高数下学期期末试题(含答案)3套.doc
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高等数学期末考试试卷1
一、 单项选择题（6×3分）
1、设直线，平面，那么与之间的夹角为（ ）
A.0 B. C. D.
2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（ ）
A.充分条件 B.充分必要条件
C.必要条件 D.既非充分又非必要条件
3、设函数，则等于（ ）
A. B.
C． D.
4、二次积分交换次序后为（ ）
A. B.
C. D.
5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（ ）
A.绝对收敛 B.条件收敛
C.发散 C.不能确定其敛散性
6、设是方程的一个解，若，则在处（ ）
A.某邻域内单调减少 B.取极小值
C.某邻域内单调增加 D.取极大值
二、 填空题（7×3分）
1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影
＝
2、设，，那么
3、D为，时，
4、设是球面，则＝
5、函数展开为的幂级数为
6、＝
7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为
三、计算题（4×7分）
1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。
2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。
3、计算二重积分，其中
4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。
5、求级数的和。
四、综合题（10分）
曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。
五、证明题（6分）
设收敛，证明级数绝对收敛。
一、 单项选择题（6×3分）
1、 A 2、 C 3、 C 4、 B 5、 A 6、 D
二、 填空题（7×3分）
1、2 2、3、 4、
5、 6、0 7、
三、计算题（5×9分）
1、解：
令则， 故
2、解：
令
则
所以切平面的法向量为：
切平面方程为：
3、解：
＝＝＝
4、解：
令 ，则
当，即在x轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则
＝＝＝
5、解：
令则
，
即
令，则有
＝
四、综合题（10分）
解：
设曲线上任一点为，则
过的切线方程为：
在轴上的截距为
过的法线方程为：
在轴上的截距为
依题意有
由的任意性，即，得到
这是一阶齐次微分方程，变形为：
……………………..
（1）
令则，代入
（1）
得：
分离变量得：
解得：
即
为所求的曲线方程。
五、证明题（6分）
证明：
即
而与都收敛，由比较法及其性质知：
收敛
故绝对收敛。
高等数学期末考试试卷2
一，单项选择题（6×4分）
1、直线一定（ ）
A.过原点且垂直于x轴 B.过原点且平行于x轴
C.不过原点，但垂直于x轴 D.不过原点，但平行于x轴
2、二元函数在点处
①连续 ②两个偏导数连续 ③可微 ④两个偏导数都存在
那么下面关系正确的是（ ）
A②③① B.③②①
C.③④① D.③①④
3、设，则等于（ ）
A.0 B.
C. D.
4、设，改变其积分次序，则I＝（ ）
A. B.
C. D.
5、若与都收敛，则（ ）
A.条件收敛 B.绝对收敛
C.发散 C.不能确定其敛散性
6、二元函数的极大值点为（ ）
A.（1,0） B.（1,2） C.（-3,0） D.（-3,2）
二、 填空题（8×4分）
1、过点（1，3，－2）且与直线垂直的平面方程为
2、设，则＝
3、设D：
，，则
4、设为球面，则＝
5、幂级数的和函数为
6、以为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为
7、若收敛，则＝
8、平面上的曲线绕轴旋转所得到的旋转面的方程为
三、计算题（4×7分）
1、设可微，由确定，求及。
2、计算二重积分，其中。
3、求幂级数的收敛半径与收敛域。
4、求曲线积分，其中是由所围成区域边界取顺时针方向。
四、综合题（10分）
曲线上点的横坐标的平方是过点的切线与轴交点的纵坐标，求此曲线方程。
五、证明题（6分）
设正项级数收敛，证明级数也收敛。
一、 单项选择题（6×4分）
1、 A 2、 A 3、 C 4、 B 5、 B 6、 D
二、 填空题（8×4分）
1、 2、 3、4 4、
5、 6、 7、1 8、
三、计算题（4×7分）
1、解：
令
2、解：
＝＝
===
3、解：
令对于，
当时＝发散
当时，＝也发散
所以在时收敛，在该区间以外发散，即
解得
故所求幂级数的收敛半径为2，收敛域为（0，4）
4、解：
令，则
，由格林公式得到
＝＝
＝＝4
四、综合题（10分）
解：
过的切线方程为：
令X＝0，得
依题意有：
即…………………………..
（1）
对应的齐次方程解为
令所求解为
将代入
（1）得：
故
（1）的解为：
五、证明题（6分）
证明：
由于收敛，所以也收敛，
而
由比较法及收敛的性质得：
收敛。
高等数学期末考试试卷3
一．选择题（4分6=24分）
1、设为非零向量，则=[]．
（A）（B）（C）（D）.
2．．
3．设，在上连续．=[]．
（A）（B）
（C）（D）
二、填空题（4分6=24分）
1．直线与平面的交点是____________．
2．用钢板做体积为的有盖长方体水箱．最少用料S=_____．
3．二次积分的值是_____________．
4．设为球面，则=__________________．
5．小山高度为．在处登山，最陡方向是_____________．
三、（10分）求过点垂直于直线而与平面的平行的直线方程．
四．（10分）将函数展开成（x-1）的幂级数．并给出收敛域。
五．（10分）计算三重积分,其中W是由抛物面x2+y2=2z及平面z=5所围成的空间闭区域.
六．（10分）设L是由直线上从到一段及圆弧上从再到的有向曲线，计算
七．（10分）计算曲面积分，其中为球面
八．（10分）设，具有二阶连续偏导数，而由方程确定，求。
一．选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）
1、【解】应选择D。
===
2．【解】应选择A。
连续处可微分
3。
【解】应选择C。
在极坐标下
=
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）
1．【解】应填
直线化为参数式
代入平面方程
得
代入参数方程得
故交点为
2．【解】应填24
设水箱的长为xm,宽为ym,则其高应为m.此水箱所用材料的面积为
.
令,,得x=2,y=2.
即当水箱的长为2m、宽为2m、高为m时,水箱所用的材料最省.
最少用料为
3．【解】应填.
====
4．【解】应填.
==
===
5．【解】应填.
在处登山，最陡方向是在的梯度方向．
=
6．【解】应填.
由于是间断点，故，而是连续点，于是=.
三．【解】已知直线方向向量，已知平面法向量…………（4分）
设所求直线方向向量，则
.……………………………………...（8分）所求直线方程为
……………………………………………………………（10分）
四．【解】因为
……………………（2分）
………………………………（4分）
………………（6分）
…………………………（8分）
收敛域满足…………………………………………（9分）
解出收敛域为：
…………………………………………………………（10分）
五.【解】积分区域W关于面对称，
在柱面坐标下积分区域W可表示为
,,…………………………………（2分）
…………………………………………（4分）
……………………………………（6分）
……………………………………（8分）
………………………（10分）
六．【解】补充为x轴上由到有向直线段,则L和围成闭区域D,
…………………………………………（2分）
。
。
…………………………（4分）
则由Green公式
原式………………………………………（6分）
……………………………………………….（8分）
………………………………………………..（10分）
七【解】由Gauss公式
原式……………..…………………………………（2分）
………………………………………………（4分）
………………………………………（6分）
……………………………………………（8分）
………………………………………………（10分）
八【解】由方程两边关于求导得
……………………………………………………………（2分）
类似地，有……………………………………………………（4分）
…………………………………………（7分）
…………………（10分）
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