高等代数在初等数学中的应用.doc
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数学与统计学院2013届毕业论文
分类号
编号____
毕业论文
题目高等代数在初等数学中的应用
学院数学与统计学院
姓名
专业数学与应用数学
学号
研究类型应用研究
指导教师
提交日期
原创性声明
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本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。
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论文作者签名：
年月日
论文指导教师签名：
高等代数在初等数学中的应用
（数学与统计学院数学与应用数学甘肃天水741000）
Xxx
摘 要：
通过具体例子,展示出了高等代数是中学代数的继续与提高的特点，示范了利用高等代数的相关知识能解决中学数学中的一些较烦与较难解决的问题的方法.
关键词：
多项式;行列式；线性方程组；矩阵的秩；二次型
TheApplicationofAlgebrainMiddleSchoolMathematicsCourse
（SchoolofMathematicsandStatistics,TianshuiNormalUniversity,741000）
Xxx
Abstract：
Thispaperdemonstratesthatadvancedalgebraisthecontinuingandincreaseofhighschoolalgebra,anddemonstratesthatuseofknowledgeofadvancedalgebracansolvesomeannoyinganddifficultprobleminhighschooleasily,severalexamplesweregiven.
Keywords：
Polynormial,Determinant,Linearequations,Matrix,
Quadraticform.
目录
1多项式的应用 1
1.1求函数值 1
1.2证明等式 1
2行列式的应用 2
2.1求函数解析式 2
2.2分解因式 2
2.3证明等式 3
2.4利用行列式证明四点共圆 4
3线性方程组的应用 5
3.1求多项式的值 5
3.2确定椭圆及双曲线的方程 6
3.3求等差数列的和 7
3.4克拉默法则在平面三直线交点中的应用 7
4矩阵在初等数学中的应用 9
4.1求数列的通项公式 9
4.2矩阵的秩在空间四点位置关系中的应用 10
4.3矩阵的秩在空间三平面位置关系中应用 11
5二次型的应用 13
5.1利用正定和半正定二次型证明不等式 13
5.2利用特征值求最值 14
高等代数在初等数学中的应用
1多项式的应用
1.1求函数值
例1已知函数，求当时的函数值。
解由已知条件，得
变形，有
又1整除则整除.
由多项式的除法，得
将代入上式可得
故当时的函数值为18.
1.2证明等式
例2已知为整数且与均为整数，
求证.
证明令函数（*）
根据题意可得
多项式函数的首项系数是1且其为整系数多项式
由（*）式，得是该函数的三个有理根
从而均是整数.
又于是.
进而有.
2行列式的应用
2.1求函数解析式
例3已知函数，
满足，求函数的解析式.
解根据题意可得，
将上式视作关于的线性方程组，它的系数行列式为范德蒙德行列式，
由行列式及线性方程组的相关理论，可得
即.
2.2分解因式
由行列式的定义，行列式，由此出发，把一个代数式看成两个式子的差，而每个式子又可以表成两个因式的乘积，即,,从而，
即可根据行列式的性质，对一部分多项式进行分解.
例4分解因式
解
===
=.
例5分解因式:
.
====
==
=
应用行列式分解因式,可以先作一个行列式使其值等于所给的多项式,然后对行列式进行行变换或列变换,使之某一行或一列元素完全相同,然后降阶展开从而达到因式分解的目的.
2.3证明等式
例6已知，，，
求证.
证明令，
则有.
例7已知,求证.
证明令则
=
即
从而.
例8如果，求证
证明根据题意及行列式的性质有
又因为于是.
即.
2.4利用行列式证明四点共圆
定理1平面上四点共圆的充分必要条件是=0
例9设为平面上一点，过点做抛物线的两条切线交轴于两点，其中，，抛物线的焦点，证明四点共圆.
证明不妨设
令过点P的抛物线的切线方程为，则依题意有
即，且所以，
故抛物线的方程为将代入上述方程可得两点的坐标分别为，
又点的坐标为：
，
而==
由上述定理可知四点共圆.
3线性方程组的应用
齐次线性方程组有非0解的充分必要条件是，其中.
3.1求多项式的值
例10设其中，求的值.
解将已知条件变形为，即=0有非0解，设为，
所以有上述结论有
展开整理得：
.
3.2确定椭圆及双曲线的方程
设中心在坐标原点的椭圆及双曲线方程为，其中为同号时表示椭圆，为异号，时表示双曲线.
以椭圆为例讨论如下：
椭圆过点这两点是关于坐标轴或原点对称的点，则：
把这两点的坐标带入椭圆方程得方程组
这是一个以为未知量的齐次线性方程组，且不全为零，说明该齐次线性方程组必有非零解，于是系数行列式为零，即.
