《12函数及其表示》导学案3.docx

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《12函数及其表示》导学案3

《1.2函数及其表示》导学案3

【入门向导】“f”的自述

我是“f”，同学们对我一定都很熟悉了，别看我只是一个普通的小写英文字母，在数学王国里我的作用可大了．

在数学王国里，我代表一种对应关系，如果两个集合之间要形成一种特殊的对应——映射的话，他们就必须请我来帮忙，你瞧，“f：

A→B”就是我帮忙搞定的集合A到集合B的映射．

我还是一个了不起的魔术师呢，我拿一个篮子——（　　）往里装一个实数，就可以按我所代表的对应关系变出一个新的数来，如果我代表减2，就把实数x变成x－2，即f（x）＝x－2；如果我代表先加绝对值，再加2，最后再变为相反数，那么我会把－2变为f（－2）＝－（|－2|＋2）＝－4.

我出生于英国，来自于“function”，“function”的中文意思是“函数”，所以人们经常用我来表示函数，对我的理解可从以下几方面考虑：

（1）可以把我看成是一种“对应关系”，也就是一种算法的体现，这里f（x）表示的意思是对“x”施行算法“f”之后的结果．f（x）＝－x＋1就表示对“x”施行变换或算法“f”，使x变成－x＋1.但要注意，“x”不只是单独的字母、数，还可以是代数式、函数等．

（2）y＝f（x）也可以看成是关于x，y的一个方程，在这里“f”变成了一个关系的模式．如f（x）＝x2－2x＋3，则y＝f（x2）可表示为y＝x4－2x2＋3，也可表示为方程x4－2x2－y＋3＝0.

（3）通过我自身所表示的对应关系，把两个量或数联系起来，可以表示函数．y＝f（x）表示x的函数，x是自变量，y为函数，f表示从x到y的对应关系．

（4）函数符号“y＝f（x）”是“y是x的函数”的数学表示，仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f（x）也不一定是解析式．符号f（a）与f（x）既有区别又有联系，f（a）表示当自变量x＝a时函数f（x）的值，而f（x）是自变量x的函数．一般情况下，f（x）是一个变量，f（a）是f（x）的一个特殊值．

同学们，我说了这么多，你是否对我又有了更深刻的了解呢？

在数学王国里，我们会经常见面的，希望我们能成为好朋友．

重点、难点、易错点

帮你理解函数的概念

函数的定义：

一般地，设A，B是非空的数集，如果按某种确定的对应关系f，使得对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的一个函数，记为y＝f（x），x∈A.由所有的自变量x组成的集合A叫做函数y＝f（x）的定义域，由所有的函数值y组成的集合C称为函数的值域．

解析式y＝f（x）表示对于集合A中的任意一个x，在对应关系f的作用下，可得到y，因此f是使“对应”得以实现的方式和途径，是联系x与y的纽带，从而是函数的核心，f可用一个或多个解析式来表示，也可以用数表或图象等其他方式表示．

“函数”概念是初中和高中阶段的重点和难点，有不少的同学直到高三都不能深刻理解这一概念．原因在于这一概念的抽象性．如果把“函数”与我们实际生活结合起来，同学们学起来就会觉得既有意义又容易理解和运用．

（1）函数是个“信使”

“函”字本身就有“信件”之意，每封信都是由邮递员按地址投到不同的地方，每封信上都写有确定的地址，不能含混不清．函数也是这样，每个自变量x都要按一定的对应关系与确定的y一一对应．自变量x就是“一封信”，它被对应关系这个“信使”送到确定的“收信人”——y手里．

（2）函数是个“产品加工厂”

工厂里把原料按规格加工成不同的产品．函数就是把自变量x按“规格”——对应关系“加工”成不同产品——y.它也像“数字发生器”，把“原料”——自变量x投入到不同的“数字发生器”——对应关系中就会得到不同的“产物”——因变量y.

