数学建模公司投资问题文档格式.doc

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问题一：

根据附录一给出的数据，确定五年内如何安排该公司的投资计划，并使得第五年末所得利润最大。

问题二：

根据附录二和三提供的数据，预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。

问题三：

考虑到未来5年的投资计划中的其他情况，根据问题二预测结果，确定5年内如何安排20亿的投资并使得第五年末所得利润最大。

问题四：

将投资风险考虑到问题三中的投资问题，又该如何决策。

问题五：

为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得更高的收益，公司可在银行贷款进行投资，在此情况下，公司又应该如何对5年的投资进行决策？

2.模型的假设与符号说明

2.1模型的假设

假设一：

在投资期内，我们只考虑不可预测因素引起的平均风险损失；

假设二：

投资项目以及银行的利润率在预测期内是稳定不变的；

假设三：

附录一中给定的数据真实可靠，具有较好的代表性。

假设四：

只考虑项目3、4、5、6和5、6、8同时投资时之间存在相互影响，其他情况不做考虑。

假设五：

当用20亿资金投资若干种项目时，总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量

假设六：

银行未来五年内的存款年利润率和贷款年利润率不变

2.2符号说明

符号

符号说明

投资项目，

投资年份，

项目在第年初的投资金额

项目在第年末到期回收的本利（本金和利息的总和）

项目的预计到期利润率

项目的投资上限

第年末到期回收的本利的总金额

表示第年初可用于投资和存款的总金额

第年初对所有项目投资的总金额

公司用于投资的本金（20亿）

项目在第年投资后到期的预计到期利润率

项目的风险损失率

项目在第年投资的实际利润率

第年初投资金额和存款金额的总和

第年末还贷款后回收的总金额

公司第年存款的金额

公司第年贷款的金额

3.问题分析

此题研究的是某公司未来5年内的投资资金的使用问题，属于经济模型中的决策模型。

虽然我们针对问题一、三和四建立的三个单目标最优化模型的目标函数相同，但由于各个项目都有投资要求和回收本利的时间限制，所以对于不同的情况，就具有不同的约束条件。

针对问题一，考虑到项目1、2每年初投资，当年年末回收本利；

项目3、4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；

项目5、6每年初投资，第三年末才可回收本利；

项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利作为约束条件，以及初始资金共20亿。

以第五年末所得利润最大为目标函数，建立了一个单目标最优化模型。

针对问题二，要对各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率进行预测，首先，要求出历年来的各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率，然后考虑采用插值拟合对附录二、三的缺省值进行预测，在选择适合本问题精度较高的预测模型，进行对比后，我们采用了综合灰色预测模型和二次指数平滑法的预测方式。