由于，根据行列式性质知，该行列式恒为零，从而椭圆的方程不能确定.
椭圆过点,这两点是关于坐标轴或原点不对称的点，由可知
这就是过点椭圆的方程.
例11求中心在坐标原点的椭圆或双曲线方程
解方程是
即为双曲线方程.
3.3求等差数列的和
已知等差数列前项的和为，前项的和为，求前项的和.
由等差数列知，可设前项和为
从而
考察齐次线性方程组
有非解即
化简可求得
例12等差数列的前项和为，前5项和为，求它的前项的和
解,则由上述结论知
化简求得.
3.4克拉默法则在平面三直线交点中的应用
如果线性方程组的系数矩阵行列式，则方程组有唯一解
其中是把矩阵列换成方程组常数项所成矩阵的行列式，即
其中
例13设平面上的三条不同直线
求证：
交于一点当且仅当.
证明必要性设交于一点，不妨设为代入方程组，得
将方程组两边各自相加并整理，有
假设,在两个方程中的，看做已知量，同时将看做未知量，得，
其系数行列式
由变形可得
根据Crammer法则有
即这与三条直线互异相矛盾.
于是故
充分性设
联立三条直线的方程得方程组
其增广矩阵是
.
根据题意三直线互异可知
于是三直线交于一点.
4矩阵在初等数学中的应用
4.1求数列的通项公式
例14在数列中，,求数列的通项公式.
解由题可用矩阵表示为
其中，
则且
从而,
由于
其中
于是
从而.
故数列的通项公式为
4.2矩阵的秩在空间四点位置关系中的应用
例15设是空间中的四点,
令
求证：
证明利用初等变换将可以转化为
其中
此时
三向量共面（其中任意两条都不共线）
四点共线.
四点重合.
4.3矩阵的秩在空间三平面位置关系中应用
设空间三平面的方程为其中.
a）交于一点方程组有唯一解（系数矩阵秩为3，增广矩阵秩为3）.
b）交于一条直线方程组有无穷多解（系数矩阵秩为2，增广矩阵秩为2）.
c）三平面重合方程组有无穷多解（系数矩阵秩为1，增广矩阵秩为1）.
d）平行但不重合方程组有无解（系数矩阵秩为1，增广矩阵秩为2）.
e）其他方程组有无解（系数矩阵秩为2，增广矩阵秩为3）.
例16设平面上的三条互异直线的方程为，
求证这三条直线相交于一点的充分必要条件是
证明必要性已知该平面上三条直线相交于一点.
联立三直线方程，得线性方程组存在唯一解.
从而线性方程组的系数矩阵及增广矩阵分别为
显然的秩都是2.进而
另一方面
由三直线互异知互不相同
于是
故
充分性由题及以上必要性的证明得
即的秩小于3
另一方面
由上可知的秩是2且的秩也为2.
于是该线性方程组有唯一解.
即平面上三条直线相交于一点.
5二次型的应用
5.1利用正定和半正定二次型证明不等式
对于二次型而言，其中，,如果对于任意一组不全为的实数来说，都有，则称之为正定二次型，对应的矩阵叫做正定矩阵；如果对于任意一组不全为的实数来说，都有则称之为半正定二次型，对应的矩阵叫做半正定矩阵.
例17设，证明对任意，
有.
证明
设
的一切K级子式都大于或等于0,
从而矩阵半正定，
所以为半正定二次型，
即
结论得证.
例18求证
证明令=
该二次型矩阵为
将第列加到第列元素全为，故，
同样方法可求出的阶主子式为，
因此是半正定的，从而二次型半正定，所以，
即
5.2利用特征值求最值
定理设元二次型，则在条件
时的最值恰为矩阵A特征值相应的最值.
例19设且求的最大值与最小值.
解二次型的矩阵
矩阵的特征多项式为
解得.
二次型的矩阵的最大特征值，最小特征值分别为
根据以上定理可知
二次型在给定条件下的最大值是,最小值是
参考文献
[1]孙弘扬.四点共圆证明及应用[J].数理天地，2006，（7）：
46-47.
[2]徐仲.陆全.张凯院.高代代数考研教案（第二版）[M].西安：
西北工业大学出版社,2009.
[3]张禾瑞.高等代数（第四版）[M].北京：
高等教育出版社,1999.
[4]北大数学系几何与代数教研室小组编.高等代数（第三版）.[M].高等教育出版社.
[5]高凯庆.齐次线性方程组的理论在初等数学中的某些应用[J].数学通报,2002，
（1）：
39.
[6]王奇.任文龙.高等代数在初等数学中的应用[J].自然科学出版社,2008.
15
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