同济大学2009-2016高数B期末考试题.doc

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同济大学2009-2010学年第一学期高等数学B（上）期终试卷

一.填空题（）

1.设函数具有二阶导数,且,则.

2.设函数为可导函数,且,由参数方程所确定的函数的

导数.

3.极限.

4.微分方程的特解形式为（不需确定系数）

.

二．选择题（）

5.设函数在内连续,且,则常数满足:

[].

;;;

6.曲线,[]

没有水平渐近线但有铅直渐近线;没有铅直渐近线但有水平渐近线;

没有水平和铅直渐近线;有水平和铅直渐近线

7.将时的无穷小量排列起来,使

得后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列顺序是:

[]

;;;

8.设函数在点的某个邻域内有定义,且,则在该点处

:

[]

不可导;可导且;取得极大值;取得极小值.

三.解答题（）

9.求极限,[]

10.计算定积分[]

11.计算反常积分

[]

12.试求微分方程的通解

[]

四.（）求曲线上的点,使此曲线在该点的曲率半径为最小.

[]

五.（）设不定积分,

（1）计算;

（2）利用变换,建立的递推公式

[

（1）;[

（2）]

六.（）设函数在上连续,且在上,证明至少存在一点

使.[]

七.（）过坐标原点作曲线的切线,记该切线与此曲线及轴所围成的平

面图形为,试求:

（1）平面图形的面积;

（2）平面图形绕直线旋转一周所成的旋转体的体积,

[]

八.（）已知是某个二阶常系数线性非齐

次微分方程的三个解,试写出该微分方程的通解并建立此微分方程.

[]

同济大学2010-2011学年第一学期高等数学B（上）期终试卷

一.填空题（）

1.已知极限存在,且函数满足:

则

.

2.设函数,则.

3.不定积分.

4.定积分.

二.选择题（）

5.曲线的斜渐近线方程为[]

;;;.

6.曲线上点处曲率[]

;;;.

7.设为内连续的偶函数,,则原函数[]

均为奇函数;均为偶函数;

中只一个奇函数;既非奇函数也非偶函数.

8.设为曲线上相应于的一段弧长,为椭圆的周长,

则[]

;;;.

三.解答题（）

9.求极限.[]

10.设是内的连续的奇函数,且,证明在处可导,

并求.[]

11.求定积分,其中表示不超过的最大整数.

[]

12.判定反常积分的收敛性,如果收敛,求出其值.

[]

四.（）设是内的连续函数,且,试求极限.

[]

五.（）设可积函数在内满足关系式:

且当

时,试求.

[]

六.（）设为正整数,函数,求曲线与直线

所围平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积.

[]

七.（）求微分方程的通解.[]

八.（）令,化简微分方程,并求其通解.

[]

同济大学2011-2012学年第一学期高等数学B（上）期终试卷

一.填空选择题（）

1.极限.

2.若极限,则.

3.积分.

4.积分.

5.微分方程的通解为.

6.记,,,.则这项积

分的大小关系为[]

;;;.

7.下列反常积分中收敛的反常积分是[]

;;;

8.若函数在连续,则常数[]

;;;.

二.解答题（）

1.计算由曲线与直线所围平面图形的面积.

[]

2.若函数与具有阶导数,试写出计算阶导数的莱布尼茨公式,

计算的阶导数.[]

3.求函数的单调区间以及函数的极大与极小值.

[]

4.计算反常积分.[]

5.求微分方程的解.

[]

三.（）在长度单位为米的坐标中,由方程与直线围成的薄片铅直

的浸入水中,其中轴平行于水面且在水下米深处,试求该薄片的一侧所受的水压力.

[]

四.（）求积分,[]

五.（）1.试求常数,使得函数在=在区间上可导;

2.若由该曲线段绕轴旋转形成一个容器,如果每单位时间以常量向容器均匀

的注水,试求该容器在水溢出前水深为时水面的上升速度.

