上海交通大学历年概率统计试卷.doc
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上海交通大学
概率论与数理统计试卷2004-01
姓名:
班级:
学号:
得分:
一．判断题（10分，每题2分）
1.在古典概型的随机试验中，当且仅当是不可能事件（）
2．连续型随机变量的密度函数与其分布函数相互唯一确定（）
3．若随机变量与独立，且都服从的（0，1）分布，则（）
4．设为离散型随机变量,且存在正数k使得，则的数学期望
未必存在（）
5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时,犯第一类错误的概率与犯第
二类错误的概率不能同时减少（）
二．选择题（15分，每题3分）
1.设每次试验成功的概率为，重复进行试验直到第次才取
得次成功的概率为 .
（a）；（b）；
（c）；（d）.
2.离散型随机变量的分布函数为，则 .
（ａ）；（ｂ）；
（ｃ）；（ｄ）.
3.设随机变量服从指数分布，则随机变量的分布函
数 .
（ａ）是连续函数；（ｂ）恰好有一个间断点；
（ｃ）是阶梯函数；（ｄ）至少有两个间断点.
4.设随机变量的方差相关系数则
方差 .
（ａ）40；（ｂ）34；（ｃ）25.6；（ｄ）17.6
5.设为总体的一个样本，为样本均值，则下列结论中正确的是 .
（ａ）；（ｂ）；
（ｃ）；（ｄ）.
二.填空题（28分，每题4分）
1.一批电子元件共有100个,次品率为0.05.连续两次不放回地从中任取
一个,则第二次才取到正品的概率为
2.设连续随机变量的密度函数为，则随机变量的概率密度函数
为
3.设为总体中抽取的样本（）的均值,则
＝.
4.设二维随机变量的联合密度函数为
则条件密度函数为,当时,
5.设,则随机变量服从的分布为 （需写出自由度）
6.设某种保险丝熔化时间（单位：
秒），取的样本，得
样本均值和方差分别为，则的置信度为95%的单侧
置信区间上限为
7.设的分布律为
123
已知一个样本值，则参数的极大似然估计值
为
三.计算题（40分，每题8分）
1.已知一批产品中96%是合格品.检查产品时，一合格品被误认为是次品的
概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05．求在被检查后认
为是合格品的产品确实是合格品的概率
2．设随机变量与相互独立，，分别服从参数为的指数
分布，试求的密度函数.
3．某商店出售某种贵重商品.根据经验，该商品每周销售量服从参数为 的泊松分布.假定各周的销售量是相互独立的.用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率.
4.总体，为总体的一个样本.
求常数k,使为s的无偏估计量.
5．
（1）根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力
（单位：
kg）.已知kg，现从该厂生产的一大批特种金属丝中
随机抽取10个样品，测得样本均值kg.问这批特种金属丝的
平均折断力可否认为是570kg？
（）
（2）已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布.某日抽取
5个样品，测得其纤度为:
1.31，1.55，1.34，1.40，1.45.
问这天的纤度的总体方差是否正常？
试用作假设检验.
四.证明题（7分）
设随机变量相互独立且服从同一贝努利分布.试证明随机变量与相互独立.
附表：
标准正态分布数值表分布数值表t分布数值表
概率统计试卷参考答案
一.判断题（10分，每题2分）是非非非是.
二.选择题（15分，每题3分）（ａ）（ｄ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）.
三.填空题（28分，每题4分）
1.1/22；2.；3.0.9772；
4.当时；
5.6.上限为15.263.7.5/6.
四.计算题（40分，每题8分）
1.被查后认为是合格品的事件，抽查的产品为合格品的事件.（2分）
，（4分）
（2分）
2. （1分）
时，，从而；（1分）
时，（2分）
（2分）
所以
[]（2分）
3.设为第i周的销售量,（1分）
则一年的销售量为，,.（2分）
由独立同分布的中心极限定理，所求概率为
（4分）
.（1分）
4.注意到
5.
（1）要检验的假设为（1分）
检验用的统计量，
拒绝域为.（2分）
，落在拒绝域内，
故拒绝原假设，即不能认为平均折断力为570kg.
[,落在拒绝域外，
故接受原假设，即可以认为平均折断力为571kg.]（1分）
（2）要检验的假设为（1分）
[]
检验用的统计量，
拒绝域为或
（2分）
[]
落在拒绝域内，
[,落在拒绝域内，]
故拒绝原假设，即认为该天的纤度的总体方差不正常.（1分）
五、证明题（7分）由题设知
01012
（2分）
；
；
；
；
；
.
