函数及其表示教案.doc

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[课题]：

第一章集合与函数概念1.2函数及其表示

主备人：

高一数学备课组陈伟坚编写时间：

2013年9月10日使用班级（21）（22）

计划上课时间：

2013-2014学年第一学期第3周星期一至三、五（中秋放假）

[课标、大纲、考纲内容]：

课标要求

教学大纲要求

广东考试说明的内容

①通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。

③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。

④通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义。

⑤学会运用函数图象理解和研究函数的性质

了解映射的概念，在此基础上加深对函数概念的理解。

①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．

②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数．

③了解简单的分段函数，并能简单应用．

④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．

⑤会运用函数图象理解和研究函数的性质．

【教材与学情分析】

函数的表示是本节的主要内容之一，学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯的是用解析式表示函数，但这是对函数很不全面的认识，教材从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法。

函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念，结合信息技术的使用，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合的思想方法。

[教学目标]：

知识目标：

能力目标：

情感态度与价值观目标：

1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，了解映射的概念。

2.在实际情境中，理解表示函数的方法（如图象法、列表法、解析法）

3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。

4.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义。

1.会求一些简单函数的定义域和值域；

2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。

3.学会运用函数图象理解和研究函数的性质

1.使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。

2.经历求函数定义域及值域的过程，培养学生良好的数学学习品质。

[教学重难点]：

1、重点：

使学生在已有认识的基础上，学会用集合与对应的语言刻画函数概念，认识到函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型。

2、难点：

对函数概念的整体性认识，对函数符号的理解。

[课的类型、教具、教法、教时]：

课的类型

教具

主要教法

教时

新授课

多媒体课件

合作探究交流

4

第1课时1.2.1函数的概念

（一）

【学习目标】

1、通过丰富的实例，使学生进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型

2、学习用集合语言刻画函数

3、理解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域并能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域。

