拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用.doc
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数学与统计学院2009届毕业论文
分类号
编号
本科生毕业论文（设计）
题目拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用
作者姓名常正军
专业数学与应用数学
学号291010102
研究类型数学应用方向
指导教师李明图
提交日期2013-3-15
论文原创性声明
本人郑重声明：
所呈交毕业论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。
除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
论文作者签名：
年月日
摘要拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理，它在微积分中占据极其重要的地位，有着广泛地应用。
关于它的证明，绝大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。
罗尔中值定理是其的特殊形式，而柯西中值定理是其的推广形式，鉴于微分中值定理的广泛地应用，笔者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造，以及几个方面的应用加以举例。
关键词：
拉格朗日中值定理辅助函数的构造证明及应用
AbstractLagrangemeanvaluetheoremisthemaintheoremofcalculusthreebasictheorem,Itoccupiesanimportantstatusandroleinthecalculus,haswideapplication.Proofofit,thevastmajorityoftextbooksbyusingthemethodofauxiliaryfunction,andthenusetheconclusionofRolle'stheoremtoprovetheLagrangemeanvaluetheorem.Rollemeanvaluetheoremisaspecialformofit,andCauchy'stheoremisextendedformofit,giventhewidelyapplicationofthedifferentialmeanvaluetheorem.ThispaperwilldiscusstheconstructionofauxiliaryfunctionoftheLagrangemeanvaluetheoremfromseveralfollowingdifferentangles,andseveralapplicationsforexample.
Keyword:
LagrangemeanvaluetheoremTheconstructionofauxiliaryfunctionProofandApplication
目录
1定理的叙述...........................................................1
1.1罗尔（Rolle）中值定理.............................................1
1.2拉格朗日（Larange）中值定理...........................................1
2拉格朗日中值定理证明中辅助函数的构造方法.............................1
2.1借助于数形结合的思想构建辅助函数.....................................1
2.2用行列式构造辅助函数................................................2
2.3借助闭区间套构造性证明拉格朗日中值定理.............................3
2.4借助待定系数法构造辅助函数..........................................4
2.5借助定积分构造辅助函数..............................................5
2.6借助不定积分构造辅助函数.........................................5
2.7借助坐标轴旋转变换构建辅助函数...................................6
3拉格朗日中值定理的应用......................................................8
3.1拉格朗日中值定理在等式证明中的应用...............................8
3.2拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用.............................9
3.3拉格朗日中值定理在研究函数性态中的应用.............................10
3.4拉格朗日中值定理在极限和导数方面的应用.............................11
3.5拉格朗日中值定理在方程根的存在性方面的应用..........................12
4参考文献.............................................................13
5致谢.................................................................14
拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的及应用
1定理的叙述
1.1罗尔（Rolle）中值定理
若函数满足：
（1）在闭区间上连续；
（2）在开区间内可导；
（3），
则在内至少存在一点，使得=0
图1
1.2拉格朗日（Larange）中值定理
若函数满足：
（1）在闭区间上连续；
（2）在开区间内可导；
则在内至少存在一点，使得
=
图2
2拉格朗日中值定理的证明中辅助函数构造的方法
2.1借助于数形结合的思想构建辅助函数
拉格朗日中值定理的条件与罗尔中值定理的条件相比较，不难发现它们相差的是函在上两端点的函数值.为此，可以构建一个新的函数（要满足的条件：
与有关），即把问题转化为满足罗尔定理的条件，然后利用罗尔定理所得到的结论来证明拉格朗日定理.根据Rolle定理的几何意义，是曲线在上两端点连线的斜率，则弦方程为：
用曲线的纵坐标之差作辅助函数：
（1）
即符合Rolle定理的条件.
证明：
作辅助函数
显然,且满足罗尔中值定理的另两个条件.故至少存在一点，使得
移项后及得
另外，也可以用原点与曲线在上两端点的连线AB平行的直线OL代替弦AB，而直线OL的方程为.因此,用曲线的纵坐标与直线OL的总坐标之差，得到另一辅助函数：
（2）
可以验证在上满足罗尔中值定理条件，具体证明同上.