（3）函数是“封建社会的婚姻”

在封建社会，流传着“好女不嫁二夫”，但“一夫可多妻”．同样函数中多个自变量x可对应一个函数y，即“一夫多妻”，但是一个“妇女”——自变量x不能找多个“婆家”——y值．

有了上面的解释，你对函数这个概念是否更加了解了呢？

其实，只要我们对数学产生了兴趣，能经常和我们的生活联系在一起，就易学多了．

函数概念常见题型

函数概念主要围绕其三要素（定义域、值域、对应关系）进行考查，常见题型有以下几类：

一、判断一个x，y的关系式能否表示成y为x的函数

例1下列各式是否表示y为x的函数？

若是，写出函数的解析式．

（1）xy＝－3（x≠0）；

（2）x2＋y2＝1（x∈（－1，0]）；

（3）x3＋y3＝1.

解　要能表示成y为x的函数，则必须对于定义域内任意一个x，均有惟一的y值与之对应．

（1）满足要求，可表示成y为x的函数

y＝－

（x≠0）．

（2）不满足，因为对于（－1，0]内任一x值，均有两个y值与之对应，因此不能表示成y为x的函数．

（3）满足要求，可表示为y＝

.

二、判断两函数是否表示同一函数

例2判断下列各组函数是否表示同一函数，并说明理由．

（1）f（x）＝

，g（x）＝x0；

（2）f（x）＝

，g（x）＝

.

解　

（1）中f（x）＝

＝1（x≠0），g（x）＝x0＝1（x≠0），其定义域均为{x|x≠0}且对应关系也相同，故是同一函数．

（2）中f（x）的定义域为[1，＋∞），而g（x）的定义域为（－∞，－1]∪[1，＋∞），其定义域不同，故不是同一函数．

三、根据条件求f（a）或f[g（x）]的表达式

例3已知f（x）＝

求f[f（－1）]及f（x2＋1）．

分析　已知函数为分段函数，要根据变量的取值，正确选择相应的解析式，所以在研究分段函数时，要特别注意定义域的制约作用．

解　f（－1）＝－（－1）＋1＝2，

则f[f（－1）]＝f

（2）＝22＋1＝5.

因为x2＋1>0，

则f（x2＋1）＝（x2＋1）2＋1＝x4＋2x2＋2.

四、求函数的定义域与值域

例4求函数y＝

的定义域．

分析　我们目前要考虑定义域主要考虑下列各种情形：

①偶次根式的被开方数为非负数；②分式的分母不能为零；③幂指数为零时，底数不能为零；④自变量本身的实际意义等．

解　根据题意得

解之得x≥－2且x≠3.

所以函数的定义域为{x|x≥－2且x≠3}．

例5已知y＝f（x＋1）的定义域为[1，2]，求下列函数的定义域：

（1）f（x）；

（2）f（x－3）；（3）f（x2）．

分析　本题为根据题中的已知条件求函数的定义域，应根据自变量的特点求解．

解　

（1）∵f（x＋1）的定义域为[1，2]，即1≤x≤2，

∴2≤x＋1≤3，即f（x）的定义域为[2，3]．

（2）∵f（x）的定义域为[2，3]，

∴2≤x－3≤3.∴5≤x≤6.

即f（x－3）的定义域为[5，6]．

（3）∵f（x）的定义域为[2，3]，

∴2≤x2≤3，∴

≤x≤

或－

≤x≤－

，

即f（x2）的定义域为[－

，－

]∪[

，

]．

点评　

（1）若y＝f（x）的定义域为[a，b]，则f（g（x））的定义域是a≤g（x）≤b的解集；

（2）已知f（g（x））的定义域为[a，b]，则当x∈[a，b]时g（x）的函数值的取值集合就是f（x）的定义域．

例6下列函数中，值域为（0，＋∞）的是（　　）

A．y＝

B．y＝2x＋1（x>0）

C．y＝x2＋x＋1

D．y＝

分析　求函数的值域方法很多，但目前我们只要会求一些简单函数的值域即可．

解析　A．由于x2－3x＋1＝（x－

）2－

≥－

，

所以y＝

的值域为[0，＋∞）；

B．y＝2x＋1函数值y随着x增大而增大，

所以y＝2x＋1（x>0）值域为（1，＋∞）；

C．y＝x2＋x＋1

＝（x＋

）2＋

≥

，

则y＝x2＋x＋1的值域为[

，＋∞）；

D．y＝

，x≠0，x2>0，则y>0.

