大学物理答案第14章.doc

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第十四章　波动光学

14-1　在双缝干涉实验中，若单色光源S到两缝S1、S2距离相等，则观察屏

上中央明条纹位于图中O处，现将光源S向下移动到图中的S′位置，则（　　）

（A）中央明纹向上移动，且条纹间距增大

（B）中央明纹向上移动，且条纹间距不变

（C）中央明纹向下移动，且条纹间距增大

（D）中央明纹向下移动，且条纹间距不变

分析与解　由S发出的光到达S1、S2的光程相同，它们传到屏上中央O处，光程差Δ＝0，形成明纹．当光源由S移到S′时，由S′到达狭缝S1和S2的两束光产生了光程差．为了保持原中央明纹处的光程差为0，它会向上移到图中O′处．使得由S′沿S1、S2狭缝传到O′处的光程差仍为0．而屏上各级条纹位置只是向上平移，因此条纹间距不变．故选（B）．

题14-1图

14-2　如图所示，折射率为n2，厚度为e的透明介质薄膜的上方和下方的透明介质的折射率分别为n1和n3，且n1＜n2，n2＞n3，若用波长为λ的单色平行光垂直入射到该薄膜上，则从薄膜上、下两表面反射的光束的光程差是（　　）

题14-2图

分析与解　由于n1＜n2，n2＞n3，因此在上表面的反射光有半波损失，下表面的反射光没有半波损失，故它们的光程差，这里λ是光在真空中的波长．因此正确答案为（B）．

14-3　如图（a）所示，两个直径有微小差别的彼此平行的滚柱之间的距离为L，夹在两块平面晶体的中间，形成空气劈形膜，当单色光垂直入射时，产生等厚干涉条纹，如果滚柱之间的距离L变小，则在L范围内干涉条纹的（　　）

（A）数目减小，间距变大　　　　（B）数目减小，间距不变

（C）数目不变，间距变小（D）数目增加，间距变小

题14-3图

分析与解　图（a）装置形成的劈尖等效图如图（b）所示．图中d为两滚柱的直径差，b为两相邻明（或暗）条纹间距．因为d不变，当L变小时，θ变大，L′、b均变小．由图可得，因此条纹总数，因为d和λn不变，所以N不变．正确答案为（C）

14-4　用平行单色光垂直照射在单缝上时，可观察夫琅禾费衍射.若屏上点P处为第二级暗纹，则相应的单缝波阵面可分成的半波带数目为（　　）

（A）3个　　　（B）4个　　　（C）5个　　　（D）6个

分析与解　根据单缝衍射公式

因此第k级暗纹对应的单缝处波阵面被分成2k个半波带，第k级明纹对应的单缝波阵面被分成2k＋1个半波带．则对应第二级暗纹，单缝处波阵面被分成4个半波带．故选（B）．

14-5　波长λ＝550nm的单色光垂直入射于光栅常数d＝1.0×10-4cm的光栅上，可能观察到的光谱线的最大级次为（　　）

（A）4　　　　　（B）3　　　　　（C）2　　　　　（D）1

分析与解　由光栅方程，可能观察到的最大级次为

即只能看到第1级明纹，正确答案为（D）．

14-6三个偏振片P1、P2与P3堆叠在一起，P1与P3的偏振化方向相互垂直，P2与P1的偏振化方向间的夹角为30°，强度为I0的自然光入射于偏振片P1，并依次透过偏振片P1、P2与P3，则通过三个偏振片后的光强为（　　）

（A）3I0/16　　　（B）I0/8　　　（C）3I0/32　　　（D）0

分析与解　自然光透过偏振片后光强为I1＝I0/2．由于P1和P2的偏振化方向成30°，所以偏振光透过P2后光强由马吕斯定律得．而P2和P3的偏振化方向也成60°，则透过P3后光强变为．故答案为（C）．

14-7自然光以60°的入射角照射到两介质交界面时，反射光为完全线偏振光，则折射光为（）

（A）完全线偏振光，且折射角是30°

（B）部分偏振光且只是在该光由真空入射到折射率为的介质时，折射角是30°

（C）部分偏振光，但须知两种介质的折射率才能确定折射角

（D）部分偏振光且折射角是30°

分析与解根据布儒斯特定律，当入射角为布儒斯特角时，反射光是线偏振光，相应的折射光为部分偏振光.此时，反射光与折射光垂直.因为入射角为60°，反射角也为60°，所以折射角为30°.故选（D）.