2.2用行列式构造辅助函数
行列式不仅是高等代数中最基本工具，具有很强的操作性.而且在数学分析中叶也很广泛地应用.这样就有机的将一个函数用行列式表示出来了，大大简化了数学分析繁杂的证明过程.
证明：
构造辅助函数
常见函数在闭区间上是连续的（由连续函数的判定条件），在开区间内是可微的，并且，同理可得：
==
即函数在区间上满足罗尔定理的第三个条件，于是又由罗尔定理，而对求导
即.
2.3借助闭区间套构造性证明拉格朗日中值定理
区间套定理是数学分析中的一个重要的定理，它同聚点定理、有限覆盖定理、确界原理、数列的单调有界定理和柯西收敛准则一样反映了实数的完备性，也是学习实变函数、复变函数、点集拓扑学等课程的基础.由于它具有较好的构造性，现就利用闭区间套构造性证明拉格朗日中值定理.
证明：
设函数图形的两个端点分别为和（如图2）.
如果线段和曲线所围成的闭区域不是凸集（凸集即在区域内任意两点连线均在此区域内）则截取线段的一部分平行线段与一部分曲线围成的凸集（目的是保证以后所构造的区间构成闭区间套），例如图2中取线段与下半部分曲线所围成的凸集.设或其平行线段（最长平行线段），与所取凸集的两个交点的横坐标分别为、，则（图2中）将线段或者与平行的该凸集的边界线段向着区域的方向平行移动.可得到一系列与线段平行的直线段，其斜率均为
设这些直线段与区域边界曲线的坐标分别为这些坐标构成的区间上又满足
且
即可得定理得证
2.4借助待定系数法构造辅助函数
借助待定系数法也可以构造一个新的辅助函数（要与有关），使它满足罗尔定理的条件三（即在两端点的函数值相等的条件）.
设为待定系数，令
要使则需要
即
所以，可做辅助函数为
得到与
（2）式一样的辅助函数
证明：
作辅助函数
经检验，，且满足罗尔定理的另外两个条件.
故至少存在一点，使
即得.
2.5借助定积分构造辅助函数
在不等式的证明中，常常从要证明的结论出发，采用逆推的方法寻求证明的思路.照此，可以从拉格朗日的结论出发.
这里作一个约定：
在上存在，则
，成立
对在上的可积性不作讨论.
设要构造的辅助函数的导数为
其中则辅助函数为
得到与
（1）式相同的辅助函数，证法相同，略.
2.6借助不定积分构造辅助函数
为了寻求证明拉格朗日中值定理的辅助函数，从要证的结出发也可考虑借助不定积分求其原函数
（为任意常数）
经验证，当，即可使
因此，可作辅助函数为
证明：
作辅助函数
经检验，且满足罗尔定理的另外两个条件，
故至少存在一点使
即得到.
2.7借助坐标轴旋转变换构建辅助函数
以上几种辅助函数的构造，都是从罗尔定理两端点的函数值相等这一条件出发考虑.下面从曲线在上两端点、的连线弦与轴的关系考虑问题.分析拉格朗日中值定理与罗尔定理的几何特征.
设曲线在上两端点.连线弦为,在罗尔中，由于两端点的函数值相等，弦的斜率即弦与轴平行。
而在拉格朗日中值定理中由于两端点的函数值不等，弦的斜率.所以，弦与轴不平行.为了把问题转化为符合罗尔中值定理的条件，可以考虑作坐标轴的旋转，使旋转角满足.则新坐标系的轴与弦平行，在新坐标下有曲线在点、的纵坐标相等.因此，有坐标轴的旋转公式：
得
作辅助函数.
因为
由得
经此坐标轴的旋转变换，使旋转角满足
因此，构造辅助函数为
即可把问题转化为符合罗尔定理的条件.
证明：
作坐标轴的旋转变换，使旋转角满足
由坐标轴的旋转公式:
得
作辅助函数
则
因为经检验，可得，
且满足罗尔定理的另外两个条件.故至少存在一点.
