复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的习题答案.doc
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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）
复变函数与积分变换
（修订版）
主编：
马柏林
（复旦大学出版社）
——课后习题答案
67/67
习题一
1.用复数的代数形式a+ib表示下列复数
.
①解
②解：
③解：
④解：
2.求下列各复数的实部和虚部（z=x+iy）
R）;
①：
∵设z=x+iy
则 ∴, ．
②解：
设z=x+iy
∵ ∴, ．
③解：
∵
∴, ．
④解：
∵
∴, ．
⑤解：
∵．
∴当时，，；
当时，，．
3.求下列复数的模和共轭复数
①解：
．
②解：
③解：
．
④解：
4、证明：
当且仅当时，z才是实数．
证明：
若，设，
则有 ，从而有，即y=0
∴z=x为实数．
若z=x，x∈¡，则．
∴．
命题成立．
5、设z,w∈£，证明：
证明∵
∴．
6、设z,w∈£，证明下列不等式．
并给出最后一个等式的几何解释．
证明：
在上面第五题的证明已经证明了．
下面证．
∵
．从而得证．
∴
几何意义：
平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．
7.将下列复数表示为指数形式或三角形式
①解：
其中．
②解：
其中．
③解：
④解：
.
∴
⑤解：
解：
∵．
∴
8.计算：
（1）i的三次根；
（2）-1的三次根；（3）的平方根.
⑴i的三次根．
解：
∴．
⑵-1的三次根
解：
∴
⑶的平方根．
解：
∴
∴
．
9.设.证明：
证明：
∵ ∴，即．
∴
又∵n≥2．∴z≠1
从而
11.设是圆周令
其中.求出在a切于圆周的关于的充分必要条件.
解：
如图所示．
因为={z:
=0}表示通过点a且方向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，则CA⊥．过C作直线平行，则有∠BCD=β，∠ACB=90°
故α-β=90°
所以在α处切于圆周T的关于β的充要条件是α-β=90°．
12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.
解：
（1）、argz=π．表示负实轴．
（2）、|z-1|=|z|．表示直线z=．
（3）、1<|z+i|<2
解：
表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
（4）、Re（z）>Imz．
解：
表示直线y=x的右下半平面
5、Imz>1，且|z|<2．
解：
表示圆盘内的一弓形域。
习题二
1.求映射下圆周的像.
解：
设则
因为,所以
所以,
所以即，表示椭圆.
2.在映射下，下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形，设或.
（1）；
（2）;
（3）x=a,y=b.（a,b为实数）
解：
设
所以
（1）记，则映射成w平面内虚轴上从O到4i的一段，即
（2）记，则映成了w平面上扇形域，即
（3）记，则将直线x=a映成了即是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y=b映成了
即是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示.
3.求下列极限.
（1）;
解：
令,则.
于是.
（2）;
解：
设z=x+yi，则有
显然当取不同的值时f（z）的极限不同
所以极限不存在.
（3）；
解：
=.
（4）.
解：
因为
所以.
4.讨论下列函数的连续性：
（1）
解：
因为,
若令y=kx,则,
因为当k取不同值时，f（z）的取值不同，所以f（z）在z=0处极限不存在.
从而f（z）在z=0处不连续，除z=0外连续.
（2）
解：
因为,
所以
所以f（z）在整个z平面连续.
5.下列函数在何处求导？
并求其导数.
（1）（n为正整数）；
解：
因为n为正整数，所以f（z）在整个z平面上可导.
.
（2）.
解：
因为f（z）为有理函数，所以f（z）在处不可导.
从而f（z）除外可导.
（3）.
解：
f（z）除外处处可导，且.
（4）.
解：
因为
.所以f（z）除z=0外处处可导，且.
6.试判断下列函数的可导性与解析性.
（1）;
解：
在全平面上可微.
所以要使得
，,
只有当z=0时,
从而f（z）在z=0处可导，在全平面上不解析.
（2）.
解：
在全平面上可微.
只有当z=0时,即（0,0）处有,.
所以f（z）在z=0处可导，在全平面上不解析.
（3）;
解：
在全平面上可微.
所以只有当时，才满足C-R方程.