4、使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。

【教学重难点】

1.教学重点：

体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念

2.教学难点：

函数的概念及符号y=f（x）的理解

【教学过程设计】

（一）、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；

（二）、教学过程

一、情境引入：

函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：

数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。

加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。

而掌握好函数的概念是学好函数的基石。

　阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：

（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；

（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；

　　（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题

通过多教材上三个例子的研究，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。

二、合作交流

1．用集合语言刻画函数关键词语有哪些？

2．明确函数的三要素：

定义域、值域、解析式

注意：

因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。

　　3．函数的概念：

　　设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：

A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．

　　记作：

 y=f（x），x∈A．

　　其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）| x∈A }叫做函数的值域（range）．

　　注意：

（1） “y=f（x）”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g（x）”；

（2） 函数符号“y=f（x）”中的f（x）表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．

（3） 函数是非空数集到非空数集的对应关系。

（4）“f：

A→B”表示一个函数有三要素：

法则f（是核心），定义域A（要优先），值域C（上函数值的集合且C∈B）

　4．区间的概念

　区间的分类：

开区间、闭区间、半开半闭区间；

三、精讲精练

例1：

求函数ｙ＝的定义域。

解：

由条件知应满足２ｘ＋３≥０且２－ｘ＞０且ｘ≠０，解得－≤ｘ＜２且ｘ≠０，所以　　定义域为［－，０）∪（０，２）．

［点评］题中既有分母又有根式，要保证两种形式同时有意义

变式训练一：

求函数ｙ＝的定义域；

解：

由ｘ2－４≠０解得ｘ≠２且ｘ≠－２

∴定义域为｛ｘ｜ｘ≠２且ｘ≠－２，ｘ∈Ｒ｝．

［点评］题中虽然分子分母有公因式，但是要保证原式有意义，不能约分后再求定义域；

例⒉求函数ｆ（ｘ）＝，ｘ∈Ｒ，在ｘ＝０，１，２处的函数值和值域．

解：

．

　　　容易看出，这个函数当ｘ＝０时，函数值取得最大值１，当自变量ｘ的绝对值逐渐变大时，函

　　　数值随着逐渐变小且逐渐趋向于０，但永远不会等于０．于是可知这个函数的值域为集合：

　　　｛｝＝（０，１］．

变式训练二：

已知Ａ＝｛１，２，３，ｋ｝，Ｂ＝｛４，７，4，2＋３｝，∈Ｎ+，ｋ∈Ｎ+，ｘ∈Ａ，ｙ∈Ｂ，ｆ：

ｘ→ｙ＝３ｘ＋１是从定义域Ａ到值域Ｂ上的一个函数，

求，ｋ，Ａ，Ｂ．

解：

由已知条件和函数的定义可知：

　　　　　10＝4　　　　　　　　　　　　　　10＝2＋３

　　　　　３ｋ＋１＝2＋３　⑴　或　　３ｋ＋１＝4　　　　　　⑵

　　⑴显然无解，∵∈Ｎ+，解⑵得：

＝２，ｋ＝５

∴Ａ=｛１，２，３，５｝，Ｂ=｛４，７，10，16｝．

点评：

本题主要理解函数的定义，在求解参数时注意定义域的范围可以简化计算。

四、课堂小结：

（可见“板书设计”）

【板书设计】

一、函数概念

1.定义

2.三要素

3.二次函数值域

4.区间

二、典型例题

例1：

例2：

【作业布置】

一、选择题

　⒈函数的定义域是（　　　　）

　Ａ．{}　　　　　　　　　　　　　Ｃ．{}　　

　Ｂ．{}　　　　　　　　　　　　　　Ｄ．{}　

⒉已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋１，其定义域为｛－１，０，１，２｝，则函数的值域为（　　　　　）

　Ａ．［０，３］　　　Ｂ．｛０，３｝　　　Ｃ．｛０，１，２，３｝　　Ｄ．｛ｙ｜ｙ≥０｝

⒊已知ｆ（ｘ）＝ｘ2＋１，则ｆ［ｆ（－１）］的值等于（　　　　　　）

　Ａ．２　　　　　　　　　Ｂ．３　　　　　　　　　Ｃ．４　　　　　　　　　　Ｄ．５

二、填空题

4.函数的定义域是_______________________

5.已知ｆ（ｘ）＝２ｘ＋３，则ｆ（１）＝_________________，f（a）=______________,

ｆ[ｆ（a）]＝______________________．

三、解答题

6.用长为的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为２ｘ，求此框架围成的面积ｙ与ｘ的函数关系式，并指出其定义域．

教学反思：

学生对函数概念感觉很抽象，难于理解。

第2课时1.2.1函数的概念

（二）

——函数概念的应用

【学习目标】

1．进一步加深对函数概念的理解，掌握同一函数的标准；

2．了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域．

3．经历求函数定义域及值域的过程，培养学生良好的数学学习品质。

【教学重难点】

教学重点：

能熟练求解常见函数的定义域和值域．

教学难点：

对同一函数标准的理解，尤其对函数的对应法则相同的理解．

【教学过程设计】

1、创设情境

下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数？

为什么？

（1）f（x）＝（x－1）0；g（x）＝1；

（2）f（x）＝x；g（x）＝；

（3）f（x）＝x2；g（x）＝（x+1）2；、（4）f（x）＝|x|；g（x）＝．

2、讲解新课

总结同一函数的标准：

定义域相同、对应法则相同

3、典例

例1求下列函数的定义域：

（1）；

（2）；

分析：

一般来说，如果函数由解析式给出，则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围．当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．

解：

（1）由得即，故函数的定义域是，．

（2）由得即≤x≤且x≠±，

故函数的定义域是{x|≤x≤且x≠±}．

点评：

求函数的定义域，其实质就是求使解析式各部分有意义的的取值范围，列出不等式（组），然后求出它们的解集．其准则一般来说有以下几个：

①分式中，分母不等于零．

②偶次根式中，被开方数为非负数．

③对于中，要求x≠0．

变式练习1求下列函数的定义域：

（1）；

（2）．

解

（2）由得故函数是{x|x<0，且x≠}．

（4）由即∴≤x＜2，且x≠0，

故函数的定义域是{x|≤x＜2，且x≠0}．

说明：

若A是函数的定义域，则对于A中的每一个x，在集合B都有一个值输出值y与之对应．我们将所有的输出值y组成的集合称为函数的值域．

因此我们可以知道：

对于函数f：

AB而言，如果如果值域是C，那么，因此不能将集合B当成是函数的值域．

我们把函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素．如果函数的对应法则与定义域都确定了，那么函数的值域也就确定了．