14-8　在双缝干涉实验中，两缝间距为0.30mm，用单色光垂直照射双缝，在离缝1.20m的屏上测得中央明纹一侧第5条暗纹与另一侧第5条暗纹间的距离为22.78mm．问所用光的波长为多少，是什么颜色的光？

分析与解　在双缝干涉中，屏上暗纹位置由决定，式中d′为双缝到屏的距离，d为双缝间距．所谓第5条暗纹是指对应k＝4的那一级暗纹．由于条纹对称，该暗纹到中央明纹中心的距离，那么由暗纹公式即可求得波长λ．

此外，因双缝干涉是等间距的，故也可用条纹间距公式求入射光波长．应注意两个第5条暗纹之间所包含的相邻条纹间隔数为9（不是10，为什么？

），故.

解1　屏上暗纹的位置，把以及d、d′值代入，可得λ＝632.8nm，为红光．

解2　屏上相邻暗纹（或明纹）间距，把，以及d、d′值代入，可得λ＝632.8nm．

14-9　在双缝干涉实验中，用波长λ＝546.1nm的单色光照射，双缝与屏的距离d′＝300mm．测得中央明纹两侧的两个第五级明条纹的间距为12.2mm，求双缝间的距离．

分析　双缝干涉在屏上形成的条纹是上下对称且等间隔的．如果设两明纹间隔为Δx，则由中央明纹两侧第五级明纹间距x5－x-5＝10Δx可求出Δx．再由公式Δx＝d′λ／d即可求出双缝间距d．

解　根据分析：

Δx＝（x5－x-5）/10＝1.22×10-3m

双缝间距：

d＝d′λ／Δx＝1.34×10-4m

14-10　一个微波发射器置于岸上，离水面高度为d，对岸在离水面h高度处放置一接收器，水面宽度为D，且，如图所示．发射器向对面发射波长为λ的微波，且λ＞d，求接收器测到极大值时，至少离地多高？

分析　由发射器直接发射的微波与经水面反射后的微波相遇可互相干涉，这种干涉与劳埃德镜实验完全相同．形成的干涉结果与缝距为2d，缝屏间距为D的双缝干涉相似，如图（b）所示，但要注意的是和劳埃德镜实验一样，由于从水面上反射的光存在半波损失，使得两束光在屏上相遇产生的光程差为，而不是．

题14-10图

解　由分析可知，接收到的信号为极大值时，应满足

取k＝1时，得．

14-11　如图所示，将一折射率为1.58的云母片覆盖于杨氏双缝上的一条缝上，使得屏上原中央极大的所在点O改变为第五级明纹.假定=550nm，求：

（1）条纹如何移动？

（2）云母片的厚度t.

题14-11图

分析　

（1）本题是干涉现象在工程测量中的一个具体应用，它可以用来测量透明介质薄片的微小厚度或折射率．在不加介质片之前，两相干光均在空气中传播，它们到达屏上任一点P的光程差由其几何路程差决定，对于点O，光程差Δ＝0，故点O处为中央明纹，其余条纹相对点O对称分布．而在插入介质片后，虽然两相干光在两介质薄片中的几何路程相同，但光程却不同，对于点O，Δ≠0，故点O不再是中央明纹，整个条纹发生平移．原来中央明纹将出现在两束光到达屏上光程差Δ=0的位置.