从而f（z）在处可导，在全平面不解析.
（4）.
解：
设，则
所以只有当z=0时才满足C-R方程.
从而f（z）在z=0处可导，处处不解析.
7.证明区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数.
（1）;
证明：
因为，所以,.
所以u,v为常数，于是f（z）为常数.
（2）解析.
证明：
设在D内解析,则
而f（z）为解析函数，所以
所以即
从而v为常数，u为常数，即f（z）为常数.
（3）Ref（z）=常数.
证明：
因为Ref（z）为常数，即u=C1,
因为f（z）解析，C-R条件成立。
故即u=C2
从而f（z）为常数.
（4）Imf（z）=常数.
证明：
与（3）类似，由v=C1得
因为f（z）解析，由C-R方程得,即u=C2
所以f（z）为常数.
5.|f（z）|=常数.
证明：
因为|f（z）|=C，对C进行讨论.
若C=0，则u=0,v=0,f（z）=0为常数.
若C0，则f（z）0,但，即u2+v2=C2
则两边对x,y分别求偏导数，有
利用C-R条件，由于f（z）在D内解析，有
所以所以
即u=C1,v=C2,于是f（z）为常数.
（6）argf（z）=常数.
证明：
argf（z）=常数，即,
于是
得
C-R条件→
解得，即u,v为常数，于是f（z）为常数.
8.设f（z）=my3+nx2y+i（x3+lxy2）在z平面上解析，求m,n,l的值.
解：
因为f（z）解析，从而满足C-R条件.
所以.
9.试证下列函数在z平面上解析，并求其导数.
（1）f（z）=x3+3x2yi-3xy2-y3i
证明：
u（x,y）=x3-3xy2,v（x,y）=3x2y-y3在全平面可微,且
所以f（z）在全平面上满足C-R方程，处处可导，处处解析.
.
（2）.
证明：
处处可微，且
所以,
所以f（z）处处可导，处处解析.
10.设
求证：
（1）f（z）在z=0处连续．
（2）f（z）在z=0处满足柯西—黎曼方程．
（3）f′（0）不存在．
证明.
（1）∵
而
∵
∴
∴
同理
∴
∴f（z）在z=0处连续．
（2）考察极限
当z沿虚轴趋向于零时，z=iy，有
．
当z沿实轴趋向于零时，z=x，有
它们分别为
∴
∴满足C-R条件．
（3）当z沿y=x趋向于零时，有
∴不存在．即f（z）在z=0处不可导．
11.设区域D位于上半平面，D1是D关于x轴的对称区域，若f（z）在区域D内解析，求证在区域D1内解析．
证明：
设f（z）=u（x,y）+iv（x,y），因为f（z）在区域D内解析．
所以u（x,y）,v（x,y）在D内可微且满足C-R方程，即．
，得
故φ（x,y）,ψ（x,y）在D1内可微且满足C-R条件
从而在D1内解析
13.计算下列各值
（1）e2+i=e2∙ei=e2∙（cos1+isin1）
（2）
（3）
（4）
14.设z沿通过原点的放射线趋于∞点，试讨论f（z）=z+ez的极限．
解：
令z=reiθ，
对于θ，z→∞时，r→∞．
故．
所以．
15.计算下列各值．
（1）
（2）
（3）ln（ei）=ln1+iarg（ei）=ln1+i=i
（4）
16.试讨论函数f（z）=|z|+lnz的连续性与可导性．
解：
显然g（z）=|z|在复平面上连续，lnz除负实轴及原点外处处连续．
设z=x+iy，
在复平面内可微．
故g（z）=|z|在复平面上处处不可导．
从而f（x）=|z|+lnz在复平面上处处不可导．
f（z）在复平面除原点及负实轴外处处连续．
17.计算下列各值．
（1）
（2）
（3）
18.计算下列各值
（1）
（2）
（3）（4）（5）
（6）
19.求解下列方程
（1）sinz=2．
解：
（2）
解：
即
（3）
解：
即
（4）
解：
．
20.若z=x+iy，求证
（1）sinz=sinxchy+icosx∙shy
证明：
（2）cosz=cosx∙chy-isinx∙shy
证明：
（3）|sinz|2=sin2x+sh2y
证明：
（4）|cosz|2=cos2x+sh2y
证明：
21.证明当y→∞时，|sin（x+iy）|和|cos（x+iy）|都趋于无穷大．
证明：
∴
而
当y→+∞时，e-y→0，ey→+∞有|sinz|→∞．
当y→-∞时，e-y→+∞，ey→0有|sinz|→∞．
同理得
所以当y→∞时有|cosz|→∞．
习题三
1.计算积分,其中C为从原点到点1+i的直线段.