A

B

C

f

例2．求下列两个函数的定义域与值域：

（1）f（x）=（x-1）2+1，x∈{-1，0，1，2，3}；

（2）f（x）=（x-1）2+1．

解：

（1）函数的定义域为{-1，0，1，2，3}，

f（-1）=5，f（0）=2，f

（1）=1，f

（2）=2，f（3）=5，

所以这个函数的值域为{1，2，5}．

（2）函数的定义域为R，因为（x-1）2+1≥1，所以这个函数的值域为{y∣y≥1}

点评：

通过对函数的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，来求出函数的值域的方法我们称为观察法．

变式练习2求下列函数的值域：

（1），，；

（2）；

解：

（1）．

作出函数，，的图象，由图观察得函数的值域为≤＜．

（2）解法一：

，显然可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为｛y|y≠3｝．

解法二：

把看成关于x的方程，变形得（y－3）x＋（y＋1）＝0，该方程在原函数定义域｛x|x≠－1｝内有解的条件是

，解得y≠3，即即所求函数的值域为｛y|y≠3｝．

点评：

（1）求函数值域是一个难点，应熟练掌握一些基本函数的值域和求值域的一些常用方法；

（2）求二次函数在区间上的值域问题，一般先配方，找出对称轴，在对照图象观察．

4、课堂小结

（1）同一函数的标准：

定义域相同、对应法则相同

（2）求解函数值域问题主要有两种方法：

一是根据函数的图象和性质（或借助基本的函数的值域）由定义域直接推算；二是对于分式函数，利用分离常数法得到y的取值范围．

【板书设计】

一．函数三要素

二．典型例题

例1：

例2：

小结：

【作业布置】

1.函数满足则常数等于（）

≤1）

＞1）

A.B.C.D.

2.设，则的值为（）

A.B.C.D.

4.函数的值域是（）

A.B.C.D.

5.已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，f（－2）＝10，则f

（2）=____．

6.若函数，则=

7.求下列函数的值域：

①；②,，6]．③．

教学反思：

函数的三要素是定义域是函数的灵魂。

函数由定义域和对应关系确定。

求函数的值域是难点。

第3课时1.2.2函数的表示方法

（一）

——函数的几种表示方法

【学习目标】

1．掌握函数的三种主要表示方法

2．能选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系

3．会画简单函数的图像

【教学重难点】

教学重、难点：

图像法、列表法、解析法表示函数

【教学过程】

一、复习引入：

1．函数的定义是什么？

函数的图象的定义是什么？

2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？

3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？

怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？

二、讲解新课：

函数的表示方法

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.

⑴解析法：

就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.

例如，s=60，A=，S=2,y=a+bx+c（a0）,y=（x2）等等都是用解析式表示函数关系的.

优点：

一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.

⑵列表法：

就是列出表格来表示两个变量的函数关系.

例如，学生的身高单位：

厘米

学号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

身高

125

135

140

156

138

172

167

158

169

数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表

优点：

不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.

⑶图象法：

就是用函数图象表示两个变量之间的关系.

例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本

中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等

都是用图象法表示函数关系的.

优点：

能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的

趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.

三、例题讲解

例1某种笔记本每个5元，买x{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y（元），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像

解：

这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为

y=5x，x{1,2,3,4}.

它的图象由4个孤立点A（1，5） B（2，10） C（3，15） D（4，20）组成，如图所示

变式练习1设求f[g（x）]。

解：

∴

∴

∴

例2作出函数的图象

列表描点：

变式练习2画出函数y=∣x∣与函数y=∣x－2∣的图象

四、小结本节课学习了以下内容：

函数的表示方法及图像的作法

【板书设计】

一、函数的表示方法

二、典型例题

例1：

例2：

小结：

【作业布置】

1.在股票买卖过程中,经常用到两种曲线,一种是即时价格曲线y＝f（x）（实线表示）,另一种是平均价格曲线y＝g（x）（虚线表示）〔如f

（2）＝3是指开始买卖后两个小时的即时价格为3元;g

（2）＝3表示两个小时内的平均价格为3元〕,下图给出的四个图象中,其中可能正确的是（）

2.函数f（x+1）为偶函数,且x＜1时,f（x）＝x2+1,则x＞1时,f（x）的解析式为（）

A.f（x）＝x2-4x+4B.f（x）＝x2-4x+5

C.f（x）＝x2-4x-5D.f（x）＝x2+4x+5

3.函数的图象的大致形状是（）

4.用一根长为12m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗）,要使这个窗户通过的阳光最充足,则框架的长与宽应分别为_________.

5.已知定义域为R的函数f（x）满足f［f（x）-x2+x］＝f（x）-x2+x.