所以与相互独立.（5分）
上海交通大学试卷（A卷）
（2007至2008学年第1学期）
班级号___________________学号______________姓名
课程名称概率论与数理统计（A类）成绩
g
一是非题（请填写是或非。
共6分，每题1分）
1．若随机事件与独立，与独立，则与必独立。
（）
2．若概率，则不可能是连续型随机变量。
（）
3．等边三角形域上的二维均匀分布的边缘分布不是均匀分布。
（）
4．若，则随机变量的数学期望一定不小于数。
（）
5．总体均值的置信区间上限比样本观测值中的任一都要大。
（）
6．假设检验中犯第二类错误的概率是指。
（）
二填空题（共15分，每题3分）
7．设随机变量服从（1，3）上的均匀分布，则随机因变量的概率密度函数
为
。
8．设随机变量与相互独立，且都服从参数的分布，则函数
的分布律为
。
9．对某一目标连续射击直至命中3次为止。
设每次射击的命中率为，消耗的子弹数为，
则，。
10．设,由切比雪夫不等式知,的取值区
间为 与 之间。
11．设（）是来自正态分布的简单随机样本，。
当＝ 时，服从分布，。
题号
一
二
三
17-20
21-23
24
总分
得分
批阅人
我承诺，我将严格遵守考试纪律。
承诺人：
三选择题（共15分，每题3分）
12．设随机事件满足，则下面结论正确的是 。
（ａ）；（ｂ）；
（ｃ）；（ｄ）。
13．设，分布函数为，则对任意实数，有 。
（ａ）；（ｂ）；
（ｃ）；（ｄ）。
14．设随机变量与的二阶矩都存在且独立同分布，记，则与 。
（ａ）相互不独立；（ｂ）相互独立；
（ｃ）相关系数不为零；（ｄ）相关系数为零。
15．设为独立随机变量序列，的密度函数是
，为标准正态分布函数，则下列选项中正确的是 。
（ａ）；（ｂ）；
（ｃ）；（ｄ）。
16．设总体，即密度函数，参数且已知，
为的样本，则统计量服从的分布是 。
（ａ）；（ｂ）；（ｃ）；（ｄ）。
四计算题（共56分,每题8分）
17．已知某油田钻井队打的井出油的概率为0.08，而出油的井恰位于有储油地质结构位置上的概率为0.85，
而不出油的井位于有储油地质结构位置上的概率为0.45。
求钻井队
1）在有储油地质结构位置上打井的概率；2）在有储油地质结构位置上打的井出油的概率。
X
Y
1
2
0
1/10
1/2
1/5
1/5
1
18．已知随机变量（）的联合分布律，
1）求的分布律；
2）在的条件下求的条件分布律。
19．设随机变量为区间上任意取的两个数，求的分布函数与密度函数。
20．国家宏观调控政策后，沧源路上某房地产中介公司每周卖出的住房套数服从参数为的Poisson
分布，试用中心极限定理估计该房产中介一年（52周）能卖出20到30套住房的概率。
21．设总体的密度函数为，其中为未知参数，
为取之总体的一个样本。
求参数的矩估计量与极大似然估计量。
22．设总体，设为其容量为的样本，引入统计量
，
试确定常数使得为的无偏估计量。
23．据历史记载，上海1月份的平均最低气温为，最近几年的上海1月份的平均最低气温如下：
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
3．8
4．0
0．7
2．2
1．0
3．5
3．1
（单位:
；数据来源:
天气在线），试据此数据检验上海气候有无变暖？
（）
五．证明题（本题8分）
24．设，为分布的上分位点，为分布的上分位点。
试证明：
（1）；
（2）
附表：
标准正态分布数值表分布数值表t分布数值表
概率统计（A类）试卷A（评分标准）2008.1.9
一是非题（6分，每题1分）非是是是非非
二填空题（15分，每题3分）7.；8.；
9.，；10.；11.1/3，9，54.
三选择题（15分，每题3分）bcdab
四.计算题（56分，每题8分）
17．设事件
则（2分）
1）由全概率公式
（3分）
2）由贝叶斯公式得所求概率为
.（3分）
18．1）；（3分）
2）.（2分）
条件分布律为
（3分）
19．的联合密度为，（1分）
上的分界点为分布函数为
时；时；（1分）
时，；（2分）
时，.（2分）
（2分）
20．令，易知独立同分布。
由中心极限定理，该房产中介一年卖出的房子总数（4分）
从而
（4分）
21．
（1）矩法估计（4分）：
易知服从参数为的指数分布，从而
（2）极大似然估计（4分）：
设样本观测值为，则似然函数为
易知关于的单增函数，要使极大，要尽可能地大，故
，为所求极大似然估计量.
