湖南工程学院《离散数学》试题及答案.doc
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一、填空题
1设集合A,B，其中A＝{1,2,3},B={1,2},则A-B＝____________________; r（A）-r（B）＝__________________________.
2.设有限集合A,|A|=n,则|r（A×A）|=__________________________.
3.设集合A={a,b},B={1,2},则从A到B的所有映射是_______________________________________,其中双射的是__________________________.
4.已知命题公式G＝Ø（P®Q）∧R，则G的主析取范式是_______________________________
__________________________________________________________.
5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________.
6设A、B为两个集合,A={1,2,4},B={3,4},则从AÇB＝_________________________;AÈB＝_________________________;A－B＝_____________________.
7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________,________________________,_______________________________.
8.设命题公式G＝Ø（P®（QÙR）），则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________,__________________________.
9.设集合A＝{1,2,3,4},A上的关系R1={（1,4）,（2,3）,（3,2）},R1={（2,1）,（3,2）,（4,3）},则 R1·R2=________________________,R2·R1=____________________________, R12=________________________.
10.设有限集A,B，|A|=m,|B|=n,则||r（A´B）|=_____________________________.
11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A={x|-1≤x≤1,xÎR},B={x|0≤x<2,xÎR},则A-B=__________________________,B-A=__________________________,
A∩B=__________________________,.
13.设集合A＝{2,3,4,5,6}，R是A上的整除，则R以集合形式（列举法）记为__________________________________________________________________.
14.设一阶逻辑公式G="xP（x）®$xQ（x），则G的前束范式是_______________________________.
15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
16.设谓词的定义域为{a,b},将表达式"xR（x）→$xS（x）中量词消除，写成与之对应的命题公式是__________________________________________________________________________.
17.设集合A＝{1,2,3,4}，A上的二元关系R＝{（1,1）,（1,2）,（2,3）},S＝{（1,3）,（2,3）,（3,2）}。
则R×S＝_____________________________________________________,
R2＝______________________________________________________.
二、选择题
1设集合A={2,{a},3,4}，B={{a},3,4,1}，E为全集，则下列命题正确的是（）。
（A）{2}ÎA（B）{a}ÍA （C）ÆÍ{{a}}ÍBÍE（D）{{a},1,3,4}ÌB.
2设集合A={1,2,3},A上的关系R＝{（1,1）,（2,2）,（2,3）,（3,2）,（3,3）}，则R不具备（）.
（A）自反性 （B）传递性 （C）对称性 （D）反对称性
1
2
3
4
5
6
3设半序集（A,≤）关系≤的哈斯图如下所示，若A的子集B={2,3,4,5},则元素6为B的（）。
（A）下界 （B）上界 （C）最小上界（D）以上答案都不对
4下列语句中，（）是命题。
（A）请把门关上（B）地球外的星球上也有人
（C）x+5>6（D）下午有会吗？
5设I是如下一个解释：
D＝{a,b},
则在解释I下取真值为1的公式是（）.
（A）$x"yP（x,y）（B）"x"yP（x,y） （C）"xP（x,x）（D）"x$yP（x,y）.
6.若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是（）.
（A）（1,2,2,3,4,5）（B）（1,2,3,4,5,5） （C）（1,1,1,2,3）（D）（2,3,3,4,5,6）.
7.设G、H是一阶逻辑公式，P是一个谓词，G＝$xP（x）,H＝"xP（x）,则一阶逻辑公式G®H是（）.
（A）恒真的（B）恒假的 （C）可满足的（D）前束范式.
8设命题公式G＝Ø（P®Q），H＝P®（Q®ØP），则G与H的关系是（）。
（A）GÞH（B）HÞG （C）G＝H（D）以上都不是.
9设A,B为集合，当（）时A－B＝B.
（A）A＝B （B）AÍB （C）BÍA （D）A＝B＝Æ.
10设集合A={1,2,3,4},A上的关系R＝{（1,1）,（2,3）,（2,4）,（3,4）},则R具有（）。
（A）自反性 （B）传递性 （C）对称性（D）以上答案都不对
11下列关于集合的表示中正确的为（）。
（A）{a}Î{a,b,c} （B）{a}Í{a,b,c} （C）ÆÎ{a,b,c}（D）{a,b}Î{a,b,c}
12命题"xG（x）取真值1的充分必要条件是（）.
（A）对任意x，G（x）都取真值1.（B）有一个x0，使G（x0）取真值1.
（C）有某些x，使G（x0）取真值1.（D）以上答案都不对.
13.设G是连通平面图，有5个顶点，6个面，则G的边数是（）.
（A）9条（B）5条 （C）6条（D）11条.