（1）若f

（2）＝3,求f

（1）;又若f（0）＝a,求f（a）;

（2）设有且仅有一个实数x0,使得f（x0）＝x0,求函数f（x）的解析表达式.

解答：

1解析:

解答该题要注意平均变化率是一个累积平均效应,因此可以得到正确选项为C.

答案:

C

2解析:

因为f（x+1）为偶函数,

所以f（-x+1）＝f（x+1）,即f（x）＝f（2-x）.

当x＞1时,2-x＜1,此时,f（2-x）＝（2-x）2+1,即f（x）＝x2-4x+5.

答案:

B[

3解析:

该函数为一个分段函数,即为当x＞0时函数f（x）＝ax的图象单调递增;当x＜0时,函数f（x）＝-ax的图象单调递减.故选B.

答案:

B

4解析:

由题意可知,即是求窗户面积最大时的长与宽,设长为xm,则宽为（）m,

∴

解得当x＝3时,.

∴长为3m,宽为1.5m.

答案:

3m,1.5m

教学反思：

函数三种表示法的应用，特别是用图象法求函数的值域。

第4课时1.2.2函数的表示方法

（二）

——分段函数

【学习目标】

1．根据要求求函数的解析式

2．了解分段函数及其简单应用

3．理解分段函数是一个函数，而不是几个函数

【教学重难点】函数解析式的求法

【教学过程设计】

1、分段函数

由实际生活中，上海至港、澳、台地区信函部分资费表

重量级别

资费（元）

20克及20克以内

1.50

20克以上至100克

4.00

100克以上至250克

8.50

250克以上至500克

16.70

引出问题：

若设信函的重量（克）应支付的资费为元，能否建立函数的解析式？

导出分段函数的概念。

通过分析课本第46页的例4、例5进一步巩固分段函数概念，明确建立分段函数解析式的一般步骤，学会分段函数图象的作法

可选例：

1、动点P从单位正方形ABCD顶点A开始运动，沿正方形ABCD的运动路程为自变量，写出P点与A点距离与的函数关系式。

2、在矩形ABCD中，AB＝4m，BC＝6m，动点P以每秒1m的速度，从A点出发，沿着矩形的边按A→D→C→B的顺序运动到B，设点P从点A处出发经过秒后，所构成的△ABP面积为m2，求函数的解析式。

3、以小组为单位构造一个分段函数，并画出该函数的图象。

2、典题

例1国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封xg（0

分），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像

解：

这个函数的定义域集合是，函数的解析式为

这个函数的图象是5条线段（不包括左端点），都平行于x轴，如图所示.这一种函数我们把它称为分段函数

变式练习1作函数y=|x-2|（x＋1）的图像

分析　显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．

解：

（1）当x≥2时，即x-2≥0时，

当x＜2时，即x-2＜0时，

.

∴

这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出

例2画出函数y=|x|=的图象.

解：

这个函数的图象是两条射线，分别是第一象限和第二象限的角平分线，如图所示.

说明：

①再次说明函数图象的多样性；

②从例4和例5看到，有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.注意分段函数是一个函数，而不是几个函数.

③注意：

并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷（Dirichlet）函数D（x）=,我们就作不出它的图象.

变式练习2作出分段函数的图像

解：

根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即：

=

作出图像如下

变式练习3．作出函数的函数图像

解：

步骤：

（1）作出函数y=-2x-3的图象

（2）将上述图象x轴下方部分以x轴为对称轴向上翻折（上方部分不变），即得y=|-2x-3|的图象

3、小结：

本节课学习了分段函数及其简单应用，进一步学习了函数解析式的求法.

课后作业：

（略）

【板书设计】

一、分段函数

二、典型例题

例1：

例2：

小结：

【作业布置】

1．教材习题1.2：

A组第7题，B组，第2、3题

2.对定义域分别是Df、Dg的函数y＝f（x）、y＝g（x）,规定:

函数h（x）＝

.

（1）若函数,g（x）＝x2,写出函数h（x）的解析式;

（2）求

（1）中函数h（x）的值域;

2解:

（1）

（2）当x≠1时,,

若x＞1,则h（x）≥4,当x＝2时等号成立;

若x＜1,则h（x）≤0,当x＝0时等号成立.

∴函数h（x）的值域是（-∞,0］∪{1}∪［4,+∞）.

教学反思：

分段函数分段函数是一个函数，而不是几个函数.学生难于理解。

分段函数的定义域是各部分自变量取值的并集，值域是各部分函数值的并集。

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