[;]

六.（）要建一个容积为,侧面为圆柱形,顶部接着一个半球形的仓库（不含底部）,已知

顶部每平方单位的造价是其侧面圆柱部分单位造价的倍,试求该仓库的底圆半径,

使得该仓库的造价最省.

[,]

七.（）函数在上具有二阶导数,并且,对于任意,由拉格

朗日中值定理,存在,使得.证明定义了

上的一个单调增加函数.

[递减唯一确定（函数）;又可证,可得递增]

同济大学2012-2013学年第一学期高等数学B（上）期终试卷

一.填空选择题（）

1.函数的四阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式为

2.在所对应点的曲率

3.极限

4.由方程所确定的函数在点的导数

5.函数在上连续,则数列极限存在是函数极限存在的什

么条件?

[]

充分条件;必要条件;充分必要条件;无关条件.

6.在区间上,函数连续的充分条件是:

[]

存在;可导;具有原函数;有界.

7.如果作换元,则定积分等于[]

;;

;.

8.可导函数在区间上单调增加的充分条件是在该区间上[]

;;

;.

二.（）

1.如图是函数的图像,

试在下列空格中填入恰当的符

号:

;或.

;;;.

2.求极限[]

3.计算不定积分[]

三.（）

1.求曲线的凹凸区间与拐点的坐标.

[;拐点:

]

2.计算反常积分.[]

3.一个由曲线段绕轴旋转形成的容器内装满了比重为的均匀液体,

如果要将该容器内的液体全部排空至少需要做多少功.[]

四.（）试用适当的换元法求微分方程的通解.

[]

五.（）试说明闭区间上连续函数的像集是闭区间,并举例说明在闭区间上,像集是闭区间

的函数未必连续.[最值定理;介值定理;反例略]

六.（）计算由曲线,该曲线经过坐标原点的切线以及轴所围成图形的面积,并

求该图形绕轴旋转所得旋转体的体积.

[切线:

;切点:

;]

七.（）试求微分方程的通解.

[]

八.（）是以为周期的连续函数,若,求极限.

[]

同济大学2013-2014学年第一学期高等数学B（上）期终试卷

一.选择与填空题（）

1.极限

2.利用定积分的几何意义，积分

3.微分方程的通解为

4.已知敌方的导弹阵地位于坐标原点处，发射的导弹飞行轨迹为光滑曲线，我方

拦截导弹的阵地位于轴正向公里处，发射的拦截导弹飞行速度是敌方导弹速度的

两倍，如果由计算机控制，在敌方导弹发射时我方的拦截导弹同时发射，并且我方导弹的

运行轨迹是直线，如果两导弹的相撞点为，则该点满足的方程为

5.是有界数列,则该数列单调是数列极限存在的什么条件【】

充分条件;必要条件;充分必要条件;无关条件.

6.是连续函数,曲线段的弧长的计算公式为【】

;;

;无关条件.

7.函数具有三阶连续导数，如果，则下列四项积分中，积分值

确定为正数的积分为【】

;;

;.

8.利用换元,积分等于【】

;;;.

二.计算下列各题（）

1.试计算由所确定的曲线在点的切线方程.

[]

2.求由参数方程所确定函数的导数.

[]

3.求不定积分[]

4.曲线段的弧长为,是平面上与距离不超过的点集,

即,的面积为,求极限.

[]

三.（）计算反常积分.[]

四.（）具有二阶导数,如果极限,求.

[]

五.（）可导函数满足方程,求函数.

[]

六.（）求函数的单调区间与极值,并求出该函数在区间上的最值.

[

极小,极大;]

七.（）计算由曲线,直线以及轴所围图形的面积;并求出由该图

形绕轴旋转所得旋转体的体积.

[]

八.（）计算极限.

[]

同济大学2014-2015学年第一学期高等数学B（上）期终试卷

一.填空选择题（）

1.极限

2.在对应点的曲率

3.反常积分收敛,则常数的取值区间是

4.