（2）干涉条纹空间分布的变化完全取决于光程差的变化．因此，对于屏上某点P（明纹或暗纹位置），只要计算出插入介质片前后光程差的变化，即可知道其干涉条纹的变化情况．

插入介质前的光程差Δ1＝r1－r2＝k1λ（对应k1级明纹），插入介质后的光程差Δ2＝（n－1）d＋r1－r2＝k1λ（对应k1级明纹）．光程差的变化量为

Δ2－Δ1＝（n－1）d＝（k2－k1）λ

式中（k2－k1）可以理解为移过点P的条纹数（本题为5）．因此，对于这类问题，求解光程差的变化量是解题的关键．

解　由上述分析可知，两介质片插入前后，对于原中央明纹所在点O，有

将有关数据代入可得

14-12　白光垂直照射到空气中一厚度为380nm的肥皂膜上．设肥皂的折射率为1.32．试问该膜的正面呈现什么颜色？

分析　这是薄膜干涉问题，求正面呈现的颜色就是在反射光中求因干涉增强光的波长（在可见光范围）．

解　根据分析对反射光加强，有

在可见光范围，k＝2时，（红光）

k＝3时，（紫光）

故正面呈红紫色．

14-13　利用空气劈尖测细丝直径．如图所示，已知λ＝589.3nm，L＝2.888×10-2m，测得30条条纹的总宽度为4.259×10-3m，求细丝直径d．

分析　在应用劈尖干涉公式时，应注意相邻条纹的间距b是N条条纹的宽度Δx除以（N－1）．对空气劈尖n＝1．

解　由分析知，相邻条纹间距，则细丝直径为

题14-13图

14-14　集成光学中的楔形薄膜耦合器原理如图所示．沉积在玻璃衬底上的是氧化钽（）薄膜，其楔形端从A到B厚度逐渐减小为零．为测定薄膜的厚度，用波长λ＝632.8nm的激光垂直照射，观察到薄膜楔形端共出现11条暗纹，且A处对应一条暗纹，试求氧化钽薄膜的厚度．（对632.8nm激光的折射率为2.21）

题14-14图

分析　置于玻璃上的薄膜AB段形成劈尖，求薄膜厚度就是求该劈尖在A点处的厚度．由于对激光的折射率大于玻璃，故从该劈尖上表面反射的光有半波损失，而下表面没有，因而两反射光光程差为Δ＝2ne＋λ/2．由反射光暗纹公式2nek＋λ/2＝（2k＋1）λ/2，k＝0，1，2，3，…，可以求厚度ek．又因为AB中共有11条暗纹（因半波损失B端也为暗纹），则k取10即得薄膜厚度．

解　根据分析，有

2nek＋＝（2k＋1）λ/2　（k＝0，1，2，3，…）

取k＝10，得薄膜厚度e10＝＝1.4×10-6m．

14-15　折射率为1.60的两块标准平面玻璃板之间形成一个劈形膜（劈尖角θ很小）．用波长λ＝600nm的单色光垂直入射，产生等厚干涉条纹．假如在劈形膜内充满n＝1.40的液体时的相邻明纹间距比劈形膜内是空气时的间距缩小Δl＝0.5mm，那么劈尖角θ应是多少？

分析　劈尖干涉中相邻条纹的间距l≈，其中θ为劈尖角，n是劈尖内介质折射率．由于前后两次劈形膜内介质不同，因而l不同．则利用l≈和题给条件可求出θ．

解　劈形膜内为空气时，

劈形膜内为液体时，

则由，得

14-16　如图（a）所示的干涉膨胀仪，已知样品的平均高度为3.0×10-2m，用λ＝589.3nm的单色光垂直照射．当温度由17℃上升至30℃时，看到有20条条纹移过，问样品的热膨胀系数为多少？

题14-16图

分析　温度升高ΔT＝T2－T1后，样品因受热膨胀，其高度l的增加量Δl＝lαΔT．由于样品表面上移，使在倾角θ不变的情况下，样品与平板玻璃间的空气劈的整体厚度减小．根据等厚干涉原理，干涉条纹将整体向棱边平移，则原k级条纹从a移至a′处，如图（b）所示，移过某一固定观察点的条纹数目N与Δl的关系为，由上述关系可得出热膨胀系数α．

解　由题意知，移动的条纹数N＝20，从分析可得

则热膨胀系数K

14－17　在利用牛顿环测未知单色光波长的实验中，当用已知波长为589.3nm的钠黄光垂直照射时，测得第一和第四暗环的距离为Δr＝4.00×10-3m；当用波长未知的单色光垂直照射时，测得第一和第四暗环的距离为Δr′＝3.85×10-3m，求该单色光的波长．

分析　牛顿环装置产生的干涉暗环半径，其中k＝0，1，2…，k＝0，对应牛顿环中心的暗斑，k＝1和k＝4则对应第一和第四暗环，由它们之间的间距，可知，据此可按题中的测量方法求出未知波长λ′．

解　根据分析有

故未知光波长λ′＝546nm

14－18　如图所示，折射率n2＝1.2的油滴落在n3＝1.50的平板玻璃上，形成一上表面近似于球面的油膜，测得油膜中心最高处的高度dm＝1.1μm，用λ＝600nm的单色光垂直照射油膜，求