解设直线段的方程为,则.
故
2.计算积分，其中积分路径C为
（1）从点0到点1+i的直线段;
（2）沿抛物线y=x2，从点0到点1+i的弧段.
解
（1）设.
（2）设.
3.计算积分，其中积分路径C为
（1）从点-i到点i的直线段;
（2）沿单位圆周|z|=1的左半圆周，从点-i到点i;
（3）沿单位圆周|z|=1的右半圆周，从点-i到点i.
解
（1）设.
（2）设.从到
（3）设.从到
6.计算积分,其中为.
解
∵在所围的区域内解析
∴
从而
故
7.计算积分,其中积分路径为
（1）
（2）（3）
（4）
解：
（1）在所围的区域内，只有一个奇点.
（2）在所围的区域内包含三个奇点.故
（3）在所围的区域内包含一个奇点,故
（4）在所围的区域内包含两个奇点,故
10.利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分.
（1）
（2）（3）
（4）（5）（6）
解
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）11.计算积分,其中为
（1）
（2）（3）
解
（1）
（2）
（3）
16.求下列积分的值,其中积分路径C均为|z|=1.
（1）
（2）（3）
解
（1）
（2）
（3）
17.计算积分,其中积分路径为
（1）中心位于点,半径为的正向圆周
（2）中心位于点,半径为的正向圆周
解：
（1）内包含了奇点
∴
（2）内包含了奇点,
∴
19.验证下列函数为调和函数.
解
（1）设,
∴
从而有
满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.
（2）设,
∴
从而有
满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.
满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.
20.证明:
函数,都是调和函数,但不是解析函数
证明:
∴,从而是调和函数.
∴,从而是调和函数.
但∵
∴不满足C-R方程,从而不是解析函数.
22.由下列各已知调和函数,求解析函数
（1）
（2）
解
（1）因为
所以
令y=0,上式变为
从而
（2）
用线积分法，取（x0,y0）为（1,0），有
由，得C=0
23.设,其中各不相同，闭路C不通过,证明积分
等于位于C内的p（z）的零点的个数.
证明:
不妨设闭路C内的零点的个数为k,其零点分别为
24.试证明下述定理（无界区域的柯西积分公式）:
设f（z）在闭路C及其外部区域D内解析，且，则
其中G为C所围内部区域.
证明：
在D内任取一点Z，并取充分大的R，作圆CR:
，将C与Z包含在内
则f（z）在以C及为边界的区域内解析，依柯西积分公式，有
因为在上解析，且
所以，当Z在C外部时，有
即
设Z在C内，则f（z）=0，即
故有：
习题四
1.复级数与都发散,则级数和发散.这个命题是否成立?
为什么?
答.不一定．反例:
发散
但收敛
发散
收敛.
2.下列复数项级数是否收敛,是绝对收敛还是条件收敛?
（1）
（2）（3）
（4）（5）
解
（1）
因为发散,所以发散
（2）发散
又因为
所以发散
（3）发散,又因为收敛,所以不绝对收敛.
（4）
因为
所以级数不绝对收敛.
又因为当n=2k时,级数化为收敛
当n=2k+1时,级数化为也收敛
所以原级数条件收敛
（5）
其中发散,收敛
所以原级数发散.
3.证明:
若,且和收敛,则级数绝对收敛.
证明:
设
因为和收敛
所以收敛
又因为,
所以且
当n充分大时,
所以收敛
而收敛，收敛
所以收敛，从而级数绝对收敛.
4.讨论级数的敛散性
解因为部分和，所以，
，不存在.
当而时（即），cosnθ和sinnθ都没有极限,所以也不收敛．
.
故当和时,收敛.