对于风险投资率，以样本数据的方差值作为各项目的风险损失率。

针对问题三，在问题一的模型上改变了约束条件，即各项目的投资上限，项目5的投资额固定为500万且可重复投资和资金捐赠问题。

结合问题二的预测结果，和问题一相同的目标函数的单目标最优化问题。

针对问题四，是在问题三的投资问题上增加了风险投资率。

也就是将问题三中的到期利润率换成实际利润率即可求解。

即目标函数不变，增加了约束条件的单目标最优化问题。

针对问题五，考虑到降低风险投资，该公司决定拿出一部分资金存入银行。

为了获得更高的收益，当投资风险率高时，公司应选择在银行存大部分资金，而用小部分资金投资；

当投资风险率低时，应选择在银行贷款进行投资。

所以，我们以第五年末还贷款后回收的总金额（包括投资本利和，存款本金及利息）最大作为目标函数的单目标最优化模型。

4.数据分析

4.1数据处理

题目附录四中给出了各种投资项目的方案以及投资上限，我们利用Excel软件和Matlab编程对这些数据进行了相关统计分析和处理。

首先，我们根据附录二、三求出项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率。

其中，

整理求得后的数据见附录五、六（相关程序见附录）。

4.2数据预测

为方便分析以及组合预测法预测，我们对附录二、三的到期利润率的缺省值进行预测，采用多项式插值拟合的方式。

4.2.1多项式插值拟合的建立

所谓插值，就是由有限个已知数据点，构造一个解析表达式，由此计算数据点之间的函数值。

曲线拟合就是计算出两组数据之间的一种函数关系，由此可描绘其变化曲线及估计非采集数据对应的变量信息。

我们选择项目一历年的到期利润率利用Excel软件对其分析，见下图。

可见历年来，项目一的利润率变化波动比较大，同样的操作，发现所有项目的到期利润率波动都比较大。

而且经过我们统计分析，这8个项目不管是独立投资还是同时投资时，历年来到期利润率的波动性都比较大。

所以，我们采用三次多项式的插值拟合对数据进行预测。

通过对每组数据，使用matlab构造解析表达式，再进行预测（相关程序见附录）。

在本题中，我们将年份即从1986年开始到2005年之间的时间作为自变量，设为；

到期利润率作为因变量，设为。

其中时间，从1986年开始，即设为单位1，以此类推。

4.2.2预测结果

通过插值拟合对各投资项目独立投资和一些项目同时投资时历年的到期利润率的缺省值进行预测的结果记录于下表（具体数据见附录五、六）：

表一：

各投资项目独立投资时03—05年的到期利润率及预测值（加粗斜体为预测值）

03年

0.1039

0.1812

0.2640

0.3701

0.9291

1.108

9.0207

3.9019

04年

0.1908

0.1804

0.3183

0.4159

0.87

0.5842

11.2556

1.8090

05年

0.1308

0.1548

0.5030

0.7261

2.129

-0.0405

13.8241

1.9558

表二：

一些同时投资的项目04、05年的到期利润率及预测值（加粗斜体为预测值）

同时投资3、4

同时投资5、6

同时投资5、6、8

0.4709

0.4745

1.0445

2.3077

3.0729

-0.9029

-0.6520

0.1631

0.7268

1.4299

2.7757

4.1562

-1.6356

-1.4579

5.问题一的解答

问题一要求确定5年内的投资方案使得第五年末所得利润最大，且属于无风险投资。

这是线性规划中的最优解问题。

针对问题一，我们建立了模型一。

5.1模型一的建立

5.1.1确定目标函数

该模型是为了解决公司在五年内如何安排投资和在第五年末所获得的最大利润。

为解决此问题，我们将公司在第五年末所得利润的最大值作为目标函数。

该公司第一年年初只能对前六个项目（项目1，项目2项目6）进行投资，且6个投资项目预计到期利润率都大于0（见附录一），所以第一年20亿全用于投资。

当第一年年末将本金和利息都回收后再在第二年利用该资金对一部分项目进行再次投资即可，所以建立了如下的目标函数（第五年末所得利润值）：

5.1.2确定约束条件

（1）对于这8个项目，每年年初该公司的投资金额应不大于其各自的投资上限（见附录一），即：

（2）每年年初总投资金额应不大于所有可投资的金额（前一年回收的本金利润和），即：

其中，第一年的总投资金额不应大于20亿，则为：

注：

=20亿元表示第一年年初可用于投资的总金额

（3）对于项目1，2，每年初投资，当年年末回收本利；

对于项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；

对于项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利；

则：

特别地，

（4）对于项目3，4，每年年初投资，第二年末回收本利，则：

，，

（5）对于项目5，6每年年初投资，第三年末回收本利，则：

综合

（1）、

（2）、（3）、（4）和（5）可得到，问题一的约束条件。

5.1.3综上所述，得到问题一的单目标最优化模型

5.2模型一的求解

根据上述的目标函数，我们利用Lingo编程（相关程序见附录八），求出了该公司5年内最佳的投资方案（投资金额（单位：

亿元）），具体数据见下表：

表三：

5年内最佳的投资方案（单位：

亿元）

根据上表的投资方案，得出该公司在第五年末可以获利润17.41405亿元。

其数据的灵敏度分析同样适用Lingo求解，具体结果见附录八。

6.问题二的解答

对于问题二，要预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率，首先要对提供的数据进行处理。

我们已经通过插值拟合对附录表二、三的数据的缺省值进行了预测，见附录五、六。

6.1模型二的准备

首先对今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率进行灰色预测，得到的结果误差较大（最高的百分绝对误差为5.3704%），

又利用时间序列预测模型中的一、二、三次指数平滑预测法进行预测，结果也都不理想。

通过用一、二、三次的指数平滑法来预测1986—2005年的到期利润率，与真实值比较后发现，二次指数平滑法的预测效果要好于其他两种（具体对比数据见附录七）。

所以我们采用组合预测方法，组合预测方法就是先利用两种或两种以上不同的单项预测法对同一预测对象进行预测，然后对各个单独的预测结果做适当的加权平均，最后取其加权平均值作为最终的预测结果的一种预测方法。

6.2模型二的建立

在本题中，我们采用灰色GM（1，1）法和二次指数平滑法的组合预测模型来预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率。