（1）油膜周边是暗环还是明环？

（2）整个油膜可看到几个完整的暗环？

题14-18图

分析　本题也是一种牛顿环干涉现象，由于n1＜n2＜n3，故油膜上任一点处两反射相干光的光程差Δ＝2n2d．

（1）令d＝0，由干涉加强或减弱条件即可判断油膜周边是明环．

（2）由2n2d＝（2k＋1）λ/2，且令d＝dm可求得油膜上暗环的最高级次（取整），从而判断油膜上完整暗环的数目．

解　

（1）根据分析，由

油膜周边处d＝0，即Δ＝0符合干涉加强条件，故油膜周边是明环．

（2）油膜上任一暗环处满足

令d＝dm，解得k＝3.9，可知油膜上暗环的最高级次为3，故油膜上出现的完整暗环共有4个，即k＝0，1，2，3．

14-19　把折射率n＝1.40的薄膜放入迈克耳孙干涉仪的一臂，如果由此产生了7.0条条纹的移动，求膜厚．设入射光的波长为589nm．

分析　迈克耳孙干涉仪中的干涉现象可以等效为薄膜干涉（两平面镜相互垂直）和劈尖干涉（两平面镜不垂直）两种情况，本题属于后一种情况．在干涉仪一臂中插入介质片后，两束相干光的光程差改变了，相当于在观察者视野内的空气劈尖的厚度改变了，从而引起干涉条纹的移动．

解　插入厚度为d的介质片后，两相干光光程差的改变量为2（n－1）d，从而引起N条条纹的移动，根据劈尖干涉加强的条件，有2（n－1）d＝Nλ，得

14-20　如图所示，狭缝的宽度b＝0.60mm，透镜焦距f＝0.40m，有一与狭缝平行的屏放置在透镜焦平面处．若以波长为600nm的单色平行光垂直照射狭缝，则在屏上离点O为x＝1.4mm处的点P看到的是衍射明条纹．试求：

（1）点P条纹的级数；

（2）从点P看来对该光波而言，狭缝的波阵面可作半波带的数目．

分析　单缝衍射中的明纹条件为，在观察点P位置确定（即衍射角φ确定）以及波长λ确定后，条纹的级数k也就确定了.而狭缝处的波阵面对明条纹可以划分的半波带数目为（2k＋1）条．

解　

（1）设透镜到屏的距离为d，由于d＞＞b，对点P而言，有．根据分析中的条纹公式，有

将b、d（d≈f）、x,λ的值代入，可得

k＝３

（2）由分析可知，半波带数目为7.

题14-20图

14-21　一单色平行光垂直照射于一单缝，若其第三条明纹位置正好和波长为600nm的单色光垂直入射时的第二级明纹的位置一样，求前一种单色光的波长．

分析　采用比较法来确定波长．对应于同一观察点，两次衍射的光程差相同，由于衍射明纹条件，故有，在两明纹级次和其中一种波长已知的情况下，即可求出另一种未知波长．

解　根据分析，将代入，得

14-22　已知单缝宽度b＝1.0×10-4m，透镜焦距f＝0.50m，用λ1＝400nm和λ2＝760nm的单色平行光分别垂直照射，求这两种光的第一级明纹离屏中心的距离，以及这两条明纹之间的距离．若用每厘米刻有1000条刻线的光栅代替这个单缝，则这两种单色光的第一级明纹分别距屏中心多远？

这两条明纹之间的距离又是多少？

分析　用含有两种不同波长的混合光照射单缝或光栅，每种波长可在屏上独立地产生自己的一组衍射条纹，屏上最终显示出两组衍射条纹的混合图样．因而本题可根据单缝（或光栅）衍射公式分别计算两种波长的k级条纹的位置x1和x2，并算出其条纹间距Δx＝x2－x1．通过计算可以发现，使用光栅后，条纹将远离屏中心，条纹间距也变大，这是光栅的特点之一．

解　

（1）当光垂直照射单缝时，屏上第k级明纹的位置

当λ1＝400nm和k＝1时，　　x1＝3.0×10-3m

当λ2＝760nm和k＝1时，　　x2＝5.7×10-3m

其条纹间距　　　　Δx＝x2－x1＝2.7×10-3m

（2）当光垂直照射光栅时，屏上第k级明纹的位置为

而光栅常数

当λ1＝400nm和k＝1时，　　x1＝2.0×10-2m

当λ2＝760nm和k＝1时，　　x2＝3.8×10-2m

其条纹间距　

14-23　老鹰眼睛的瞳孔直径约为6mm，问其最多飞翔多高时可看清地面上身长为5cm的小鼠？

设光在空气中的波长为600nm．

分析　两物体能否被分辨，取决于两物对光学仪器通光孔（包括鹰眼）的张角θ和光学仪器的最小分辨角θ0的关系．当θ≥θ0时能分辨，其中θ＝θ0为恰能分辨．在本题中为一定值，这里D是鹰的瞳孔直径.而,其中L为小鼠的身长，h为老鹰飞翔的高度.恰好看清时θ＝θ0.