5.幂级数能否在z=0处收敛而在z=3处发散.
解：
设，则当时，级数收敛，时发散.
若在z=0处收敛,则
若在z=3处发散,则
显然矛盾,所以幂级数不能在z=0处收敛而在z=3处发散
6.下列说法是否正确?
为什么?
（1）每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.
（2）每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.
答:
（1）不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散.
（2）不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.
7.若的收敛半径为R,求的收敛半径。
解：
因为
所以
8.证明：
若幂级数的系数满足，则
（1）当时,
（2）当时,
（3）当时,
证明：
考虑正项级数
由于，若，由正项级数的根值判别法知，当，即，收敛。
当，即，不能趋于零,级数发散.故收敛半径.
当时,,级数收敛且.
若,对当充分大时,必有不能趋于零,级数发散.且
9.求下列级数的收敛半径，并写出收敛圆周。
（1）
（2）
（3）
（4）
解:
（１）
收敛圆周
（2）
所以收敛圆周
（3）记
由比值法,有
要级数收敛,则
级数绝对收敛,收敛半径为
所以收敛圆周
（4）记
所以时绝对收敛,收敛半径
收敛圆周
10.求下列级数的和函数.
（1）
（2）
解:
（1）
故收敛半径R=1,由逐项积分性质，有：
所以
于是有：
（2）令：
故R=∞,由逐项求导性质
由此得到
即有微分方程
故有：
， A,B待定。
所以
11.设级数收敛，而发散，证明的收敛半径为1
证明：
因为级数收敛
设
若
的收敛半径为1
则
现用反证法证明
若则，有，即收敛，与条件矛盾。
若则，从而在单位圆上等于，是收敛的，这与收敛半径的概念矛盾。
综上述可知，必有，所以
12.若在点处发散，证明级数对于所有满足点都发散.
证明：
不妨设当时，在处收敛
则对，绝对收敛，则在
点处收敛
所以矛盾,从而在处发散.
13.用直接法将函数在点处展开为泰勒级数,（到项）,并指出其收敛半径.
解:
因为
奇点为
所以
又
于是，有展开式
14.用直接法将函数在点处展开为泰勒级数,（到项）
解：
为的奇点，所以收敛半径
又
于是，在处的泰勒级数为
15.用间接法将下列函数展开为泰勒级数，并指出其收敛性.
（1）分别在和处
（2）在处
（3）在处
（4）在处
（5）在处
解
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）因为从沿负实轴不解析
所以,收敛半径为R=1
16.为什么区域内解析且在区间取实数值的函数展开成的幂级数时，展开式的系数都是实数？
答：
因为当取实数值时，与的泰勒级数展开式是完全一致的，而在内，的展开式系数都是实数。
所以在内，的幂级数展开式的系数是实数.
17.求的以为中心的各个圆环域内的罗朗级数.
解:
函数有奇点与,有三个以为中心的圆环域,其罗朗级数.分别为：
19.在内将展开成罗朗级数.
解:
令则
而在内展开式为
所以,代入可得
20.有人做下列运算,并根据运算做出如下结果
因为,所以有结果
你认为正确吗?
为什么?
答:
不正确,因为要求
而要求
所以,在不同区域内
21.证明:
用z的幂表示的罗朗级数展开式中的系数为
证明:
因为和是的奇点，所以在内，的罗朗级数为
其中
其中C为内任一条绕原点的简单曲线.
22.是函数的孤立奇点吗?
为什么?
解:
因为的奇点有
所以在的任意去心邻域，总包括奇点，当时，z=0。
从而不是的孤立奇点.
23. 用级数展开法指出函数在处零点的级.
解：
故z=0为f（z）的15级零点
24. 判断是否为下列函数的孤立奇点，并确定奇点的类型：
⑴ ； ⑵
解:
是的孤立奇点
因为
所以是的本性奇点.
（2）因为
所以是的可去奇点.
25.下列函数有些什么奇点？
如果是极点，指出其点：
⑴ ⑵⑶
解:
（1）
所以是奇点,是二级极点.
解:
（2）
是奇点,是一级极点,0是二级极点.