故只有选项D正确．

答案　D

学习“函数的表示方法”应注意的几个细节

函数有三种常用的表示法：

列表法、图象法和解析法，三种表达形式在本质上都揭示了量与量之间的函数关系，我认为学好本节内容应从以下几个细节入手：

（1）要学会用不同的方式表示函数，并能将其相互转化，转化时应注意式子要恒等变形，否则定义域及值域都可能发生变化．

（2）已知函数类型，求函数解析式最常用方法是待定系数法，解题关键在于简略地列出方程组求解系数，但在很多求解析式的问题中，不确定给出哪一种类型的函数，此时就要另寻捷径．

（3）换元法与整体替换法是求解一类函数解析式的通法，但要注意引入“元”的范围，即定义域问题．

（4）学习分段函数时，要注意分段函数是一个函数而不是几个函数这一细节，分段函数具有很强的抽象性，在解决有关分段函数的有关问题时，不要被其表面形式所迷惑．

（5）解决抽象函数的有关问题的基本方法是：

给变量赋予特殊值，从而使问题具体化、简单化，减少变量个数，找到解题规律，达到求出函数解析式的目的．至于给变量赋予怎样的特殊值，则应根据题目的结构特征来确定．

（6）理解映射的定义，进一步理解函数的实质——两个非空数集间的一种映射．

认识我的“三古怪”——映射

我叫映射，是两个集合间元素与元素的对应关系．我本身由三部分构成，即“原象的集合A”、“象的集合B”和“从集合A到集合B的对应关系f”．我的脾气有点古怪，下面介绍一下我自己．

古怪之一我十分偏爱“原象”：

表现在我要保证任何原象都有且仅有唯一的象和它对应

例7判断下列对应是否是集合A到集合B的映射．

（1）已知集合A＝{1，2，3，4}，且集合B＝{3，4，5，6，7，8，9}，对应关系为f：

x→2x＋1；

（2）集合A＝Z，B＝N*，对应关系f：

a→b＝（a＋1）2；

（3）已知集合A＝{0，1，2，4}，集合B＝{1，4，9，25}，f：

a→b＝（a＋1）2.

分析　判断对应是否是集合A到集合B的映射，首先应看集合A的原象是否都在集合B内有且仅有唯一的象．

解　

（1）A＝{1，2，3，4}的元素在对应关系f：

x→2x＋1的作用下在B＝{3，4，5，6，7，8，9}中都能找到唯一的象，故此对应为映射．同理可知（3）也是映射．

（2）中集合A＝Z的元素“－1”在集合B＝N*中找不到象，故不是映射．

点评　同学们在判断两个集合间的对应关系是不是映射时，首先得看清原象集合中的元素，在对应关系f的作用下是否都有象，再看原象所对应的象是否唯一．

例8判断下列对应是否是映射，有没有对应关系，并说明理由．

分析　这是一道图表信息题．要判断对应是不是映射，先要弄清图中传达的信息．

解　图

（1）中元素b有两个象，故不是映射；图

（2）中元素d没有象，故不是映射；而图（3）中元素d是象，它可以没有原象，故是映射．图（3）给出的对应有对应关系，对应关系是用图形表示出来的．

点评　在判断图表信息给出的对应关系是否是映射时，由于对应关系不明显，元素间的对应关系是通过图象反映出来的，做题前应先弄清哪一个是原象的集合，哪一个是象的集合，再进行合理判断．

古怪之三我严把函数入口关：

表现在要想成为函数必须得先过我这一关

例9集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y<1}，下列选项中表示从M到N的函数的是（　　）

A．f：

x→y＝

xB．f：

x→y＝2x

C．f：

x→y＝

xD．f：

x→y＝x

分析　选项从表面上看好象都是初中所学的一次函数，但函数的前提是映射，所以应先判断它们是否是映射．

解析　A选项中集合M中的元素“2”在集合N中没有象，故A选项不是映射，就更谈不上是函数了；同理可得B项和D项也不是函数．故选C.

