分得：
常数
3试证明：
一维运动的束缚态都是不简并的。
证明：
设和是对应于同一能级E的不同本征态，则常数。
在特例下，令0，即
由此得：
所以和描述同一个态。
4试在一维情况下证明哈密顿算符是厄米算符。
考虑一维情况
为厄密算符,为厄密算符,为实数
为厄密算符
为厄密算符
5已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,取试证明:
也是和共同本征函数,对应本征值分别为:
。
证
。
是的对应本征值为
的本征函数
的本征函数
6.证明在定态中，几率流与时间无关。
对于定态，可令
可见无关。
7在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：
，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
证：
在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为
①
将式中的代换，得
②
利用，得
③
比较①、③式可知，都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。
由于它们描写的是同一个状态，因此之间只能相差一个常数。
方程①、③可相互进行空间反演而得其对方，由①经反演，可得③，
④
由③再经反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。
⑤
④乘⑤，得
可见，
当时，，具有偶宇称，
当时，，具有奇宇称，
当势场满足时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。
8证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是
证：
电子的电流密度为
在球极坐标中为
式中为单位矢量
中的和部分是实数。
∴
可见，
9如果算符满足关系式，求证
①
②
证：
①
②
10证明：
由对易关系及对易关系，得
上式两边乘，得
∵
∴
11证明和组成的正交归一系。
=1
=0
=0
同理可证其它的正交归一关系。
12对于无限深势阱中运动的粒子（如图所示）证明
并证明当时上述结果与经典结论一致。
[解]写出归一化波函数：
（1）
先计算坐标平均值：
利用公式：
（2）
得（3）
计算均方根值用以知，可计算
利用公式（5）
（6）
在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a）范围中运动，各点的几率密度看作相同，由于总几率是1，几率密度。
故当时二者相一致。
13设是的可微函数，证明下述各式：
[一维算符]
（1）
（证明）根据题给的对易式及
（2）
（证明）同前一论题
（3）
[证明]同前一题论据：
（4）
[证明]根据题给对易式外，另外应用对易式
（5）
（证明）论据同（4）：
（6）
14设算符A，B与它们的对易式[A，B]都对易。
证明
（甲法）递推法，对第一公式左方，先将原来两项设法分裂成四项，分解出一个因式，再次分裂成六项，依次类推，可得待证式右方，步骤如下：
按题目假设
重复运算n-1次以后，得
15证明是厄密算符
证明）本题的算符可以先行简化，然后判定其性质
是厄密算符，因此原来算符也是厄密的。
另一方法是根据厄密算符的定义：
用于积分最后一式：
前式=
说明题给的算符满足厄密算符定义。
16定义（反对易式）证明：
其中，与，对易。
（证明）第一式等号右方
＝第一式等号左方
第二式等号右方
因，与，对易，，
前式
17证明力学量（不显含）的平均值对时间的二次微商为：
（是哈密顿量）
（解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量不显含，有
（１）
将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量的平均值，则有：
（２）
此式遍乘即得待证式。
18试证明：
19证明泡利矩阵满足关系。
【证】.
20试在一维情况下证明哈密顿算符是厄米算符。
21已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,取试证明:
22
22证明：
描写全同粒子体系的波函数的对称性不随时间改变
设时刻波函数是对称的，用表示，
因为是对称的，所以在时刻也是对称的，
由
知，在时刻也是对称的，故在下一时刻的态函数：
也是对称的
以此类推，波函数在以后任意时刻都是对称的。
同理可证，若某一时刻波函数反对称，则以后任一时刻的波函数都是反对称的。
三、计算题
1由下列定态波函数计算几率流密度：
从所得结果说明表示向外传播的球面波，表示向内（即向原点）传播的球面波。
解：
在球坐标中
同向。
表示向外传播的球面波。
可见，反向。
表示向内（即向原点）传播的球面波。
2一粒子在一维势场
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：
无关，是定态问题。
其定态S—方程
在各区域的具体形式为
Ⅰ：
Ⅱ：
②
Ⅲ：
③
由于
（1）、（3）方程中，由于，要等式成立，必须
即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程
（2）可变为
令，得
其解为④
根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得
⑤
⑥
⑤
⑥
∴
由归一化条件
得
由
可见E是量子化的。
对应于的归一化的定态波函数为
3求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
令，得
由的表达式可知，时，。
显然不是最大几率的位置。
可见是所求几率最大的位置。
4一维谐振子处在基态，求：
（1）势能的平均值；
（2）动能的平均值；
（3）动量的几率分布函数。
（1）
（2）
或
（3）
动量几率分布函数为
5氢原子处在基态，求：
（1）r的平均值；
（2）势能的平均值；
（3）最可几半径；
（4）动能的平均值；
（5）动量的几率分布函数。
解：
（3）电子出现在r+dr球壳内出现的几率为
令
当为几率最小位置
∴是最可几半径。
（4）
（5）
动量几率分布函数
6设t=0时，粒子的状态为
求此时粒子的平均动量和平均动能。
可见，动量的可能值为
动能的可能值为
对应的几率应为
上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得
∴
∴动量的平均值为
7设氢原子处于状态
求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
在此能量中，氢原子能量有确定值
角动量平方有确定值为
角动量Z分量的可能值为
其相应的几率分别为
，
其平均值为
8试求算符的本征函数。
解：
的本征方程为
（的本征值）
9设波函数，求
如果算符和都是厄米的，那么
（+）也是厄米的
证：
∴+也是厄米的。
11求
=0
12求
=0
13求在动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。
14求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。
基矢：
能量：
对角元：
当时，
15求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。
升级会员 