大一下学期高等数学期中考试试卷及答案.wps

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大一第二学期高等数学期中考试试卷一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。

1、已知球面的一条直径的两个端点为532，和314，则该球面的方程为_2、函数22ln（）uxyz在点（1,0,1）A处沿点A指向点（3,2,2）B方向的方向导数为3、曲面22zxy与平面240xyz平行的切平面方程为4、2222222（,）（0,0）（1cos（）sinlim（）exyxyxyxyxy5、设二元函数yxxyz32，则yxz2_二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。

以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。

1、旋转曲面1222zyx是（）（A）xOz坐标面上的双曲线绕Ox轴旋转而成；（B）xOy坐标面上的双曲线绕Oz轴旋转而成；（C）xOy坐标面上的椭圆绕Oz轴旋转而成；（D）xOz坐标面上的椭圆绕Ox轴旋转而成2、微分方程23cos2xxxyy的一个特解应具有形式（）其中3212211,dddbaba都是待定常数.（A）.212211sin）（cos）（xdxbxaxxbxax;（B）.32212211sin）（cos）（dxdxdxbxaxxbxax;（C）.32212211）sincos）（dxdxdxbxabxax;（D）.322111）sin）（cos（dxdxdxxbxax3、已知直线22122:

zyxL与平面42:

zyx,则（）（A）.L在内;（B）.L与不相交;（C）.L与正交;（D）.L与斜交.4、下列说法正确的是（）（A）两向量a与b平行的充要条件是存在唯一的实数，使得ba；（B）二元函数yxfz,的两个二阶偏导数22xz,22yz在区域D内连续，则在该区域内两个二阶混合偏导必相等；（C）二元函数yxfz,的两个偏导数在点00,yx处连续是函数在该点可微的充分条件；（D）二元函数yxfz,的两个偏导数在点00,yx处连续是函数在该点可微的必要条件.5、设）,2,2（yxyxfz且2Cf（即函数具有连续的二阶连续偏导数），则yxz2（）（A）122211322fff;（B）12221132fff;（C）12221152fff;（D）12221122fff.三、计算题（本大题共29分）1、（本题13分）计算下列微分方程的通解。

（1）（6分）221xyyxy

（2）（7分）xxeyyy2232、（本题8分）设utuvzcos2，teu，tvln，求全导数dtdz。

3、（本题8分）求函数yyxeyxfx2,22的极值。

四、应用题（本题8分）1、某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x台和y台，成本函数为xyyxyxc222）,（（万元），若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产使其总成本最少？

最小成本为多少？

五、综合题（本大题共21分）1、（本题10分）已知直线011xczbyl：

，012yczaxl：

，求过1l且平行于2l的平面方程2、（本题11分）设函数（,）lnln3lnfxyzxyz在球面22225（0,0,0）xyzRxyz上求一点，使函数（,）fxyz取到最大值六、证明题（本题共12分）1、设函数xyxzFxuk,，其中k是常数，函数F具有连续的一阶偏导数试证明:

zuzyuyxuxxyxzFkxk,第二学期高等数学期中考试试卷答案一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）1.、21113222zyx2、123、2450xyz4、05、232xy；二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）1（A）2（B）3（C）4（C）5（A）三、计算题（本大题共29分）1、

（1）解：

将原微分方程进行分离变量，得：

xxyyd）1（1d2上式两端积分得cxxxxyyy2）d1（arctan1d22即：

cxxy2arctan2其中c为任意常数

（2）解：

题设方程对应的齐次方程的特征方程为,0232rr特征根为,11r,22r于是，该齐次方程的通解为,221xeCxCY因2是特征方程的单根，故可设题设方程的特解：

.）（210*xebxbxy代入题设方程,得,22010xbbxb比较等式两端同次幂的系数,得,210b,11b于是，求得题没方程的一个特解*y.）121（2xexx从而，所求题设方程的通解为.）121（2221xxxexxeCeCy2、解：

utvutuvuuzsincos22，uvutuvvvz2cos2，utzcos依复合函数求导法则，全导数为dtdttzdtdvvzdtduuzdtdz1cos12sin2utuveutvttttteteteettcosln2sinln23、解：

解方程组022,01422,222yeyxfyyxeyxfxyxx，得驻点1,21。

由于124,22yyxeyxfAxxx，142yexyfBxxy，xyyeyxfC22,在点1,21处，02eA，0B，eC2，224eBAC，所以函数在点1,21处取得极小值，极小值为21,21ef。

四、应用题（本题8分）1、解：

即求成本函数yxc,在条件8yx下的最小值构造辅助函数）8（2,22yxxyyxyxF解方程组080402yxFyxFyxFyx解得3,5,7yx这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本最小，最小成本为：

2835325）3,5（22c（万）五、综合题（本大题共21分）1、解：

直线1l与2l的方向向量分别为bccb1100011101，s，acca1010101012，s，作221111cbcca，ssn，取直线1l上的一点cP，001，则过点1P且以2111cbcca，n为法向量的平面01czbyax，就是过1l且平行于2l的平面方程2、解：

设球面上点为（,）xyz令2222（,）lnln3ln（5）LxyzxyzxyzR，222211120,20,20,503xyzLxLyLzLxyzRxyz由前三个式子得2223zxy，代入最后式子得,3xyRzR由题意得（,）fxyz在球面上的最大值一定存在，因此唯一的稳定点（,3）RRR就是最大值点，最大值为5（,3）ln（33）fRRRR六、证明题（本题共12分）1、证明：

22211,xyxyxzFxxzxyxzFxxyxzFkxxukkkxyxzFyxxyxzFzxxyxzFkxkkk,22121xyxzFxxxyxzFxyukk,1,212xyxzFxxxyxzFxzukk,1,111所以，zuzyuyxuxxyxzFyxxyxzFzxxyxzFkxxkkk,22121xyxzFxzxyxzFxykk,1121xyxzFkxk,http:

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