答案　C

点评　判断一个对应是不是函数时，同学们首先应判断对应是不是映射，因为要是函数先得是映射．

同学们现在看清了我这三个“古怪”的脾气了吗？

以后做题时可要注意，免得我给你们添麻烦！

函数及其表示易错点剖析

一、函数定义域中的误区

例10已知函数f（3x＋1）的定义域为[1，7]，求函数f（x）的定义域．

错解　欲求f（x）的定义域，就是求x的取值范围．

因为f（3x＋1）的定义域为[1，7]，

即1≤3x＋1≤7，

解得0≤x≤2.

所以f（x）的定义域为[0，2]．

剖析　定义域是自变量的取值范围，而f（3x＋1）的自变量是x，即1≤x≤7.而求f（x）的定义域即是求f（x）中x的取值范围．

正解　令3x＋1＝t，则4≤t≤22.

即f（t）中，t∈[4，22]．

故f（x）的定义域为[4，22]．

例11求函数y＝x＋

的值域．

错解　令

＝t，

则x＝t2＋1，

原函数表达式变为y＝t2＋t＋1.

因为t2＋t＋1＝（t＋

）2＋

≥

，

即y≥

，

故所求函数y＝x＋

的值域为[

，＋∞）．

剖析　这是运用“换元法”解答这类问题的常见错误，错因在于忽视了换元后函数的定义域发生了变化．

正解　令

＝t，

则x＝t2＋1（t≥0）．

原函数表达式变为y＝t2＋t＋1（t≥0）．

因为t≥0，

所以y≥1.

即所求函数y＝x＋

的值域为[1，＋∞）．

二、函数图象中的误区

例12设集合M＝{x|0≤x≤2}，集合N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图象，其中能表示集合M到集合N的函数关系的个数是（　　）

A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3

错解　函数的对应关系可以一对一，也可以多对一，故

（1）

（2）（3）正确，选D.

剖析　不但要考虑几对几的问题，还要考虑定义域中的元素x在值域中是否有相应的y值与之对应．

正解　图

（1），定义域M中的（1，2]部分没有和它对应的数，不符合函数的定义；图

（2），定义域、值域及对应关系都是符合的；图（3），y∈（2，3]部分不是集合N的子集，或者说没有对应的数；图（4），在定义域的（0，2]上任给一个元素，值域的（0，2]上有两个元素和它对应，因此不惟一；故只有图

（2）正确．

答案为B.

三、求值域时的误区

确定一个函数只需要两个要素：

定义域和对应关系，在此前提下，函数值也随之确定．因此，在求函数的值域时，必须注意函数的定义域．

例13求函数y＝x2－2x，x∈[－1，2]的值域．

错解　y＝x2－2x＝（x－1）2－1，因为（x－1）2≥0，

所以y＝（x－1）2－1≥－1.

从而知，函数y＝x2－2x的值域为[－1，＋∞）．

剖析　这里函数的定义域有限制，即－1≤x≤2，上述解法只对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）在定义域为实数集时适用．

正解　y＝x2－2x＝（x－1）2－1，x∈[－1，2]．由图象知，

当－1≤x<1时，y随x的增大而减小；

当1≤x≤2时，y随x的增大而增大．

并且当x＝－1时，y取最大值3；

当x＝1时，y取最小值－1.

从而知－1≤y≤3，

即函数y＝x2－2x，x∈[－1，2]的值域是[－1，3].

函数解析式求解的常用方法

一、换元法

例1已知f（

＋1）＝x＋2

，求f（x）．

分析　采用整体思想，可把f（

＋1）中的“

＋1”看做一个整体，然后采用另一参数替代．

解　令t＝

＋1，则x＝（t－1）2（t≥1），

代入原式有f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1.