14.设G是5个顶点的完全图，则从G中删去（）条边可以得到树.
（A）6（B）5 （C）10（D）4.
15.设图G的相邻矩阵为，则G的顶点数与边数分别为（）.
（A）4,5 （B）5,6 （C）4,10 （D）5,8.
三、计算证明题
1.设集合A＝{1,2,3,4,6,8,9,12}，R为整除关系。
（1）画出半序集（A,R）的哈斯图；
（2）写出A的子集B={3,6,9,12}的上界，下界，最小上界，最大下界；
（3）写出A的最大元，最小元，极大元，极小元。
2.设集合A＝{1,2,3,4}，A上的关系R＝{（x,y）|x,yÎA且x³y},求
（1）画出R的关系图；
（2）写出R的关系矩阵.
3.设R是实数集合，s,t,j是R上的三个映射，s（x）=x+3,t（x）=2x,j（x）＝x/4,试求复合映射s•t，s•s,s•j,j•t，s•j•t.
4.设I是如下一个解释：
D={2,3},
a
b
f
（2）
f（3）
P（2,2）
P（2,3）
P（3,2）
P（3,3）
3
2
3
2
0
0
1
1
试求
（1）P（a,f（a））∧P（b,f（b））;
（2）"x$yP（y,x）.
5.设集合A＝{1,2,4,6,8,12}，R为A上整除关系。
（1）画出半序集（A,R）的哈斯图；
（2）写出A的最大元，最小元，极大元，极小元；
（3）写出A的子集B={4,6,8,12}的上界，下界，最小上界，最大下界.
6.设命题公式G=Ø（P→Q）∨（Q∧（ØP→R））,求G的主析取范式。
7.（9分）设一阶逻辑公式：
G=（"xP（x）∨$yQ（y））→"xR（x），把G化成前束范式.
9.设R是集合A={a,b,c,d}.R是A上的二元关系,R={（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,d）},
（1）求出r（R）,s（R）,t（R）；
（2）画出r（R）,s（R）,t（R）的关系图.
11.通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价：
（1）G=（P∧Q）∨（ØP∧Q∧R）
（2）H=（P∨（Q∧R））∧（Q∨（ØP∧R））
13.设R和S是集合A＝{a,b,c,d}上的关系，其中R＝{（a,a）,（a,c）,（b,c）,（c,d）}, S＝{（a,b）,（b,c）,（b,d）,（d,d）}.
（1）试写出R和S的关系矩阵；
（2）计算R•S,R∪S,R－1,S－1•R－1.
四、证明题
1.利用形式演绎法证明：
{P→Q,R→S,P∨R}蕴涵Q∨S。
2.设A,B为任意集合，证明：
（A-B）-C=A-（B∪C）.
3.（本题10分）利用形式演绎法证明：
{ØA∨B,ØC→ØB,C→D}蕴涵A→D。
4.（本题10分）A,B为两个任意集合，求证：
A－（A∩B）=（A∪B）－B.
参考答案
一、填空题
1.{3};{{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
2..
3.a1={（a,1）,（b,1）},a2={（a,2）,（b,2）},a3={（a,1）,（b,2）},a4={（a,2）,（b,1）};a3,a4.
4.（P∧ØQ∧R）.
5.12,3.
6.{4},{1,2,3,4},{1,2}.
7.自反性；对称性；传递性.
8.（1,0,0）,（1,0,1）,（1,1,0）.
9.{（1,3）,（2,2）,（3,1）};{（2,4）,（3,3）,（4,2）};{（2,2）,（3,3）}.
10.2m´n.
11.{x|-1≤x<0,xÎR};{x|112.12;6.
13.{（2,2）,（2,4）,（2,6）,（3,3）,（3,6）,（4,4）,（5,5）,（6,6）}.
14.$x（ØP（x）∨Q（x））.
15.21.
16.（R（a）∧R（b））→（S（a）∨S（b））.
17.{（1,3）,（2,2）};{（1,1）,（1,2）,（1,3）}.
二、选择题
1.C.2.D.3.B.4.B.
5.D.6.C.7.C.
8.A.9.D.10.B.11.B.
13.A.14.A. 15.D
三、计算证明题
1.
（1）
（2）B无上界，也无最小上界。
下界1,3;最大下界是3.
（3）A无最大元，最小元是1，极大元8,12,90+;极小元是1.
2.R={（1,1）,（2,1）,（2,2）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）}.
（1）
（2）
3.
（1）s•t＝s（t（x））＝t（x）+3＝2x+3＝2x+3.