解　由分析可知L/h＝1.22λ/D，得飞翔高度

h＝LD/（1.22λ）＝409.8m．

14-24　一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束中包含有两种波长的光：

λ1＝440nm和λ2＝660nm．实验发现，两种波长的谱线（不计中央明纹）第二次重合于衍射角φ＝60°的方向上，求此光栅的光栅常数．

分析　根据光栅衍射方程，两种不同波长的谱线，除k＝0中央明纹外，同级明纹在屏上位置是不同的，如果重合，应是它们对应不同级次的明纹在相同衍射角方向上重合．故由dsinφ＝kλ1＝k′λ2可求解本题．

解　由分析可知，得

得

上式表明第一次重合是λ1的第3级明纹与λ2的第2级明纹重合，第二次重合是λ1的第6级明纹与λ2的第4级明纹重合．此时，k＝6，k′＝4，φ＝60°，则光栅常数

*14-25　波长为600nm的单色光垂直入射在一光栅上，其透光和不透光部分的宽度比为1：

3，第二级主极大出现在处．试问

（1）光栅上相邻两缝的间距是多少？

（2）光栅上狭缝的宽度有多大？

（3）在－90°＜φ＜90°范围内，呈现全部明条纹的级数为哪些．

分析　

（1）利用光栅方程，即可由题给条件求出光栅常数（即两相邻缝的间距）．这里和是光栅上相邻两缝透光（狭缝）和不透光部分的宽度，在已知两者之比时可求得狭缝的宽度

（2）要求屏上呈现的全部级数，除了要求最大级次k以外，还必须知道光栅缺级情况.光栅衍射是多缝干涉的结果，也同时可看成是光透过许多平行的单缝衍射的结果．缺级就是按光栅方程计算屏上某些应出现明纹的位置，按各个单缝衍射计算恰是出现暗纹的位置．因此可以利用光栅方程和单缝衍射暗纹公式可以计算屏上缺级的情况，从而求出屏上条纹总数．

解　

（1）光栅常数

（2）由

得狭缝的宽度b=1.5.

（3）利用缺级条件

则（b＋b′）／b＝k／k′＝4，则在k＝4k′，即±4，±8，±12，…级缺级．

又由光栅方程，可知屏上呈现条纹最高级次应满足，即k=9，考虑到缺级，实际屏上呈现的级数为：

0，±1，±2，±3，±5，±6，±7，±9，共15条．

*14-26　以波长为0.11nm的X射线照射岩盐晶体，实验测得X射线与晶面夹角为11.5°时获得第一级反射极大．

（1）岩盐晶体原子平面之间的间距d为多大？

（2）如以另一束待测X射线照射，测得X射线与晶面夹角为17.5°时获得第一级反射光极大，求该X射线的波长．

分析　X射线入射到晶体上时，干涉加强条件为２dsinθ＝kλ（k＝0，1，2，…）式中d为晶格常数，即晶体内原子平面之间的间距（如图）．

解　

（1）由布拉格公式

第一级反射极大，即k＝1．因此，得

（2）同理，由2dsinθ2＝kλ2，取k＝1，得

题14-26图

14-27　测得一池静水的表面反射出来的太阳光是线偏振光，求此时太阳处在地平线的多大仰角处？

（水的折射率为1.33）

题14-27图

分析　设太阳光（自然光）以入射角i入射到水面，则所求仰角．当反射光起偏时，根据布儒斯特定律，有（其中n1为空气的折射率，n2为水的折射率）．

解　根据以上分析，有

则

14-28　一束光是自然光和线偏振光的混合，当它通过一偏振片时，发现透射光的强度取决于偏振片的取向，其强度可以变化5倍，求入射光中两种光的强度各占总入射光强度的几分之几．

分析　偏振片的旋转，仅对入射的混合光中的线偏振光部分有影响，在偏振片旋转一周的过程中，当偏振光的振动方向平行于偏振片的偏振化方向时，透射光强最大；而相互垂直时，透射光强最小．分别计算最大透射光强Imax和最小透射光强Imin，按题意用相比的方法即能求解．

解　设入射混合光强为I，其中线偏振光强为xI，自然光强为（1－x）I．按题意旋转偏振片，则有最大透射光强

最小透射光强

按题意，则有

解得　x＝2/3

即线偏振光占总入射光强的2/3，自然光占1/3．