∴f（x）＝x2－1（x≥1）．

点评　将接受对象“

＋1”换作另一个元素（字母）“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便求出关于“t”的函数关系，此即为函数解析式，但在利用这种方法时应注意自变量取值范围的变化，否则就得不到正确的表达式．此法是求函数解析式时常用的方法．

二、待定系数法

例2已知f（x）为二次函数，且f（x＋1）＋f（x－1）＝2x2－4x，求f（x）的表达式．

解　设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则

f（x＋1）＋f（x－1）

＝a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c＋a（x－1）2＋b（x－1）＋c

＝2ax2＋2bx＋2a＋2c

＝2x2－4x.

故有

解得

所以f（x）＝x2－2x－1.

点评　若已知函数是某个基本函数，可设表达式的一般式，再利用已知条件求出系数．

三、方程消元法

例3已知：

2f（x）＋f（

）＝3x，x≠0，求f（x）．

解　2f（x）＋f（

）＝3x，①

用

去代换①式中的x得2f（

）＋f（x）＝

.②

由①×2－②得f（x）＝2x－

，x≠0.

点评　方程消元法是指利用方程组通过消参、消元的途径达到求函数解析式的目的．

四、赋值法

例4设f（x）是R上的函数，且满足f（0）＝1，并且对任意实数x，y，有f（x－y）＝f（x）－y（2x－y＋1），求f（x）的表达式．

解　令x＝y得f（0）＝f（x）－x（2x－x＋1）＝1，

所以f（x）＝x2＋x＋1.

点评　有些函数的性质是用条件恒等式给出的，有时可以通过赋值法使问题得以解决．

分段函数题型归纳

有些函数在其定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数．分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几条线段．而分段函数的值域也是各部分上的函数值的取值集合的并集，最好的求解办法是“图象法”．重要的是，分段函数虽由几部分构成，但它代表的是一个函数．

解决分段函数问题的基本思想是“分段归类”，即自变量在哪一段就充分利用这一段的函数解析式来分析解决问题．既要紧扣“分段”特征，又要将各段有机联系使之整体化、系统化．

一、分段函数的求值

例5已知函数f（x）＝

则f{f[f（－2）]}＝________.

解析　∵－2<－1，

∴f（－2）＝2×（－2）＋3＝－1.

又－1≤－1≤1，

∴f[f（－2）]＝f（－1）＝（－1）2＝1.

又∵－1≤1≤1，

∴f{f[f（－2）]}＝f

（1）＝12＝1.

答案　1

点评　求分段函数的函数值时，一般先确定自变量的取值在定义域的哪个子区间，然后用与这个子区间相对应的关系式求函数值．

二、求分段函数的解析式

例6已知函数f（x）＝

求f（x＋1）．

解　当x＋1<0即x<－1时，

f（x＋1）＝

；

当x＋1≥0即x≥－1时，

f（x＋1）＝（x＋1）2.

所以f（x＋1）＝

三、分段函数的图象

例7函数f（x）＝x＋

的图象是（　　）

解析　因为f（x）＝x＋

＝

故选C.

答案　C

点评　本例为已知函数的解析式，确定选择分段函数的图象问题．

四、分段函数的实际应用

例8从甲同学家到乙同学家的中途有一个公园，甲、乙两家到该公园的距离都是2km，甲10点钟出发前往乙家，如图所示表示甲从自家出发到乙家为止经过的路程y（km）与时间x（分钟）的关系．依图象回答下列问题：

（1）甲在公园休息了吗？

若休息了，休息了多长时间？

（2）甲到达乙家是几点钟？

（3）写出函数y＝f（x）的解析式．

解　

（1）由图所知，甲在公园休息了，休息了10分钟．

（2）甲到达乙家是11点．

（3）函数y＝f（x）是分段函数，

当0≤x≤30时，设y＝k1x，将（30，2）代入，得k1＝

.