（2）s•s＝s（s（x））＝s（x）+3＝（x+3）+3＝x+6,
（3）s•j＝s（j（x））＝j（x）+3＝x/4+3,
（4）j•t＝j（t（x））＝t（x）/4＝2x/4=x/2,
（5）s•j•t＝s•（j•t）＝j•t+3＝2x/4+3＝x/2+3.
4.
（1）P（a,f（a））∧P（b,f（b））=P（3,f（3））∧P（2,f
（2））
=P（3,2）∧P（2,3）
=1∧0
=0.
（2）"x$yP（y,x）="x（P（2,x）∨P（3,x））
=（P（2,2）∨P（3,2））∧（P（2,3）∨P（3,3））
=（0∨1）∧（0∨1）
=1∧1
=1.
5.
（1）
（2）无最大元，最小元1，极大元8,12;极小元是1.
（3）B无上界，无最小上界。
下界1,2;最大下界2.
6.G=Ø（P→Q）∨（Q∧（ØP→R））
=Ø（ØP∨Q）∨（Q∧（P∨R））
=（P∧ØQ）∨（Q∧（P∨R））
=（P∧ØQ）∨（Q∧P）∨（Q∧R）
=（P∧ØQ∧R）∨（P∧ØQ∧ØR）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧ØR）∨（P∧Q∧R）∨（ØP∧Q∧R）
=（P∧ØQ∧R）∨（P∧ØQ∧ØR）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧ØR）∨（ØP∧Q∧R）
=m3∨m4∨m5∨m6∨m7=S（3,4,5,6,7）.
7.G=（"xP（x）∨$yQ（y））→"xR（x）
=Ø（"xP（x）∨$yQ（y））∨"xR（x）
=（Ø"xP（x）∧Ø$yQ（y））∨"xR（x）
=（$xØP（x）∧"yØQ（y））∨"zR（z）
=$x"y"z（（ØP（x）∧ØQ（y））∨R（z））
9.
（1）r（R）＝R∪IA＝{（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,d）,（a,a）,（b,b）,（c,c）,（d,d）},
s（R）＝R∪R－1＝{（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,b）（c,d）,（d,c）},
t（R）＝R∪R2∪R3∪R4＝{（a,a）,（a,b）,（a,c）,（a,d）,（b,a）,（b,b）,（b,c）,（b,d）,（c,d）}；
（2）关系图:
11.G＝（P∧Q）∨（ØP∧Q∧R）
＝（P∧Q∧ØR）∨（P∧Q∧R）∨（ØP∧Q∧R）
＝m6∨m7∨m3
＝å（3,6,7）
H=（P∨（Q∧R））∧（Q∨（ØP∧R））
＝（P∧Q）∨（Q∧R））∨（ØP∧Q∧R）
＝（P∧Q∧ØR）∨（P∧Q∧R）∨（ØP∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（ØP∧Q∧R）
＝（P∧Q∧ØR）∨（ØP∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）
＝m6∨m3∨m7
＝å（3,6,7）
G,H的主析取范式相同，所以G=H.
13.
（1）
（2）R•S＝{（a,b）,（c,d）},
R∪S＝{（a,a）,（a,b）,（a,c）,（b,c）,（b,d）,（c,d）,（d,d）},
R－1＝{（a,a）,（c,a）,（c,b）,（d,c）},
S－1•R－1＝{（b,a）,（d,c）}.
四证明题
1.证明：
{P→Q,R→S,P∨R}蕴涵Q∨S
（1）P∨R P
（2）ØR→P Q
（1）
（3）P→Q P
（4）ØR→Q Q
（2）（3）
（5）ØQ→R Q（4）
（6）R→S P
（7）ØQ→S Q（5）（6）
（8）Q∨S Q（7）
2.证明：
（A-B）-C=（A∩~B）∩~C
=A∩（~B∩~C）
=A∩~（B∪C）
=A-（B∪C）
3. 证明：
{ØA∨B,ØC→ØB,C→D}蕴涵A→D
（1）A D（附加）
（2）ØA∨B P
（3）B Q
（1）
（2）
（4）ØC→ØB P
（5）B→C Q（4）
（6）C Q（3）（5）
（7）C→D P
（8）D Q（6）（7）
（9）A→D D
（1）（8）
所以{ØA∨B,ØC→ØB,C→D}蕴涵A→D.
4.证明：
A－（A∩B）
=A∩~（A∩B）
＝A∩（~A∪~B）
＝（A∩~A）∪（A∩~B）
＝Æ∪（A∩~B）
＝（A∩~B）
＝A－B
而（A∪B）－B
=（A∪B）∩~B
=（A∩~B）∪（B∩~B）
=（A∩~B）∪Æ
=A－B
所以：
A－（A∩B）=（A∪B）－B.
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