这里采用均方误差确定加权系数。

首先，我们把1986-2005年分为两个时间段，即：

前十年为一段，后十年为一段。

然后，我们分别用灰色GM（1，1）法和二次指数平滑法根据1986-1995年到期利润率预测1996-2005年的到期利润率。

6.2.1灰色预测模型的建立

⑴原始数据，原始数据1986-1995年的到期利润率数据（即）表示为

⑵计算生成序列，用GM（1,1）建模时，首先我们对原始数据作一次累加得到序列

可以得到相应的的递增系列

⑶得到模型的白化方程，首先对计算紧邻均值生成：

接着我们根据GM（1,1）建模，写出灰色函数：

根据最小二乘参数估计法估计参数矩阵再利用离散数据系列建立近似的微分方程模型，得到GM（1,1）的白化方程即：

⑷白化方程的求解，得到预测值表达式，其白色方程的解为时间响应函数

通过改变的值我们可以得出原始数据序列的预测值为：

6.2.2灰色模型的预测

在已知各投资项目独立投资和一些同时投资的项目从1986年到2005年到期利润率的前提下，应用灰色预测对06—10年的到期利润率进行预测。

预测结果见表四、五。

表四：

各投资项目独立投资时06—10年的到期利润率的预测值

06年

0.14252

0.22921

0.36407

0.51863

1.0306

1.366

4.2666

1.8849

07年

0.14183

0.23858

0.36434

0.55297

1.0192

1.4694

4.5933

1.9225

08年

0.14114

0.24834

0.3646

0.58959

1.0079

1.5806

4.945

1.9609

09年

0.14046

0.25851

0.36487

0.62863

0.99673

1.7003

5.3236

10年

0.13978

0.26908

0.36513

0.67026

0.9857

1.829

5.7312

2.0399

表五：

一些同时投资的项目从06—10年的到期利润率的预测值

0.46264

0.47879

1.3143

0.33205

-1.7136

0.20946

0.88149

0.46243

0.48282

1.438

0.3823

-2.0347

0.1919

0.84306

0.46222

0.48689

1.5734

0.44016

-2.4159

0.17582

0.80631

0.46202

0.49099

1.7215

0.50678

-2.8686

0.16108

0.77116

0.46181

0.49512

1.8835

0.58347

-3.4062

0.14758

0.73754

6.2.3二次指数平滑法的建立

[1]原始数据，原始数据1986-1995年设为时间序列为

，

[2]取移动平均的项数，则移动平均数的递推公式有

以作为的最佳估计，则有

；

[3]计算一次指数平滑公式，令，为加权系数，对于该模型我们采用（通过比较后的预测结果，我们采用误差较小的0.2作为加权系数），以代替，即得:

，其中，

得到一次指数平滑公式为：

[4]建立二次平滑指数公式，根据一次指数平滑公式，再做二次指数平滑，利用滞后偏差的规律建立直线趋势模型，计算公式为

当时间序列，从某时期开始具有直线趋势时，可用直线趋势模型

进行预测。

由于时间序列的数据较多，为20个，初始值对以后的预测值影响较小，所以，我们选用第一个数据为初始值。

6.2.4二次指数平滑法的预测

应用二次指数平滑法对2006—2010年的到期利润率进行预测。

预测结果见表六、七。

表六：

0.1546

0.2171

0.3228

0.4046

0.9777

1.0282

4.6061

1.8438

0.1449

0.1975

0.3983

0.5640

1.5132

0.5739

4.6846

1.9324

0.1486

0.2107

0.3716

0.5311

1.3740

0.7288

4.9539

1.9407

0.1469

0.2108

0.3857

0.5751

1.5047

0.6400

5.1469

1.9812

0.1474

0.2161

0.3835

0.5883

1.5274

0.6487

5.3704

2.0088

表七：

0.5188

0.4416

1.1123

2.0812

2.2284

-0.2707

0.0904

0.3686

0.5703

1.3233

2.5603

3.2687

-0.9997

-0.7754

0.4207

0.5334

1.3229

2.5700

3.1218

-0.8912

-0.6755

0.3919

0.5627

1.4070

2.7675

3.4498

-1.1177

-0.9619

0.3955

0.5656

1.4573

2.8898

3.5878

-1.2102

-1.0938

6.2.5组合预测模型的建立

应用两种预测法对1996-2005年的到期利润率进行预测。

这10年的实际值与预测值见附录五。

由1996-2005年预测值与实际值的均方误差（）确定加权系数。

（1）设（）分别表示预测值，实际值和预测数据个数，那么由公式可分别求出灰色GM（1，1）法和二次指数平滑法的均方误差，。

故：

灰色GM（1，1）法的权系数：

二次指数平滑法的权系数：

（2）设分别表示灰色GM（1，1）法和二次指数平滑法的预测值，则组合预测值为。

6.2.6组合预测模型的预测

应用Excel求出灰色GM（1，1）法和二次指数平滑法的均方误差，及权系数，见下表八，表九：

表八：

各投资项目独立投资时的均方误差和权系数

0.0109

0.0966

0.0505

0.0500

0.4830

0.3385

2.8566

3.2684

0.0101

0.0134

0.0496

0.0388

0.3165

0.2827

3.3997

0.8640

0.4809

0.1215

0.4953

0.4366

0.3958

0.4551

0.5434

0.2091

0.5191

0.8785

0.5047

0.5634

0.6042

0.5449

0.4566

0.7909

表九：

一些同时投资的项目时的均方误差和权系数

0.0663

0.0348

0.4405

0.5348

0.4451

0.3038

1.3773

0.0618

0.0389

0.1646

0.4152

0.5151

0.3099

0.5516

0.4821

0.5277

0.2721

0.4371

0.5365

0.5050

0.2860

0.5179

0.4723

0.7279

0.5629

0.4635

0.4950

0.7140

6.2.7模型的精度检验

为了检验预测效果，我们引入均方根误差（RootMeanSquaredError，简称RMSE）对预测性能进行评价，它是一种常用的误差度量标准，其计算公式为：

其中，是实测值，为预测值，为预测检验个数。

显然，该指标的值越小说明预测精度越高。

我们采用均方根误差对组合预测法进行精度检验，使用的数据中，预测值为对1996—2000年五年的组合预测法计算出的数据，实测值是这五年的真实数据。

采用EXCEL软件对数据统计分析，将