22．（6分）
（2分）
23．（2分）
假设：
（或）（2分）
则取统计量，在为真条件下，，
拒绝域
代入数据计算得
从而拒绝，即认为上海气候明显变暖。
（4分）
五．证明题（8分）
24．设，则，其中，
令，则.（4分）
由分布定义（2分）
（2分）
上海交通大学试卷（A卷）
（2008至2009学年第2学期）2009.7.1
班级号___________________学号______________姓名
课程名称概率论与数理统计（A类）成绩
一是非题（共6分，每题1分）
1．在事件发生条件下,事件与同时发生的概率为1，则必有。
（）
2．二维随机变量在矩形域上服从均匀分布，则
相互独立。
（）
3．若连续随机变量的密度函数关于直线对称，则数学期望必存在且为0.（）
4.若随机变量与相互独立，则与必不相关。
（）
5．若,,则.（）
6．是总体的样本，则是参数的无偏估计。
（）
二填空题（共24分，每题3分）
7．，，则。
8．设随机变量，，，，且。
则数学期望。
9．设随机变量服从区域上的均匀分布，则在的条件下的
条件密度函数
。
10．二维随机变量,令，则。
__________。
__________。
11．在独立试验中，每次试验成功的概率为，则在成功2次之前已经失败3次的
概率为 。
题号
一
二
三
20-22
23-26
总分
得分
批阅人
我承诺，我将严格遵守考试纪律。
承诺人：
12．设（）为取自总体的样本，则＝。
13．设（）是来自正态总体的简单随机样本，则
。
14．某清漆的干燥时间服从正态分布．现测得9个样品的平均干燥时间为6小时，则的置信度为0.95的单侧置信区间上限为 。
，
查表的
*．为了了解一台测量长度的仪器的精度，对一根长为30mm的标准金属棒进行6次重复测量，测得
结果如下：
30.129.929.830.330.229.6
假定测量值服从，其中未知。
则的置信度为0.95的置信区间为。
，
查表的
17（070802）．为了了解一台测量长度的仪器的精度，对一根长为30mm的标准金属棒进行6次重复测量，测得
结果如下：
30.129.929.830.330.229.6
假定测量值服从，其中未知。
则的置信度为0.95的置信区间为。
三单项选择题（共15分，每题3分）
15．设，则下面正确的等式是
（ａ）；（ｂ）；
（ｃ）；（ｄ）。
16．设为来自正态总体的样本，为样本均值，已知统计量
是参数的无偏点估计量，则常数
（ａ）；（ｂ）；
（ｃ）；（ｄ）。
17．设随机变量的分布函数，为标准正态分布函数，
则的数学期望
（ａ）0.2；（ｂ）0.4；
（ｃ）0.8；（ｄ）1。
18．设为独立随机变量序列，服从指数分布，为
标准正态分布函数，为任一实数。
则下列选项中正确的是
（ａ）；（ｂ）；
（ｃ）；（ｄ）。
19．设为来自正态总体的样本，又且
与相互独立，与分别为样本均值和样本方差，则
（ａ）；（ｂ）；
（ｃ）；（ｄ）。
四解答题（共48分,每题8分）
20．某台机器正常工作时，所生产的一等品与二等品各为50%。
该机器不能正常工作时，生产的一等品为25%，二等品为75%。
已知这台机器有10%的时间不能正常工作。
现从该机器在某特定的时间内生产的所有产品中随机地选取1件，查看后仍放回，共依次查看5件。
（1）如果该机器在此特定的时间内正常工作，试求取到的为4件一等品、1件二等品的概率；
（2）如果取到的为4件一等品、1件二等品，试求该机器在此特定时间内正常工作的概率。
21．设二维随机变量的联合密度函数为。
求随机变量的分布函数与密度函数。
19（08-7题）．学校某课程考试成绩分优秀、及格、不及格三种，优秀得3分、及格得2分、不及格得1分.根据以往统计参加考试的学生获优秀及格不及格的分别占20%、70%和10%.现有100位学生参加考试,
（1）试用切贝雪夫不等式估计这100位学生考试总分在200分至220分的概率；
（2）用中心极限定理近似计算这100位学生考试总分在200分至220分的概率
是第i个人的得分的分布为
Xi
3
2
1
p
0.20
0.70
0.10
（1）
（2）（近似）
22．如果要估计抛掷一枚图钉时尖头朝上的概率，为了有95%以上的把握保证所观察到的频率与概率的绝对误差小于，试用中心极限定理估计至少应该作多少次试验？
23．已知是取自于总体的样本，且的
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