使得
即得到
3拉格朗日中值定理的应用
微分中值定理，给出了在区间上函数与其导数之间的联系.因此，在证明有关导数增量与自变量的增量，或它们与区间内某点处导数值有关的等式与不等式或相关命题时，可以考虑应用微分中值定理，在应用的过程中注意中值定理所成立的条件.
3.1拉格朗日中值定理在等式证明中的应用
例1当时，证明:
且
分析：
注意到欲证等式正是函数在区间上用拉格朗日中值定理的结果.
证明：
取函数，在区间上应用拉格朗日中值定理，得
即
为确定的取值范围和求的极限，由上式出发表示，得
（3）
当时，，代入
（1）式，即得
于是有，
当（3）式
例2设在上可微，，且存在实数A>0，使得在上，试证明在上恒有.
证明：
取使,由拉格朗日中值定理：
进而
一般地
这里
取，则当时，
有
易见：
时，有然后在
上重复以上步骤，得时，
重复以上步骤即得在在恒有
3.2拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用
例3证明：
当，为正整数时，有不等式
分析：
注意到应用拉格朗日中值定理.
证明：
函数在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，故有
（4）
因，在内单调递减，又
有，
所以（5）由（4）式得
（6）结合（5）式和（6）式
即可以得到
3.3拉格朗日中值定理在研究函数性态中的应用
若在上连续，在内可导，则在上
（若在与之间），这可视为函数的一种变形，它建立了函数与导数的关系，我们可以用它来研究有关函数性态，如函数的一致连续、单调性等.
例4证明如果在上可导，且，有,其中为常数，则在上一致连续.
证明：
，在以为端点的区间上，有
介于之间
在利用已知条件，有
即在上满足Lipschitz条件，
则在上一致连续。
例5试证：
若函数在上可导，单调递增，且，则函数在上单调递增.
证明：
对任意的，且，则在和上均满足
拉格朗日中值定理，于是分别存在，使
由于单调递增，且，所以
即：
，通分移项整理得
即函数在上单调递增.
3.4拉格朗日中值定理在极限和导数方面的应用
拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，罗尔定理是它的特例，柯西中值定理的它的推广，在求数列极限问题时,主要用到了如辅助函数法、递推法和累加法,关键是辅助函数的建立.所以在应用微分中值定理时：
一要仔细观察,适当变换待证求的式子;二要认真分析,巧妙构造辅助函数,抓住这两点一般会简单解决问题.
例6设函数满足：
（1）在的某邻域内连续；
（2）在内可导；
（3）.
则在可导，且
证明：
先对在上应用拉格朗日中值定理，有
，
从而有
由，故
同理可证从而有
此结论说明了，若有限导数在某区间存在，则在区间的每一点处，它或是连续，或是有第二类间断点.
例7已知求.
解：
设，对在上函数符合拉格朗日中值定理的条件，故可以应用得：
，
故
当时，共有不等式，将上面这不等式相加得：
<
即
从而
由极限存在准则知
3.5拉格朗日中值定理在方程根的存在性方面的应用
例8设在可导，且对任何，都有，又，试证明在内，方程有唯一实根.
证明：
（存在性）令在利用零点定理易证.
（唯一性）反证法，假设有两个实根，使得
不妨设在上对应用拉格朗日中值定理，有
这与矛盾，故结论得证.
参考文献
[1]叶春辉.微分中值定理及其探究性学习教学研究[J].长江工程职业技术学院学报，2008,12.
[2]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京:
高等教育出版社,2004.
[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:
高等教育出版社,l993.
[4]韩应华，姚贵平等.微分中值定理的应用及推广[J].内蒙古农业大学学报，2009,9
[5]朱智和.微分中值定理在解题中的若干应用[J].绍兴文理学院学报，2009,12
[6]余惠霖.拉格朗日中值定理证明中若干辅助函数的构造[J].广西民族师范学院学报，2011,6
[7]王有文.拉格朗日中值定理的另一种证明方法[J].忻州师范学院学报，2012,4
致谢
历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下度过了。
尤其要强烈感谢我的论文指导老师李明图，以及给我带过课的诸位老师，他们对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进。
另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助。
在此向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢！
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