当30

将（60，4），（40，2）代入，得k2＝

，b＝－2.

所以f（x）＝

函数图象的三种变换

函数的图象变换是高考中的考查热点之一，常见变换有以下3种：

一、平移变换

例9设f（x）＝x2，在同一坐标系中画出：

（1）y＝f（x），y＝f（x＋1）和y＝f（x－1）的图象，并观察三个函数图象的关系；

（2）y＝f（x），y＝f（x）＋1和y＝f（x）－1的图象，并观察三个函数图象的关系．

解　

（1）如图

（2）如图

点评　观察图象得：

y＝f（x＋1）的图象可由y＝f（x）的图象向左平移1个单位长度得到；

y＝f（x－1）的图象可由y＝f（x）的图象向右平移1个单位长度得到；

y＝f（x）＋1的图象可由y＝f（x）的图象向上平移1个单位长度得到；

y＝f（x）－1的图象可由y＝f（x）的图象向下平移1个单位长度得到．

二、对称变换

例10设f（x）＝x＋1，在同一坐标系中画出y＝f（x）和y＝f（－x）的图象，并观察两个函数图象的关系．

解　画出y＝f（x）＝x＋1与y＝f（－x）＝－x＋1的图象如图所示．

由图象可得函数y＝x＋1与y＝－x＋1的图象关于y轴对称．

点评　函数y＝f（x）的图象与y＝f（－x）的图象关于y轴对称；

函数y＝f（x）的图象与y＝－f（x）的图象关于x轴对称；

函数y＝f（x）的图象与y＝－f（－x）的图象关于原点对称．

三、翻折变换

例11设f（x）＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f（x）和y＝|f（x）|的图象，并观察两个函数图象的关系．

解　y＝f（x）的图象如图1所示，y＝|f（x）|的图象如图2所示．

点评　要得到y＝|f（x）|的图象，把y＝f（x）的图象中x轴下方图象翻折到x轴上方，其余部分不变．

例12设f（x）＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f（x）和y＝f（|x|）的图象，并观察两个函数图象的关系．

解　如下图所示．

点评　要得到y＝f（|x|）的图象，先把y＝f（x）图象在y轴左方的部分去掉，然后把y轴右边的对称图象补到左方即可．

与函数图象有关的问题

例13如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

解析　对于一个选择题而言，求出每一幅图中水面的高度h和时间t之间的函数关系式既无必要也不可能，因此可结合相应的两幅图作定性分析，即充分利用数形结合．

对于第一幅图，不难得知水面高度的增加应是均匀的，因此不正确；

对于第二幅图，随着时间的增加，越往上，增加同一个高度，需要的水越多，因此趋势愈加平缓，因此正确；

同理可分析第三幅图、第四幅图都是正确的．

故只有第一幅图不正确，因此选A.

答案　A

点评　本题考查函数的对应关系．由容器的形状识别函数模型，是典型的数形结合问题，“只想不算”有利于克服死记硬背，更突出了思维能力的考查．近两年的高考越来越注重对理性思维能力的考查．

变式拓展1向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（　　）

解析　取水深h＝

，此时注水量V′>

，即水深至一半时，实际注水量大于水瓶总水量的一半．

A中V′<

，C、D中V′＝

，故排除A、C、D，选B.

答案　B

例14设甲、乙两地的距离为a（a>0），小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为（　　）

解析　依据题意，小王两段路程的速度是不一致的，前者速度要大些，且前者与后者的速度比为3∶2，因此前者图象倾斜程度要大些．此外，由于y表示的是路程，不是位移，因此选D.

答案　D

点评　近几年的高考试题和高考模拟试题加大了对跨学科知识的考查，其中物理类题型最为多见．解决这类试题时，可结合物理中的相关知识来加以解答．如本题，由于往返所用时间是不一致的，因此速度也是不一致的，且前者与后者的速度比为3∶2，更为重要的是路程与位移的区别．

变式拓展2某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校