解:
（3）
是的二级零点
而是的一级零点,是的一级零点
所以
是的二级极点,是的一级极点.
26.判定下列各函数的什么奇点？
⑴ ⑵⑶
解:
（1）当时,
所以,是的可去奇点.
（2）因为
所以,是的本性奇点.
（3）当时,
所以,是的可去奇点.
27.函数在处有一个二级极点，但根据下面罗朗展开式：
.
我们得到“又是的本性奇点”，这两个结果哪一个是正确的？
为什么?
解:
不对,z=1是f（z）的二级极点,不是本性奇点.所给罗朗展开式不是在内得到的
在内的罗朗展开式为
28.如果C为正向圆周，求积分的值
（1）
（2）
解：
（1）先将展开为罗朗级数，得
而=3在内，,故
（2）在内处处解析，罗朗展开式为
而=3在内，,故
习题五
1.求下列函数的留数．
（1）在z=0处．
解：
在0<|z|<+∞的罗朗展开式为
∴
（2）在z=1处．
解：
在0<|<+∞的罗朗展开式为
∴．
2.利用各种方法计算f（z）在有限孤立奇点处的留数．
（1）
解：
的有限孤立奇点处有z=0，z=-2．其中z=0为二级极点z=-2为一级极点．
∴
3.利用罗朗展开式求函数在∞处的留数．
解：
∴
从而
5.计算下列积分．
（1），n为正整数，c为|z|=n取正向．
解：
．
为在c内tanπz有
（k=0,±1,±2…±（n-1））一级极点
由于
∴
（2）c:
|z|=2取正向．
解：
因为在c内有z=1，z=-i两个奇点．
所以
6.计算下列积分．
（1）
因被积函数为θ的偶函数，所以
令则有
设则
被积函数在|z|=1内只有一个简单极点
但
所以
又因为
∴
（2），|a|>1．
解：
令
令z=eiθ．，则
得
（3），a>0，b>0．
解：
令，被积函数R（z）在上半平面有一级极点z=ia和ib．故
（4）.，a>0．
解：
令，则z=±ai分别为R（z）的二级极点
故（5），β>0，b>0．
解：
而考知，则R（z）在上半平面有z=bi一个二级极点．
从而
（6），a>0
解：
令，在上半平面有z=ai一个一级极点
7.计算下列积分
（1）
解：
令，则R（z）在实轴上有孤立奇点z=0，作以原点为圆心、r为半径的上半圆周cr，使CR,[-R,-r],Cr,[r,R]构成封闭曲线，此时闭曲线内只有一个奇点i,
于是：
而．
故：
．
（2），其中T为直线Rez=c,c>0,0解：
在直线z=c+iy（-∞其中AB为复平面从c-iR到c+iR的线段．
考虑函数f（z）沿长方形-R≤x≤c，-R≤y≤R周界的积分．＜如下图＞
因为f（z）在其内仅有一个二级极点z=0，而且
所以由留数定理．
而．
习题六
1.求映射下，下列曲线的像.
（1）（，为实数）
解：
所以将映成直线.
（2）（k为实数）
解：
故将映成直线.
2.下列区域在指定的映射下映成什么？
（1）；
解：
所以.
故将映成.
（2）Re（z）>0.0解：
设z=x+iy,x>0,0Re（w）>0.Im（w）>0.若w=u+iv,则
因为0故将Re（z）>0,0Re（w）>0,Im（w）>0,（以（,0）为圆心、为半径的圆）
3.求w=z2在z=i处的伸缩率和旋转角，问w=z2将经过点z=i且平行于实轴正向的曲线的切线方向映成w平面上哪一个方向？
并作图.
解：
因为=2z,所以（i）=2i,||=2,旋转角arg=.
于是,经过点i且平行实轴正向的向量映成w平面上过点-1，且方向垂直向上的向量.如图所示.
→
4.一个解析函数，所构成的映射在什么条件下具有伸缩率和旋转角的不变性？
映射w=z2在z平面上每一点都具有这个性质吗？
答：
一个解析函数所构成的映射在导数不为零的条件下具有伸缩率和旋转不变性映射w=z2在z=0处导数为零，所以在z=0处不具备这个性质.
5.求将区域0
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