5.在（其中）上具有二阶导数,且,下列不等式正确的是【】

;;

;.

6.是连续函数,极限等于下面的定积分【】

;;;.

7.如果数列在任意区间上只含有有限项,则下面判断中正确的判断是【】

是收敛数列;是有界数列但不收敛;

是无界数列但是当时不是无穷大量;极限.

8.,则在区间内有几个实根【】

个;个;个;至少个.

二.计算下列各题（）

1.求函数的单调区间与凹凸区间.

[]

2.求曲线在点的切线方程.[]

3.计算反常积分[]

4.求微分方程的通解.[]

三.（）分析曲线是否有铅直、水平与斜渐近线,如果有则求出

相应的渐近线.[铅直渐近线;斜渐近线]

四.（）已知都是非负的连续函数,曲线与关于直线对

称,由曲线以及直线所围成的平面图形的面积为.

（1）证明该图形绕轴旋转所得旋转体的体积为;

[]

（2）计算椭圆绕直线旋转所得旋转体的体积.[]

五.（）设是可导函数,并且满足方程,求函数.

[]

六.（）

（1）写出的带有佩亚诺余项的阶迈克劳林公式;

（2）计算极限.

[

（1）;

（2）]

七.（）由方程所确定的抛物型薄片铅直地浸入水中,顶端与水面持平（长度

单位为米）.

（1）试求薄片一侧所受到的水压力;

（2）如果此后水面以每分钟米的速度开

始上涨,试计算薄片一侧所受到的水压力的变化率.

[

（1）;

（2）]

八.（）设所围图形在第一象限部分的面积为.

（1）利用定积分写

出的计算公式（无需计算的值）;

（2）证明极限存在;（3）计算极限.

[

（1）;

（2）;（3）]

同济大学2015-2016学年第一学期高等数学B（上）期终试卷

一.填空选择题（）

1.极限.

2.积分.

3.函数的导函数.

4.曲线的弧长.

5.极限的定义是【】

当时,有;

当时,有;

当时,有;

当时,有.

6.若是二阶微分方程的三个线性无关的解,

则该方程的通解为【】

其中是任意常数;

其中是任意常数;

其中是任意常数;

其中任意常数.

7.若是连续函数,则极限等于【】

;;;.

8.若对于积分作换元,则该定积分化为【】

;;;.

二.计算下列各题（）

1.试求曲线在点处的切线方程.[]

2.求不定积分.[]

3.求微分方程的通解.[]

4.求微分方程的通解.[]

三.（）计算由与直线所围图形的面积.[]

四.（）计算反常积分.[]

五.（）已知的函数图像如图,

（1）求函数的单调区间、极大值与极小值;

（2）求曲线的凹凸区间与拐点.

[极大,极小

拐点]

六.（）在半径为的半球内内接一圆锥体,使得该锥体的锥顶位于半球的球心上,锥体的

底面平行于半球的底面,求这样的内接圆锥体体积的最大值.

[]

七.（）一椭球形容器由长半轴为,短半轴为的半支椭圆曲线绕其短半轴旋转而成,

若容器内盛满了水,试求要把该容器内的水全部吸出需作的功.

[]

八.（）已知具有二阶导数,且,判断的情况,并给出判

断的理由.[]

同济大学2016-2017学年第一学期高等数学B（上）期终试卷

一.选择填空题（）

1.具有二阶导数,且.若曲线在的曲率为,其

反函数所表示的曲线在对应点的曲率为,则有【】

;;;.

2.已知函数满足,如果在任意点处,当充分小时都有

则有【】

;;

;题中所给的条件无法得到确定的函数.

3.下面的极限式中哪项等于连续函数的定积分.【】

;;;.

4.要使反常积分收敛,则实数的取值范围是【】

;;;.

5.如果作换元,则积分.

6.微分方程的通解.

7.已知,则.

8.定积分.

二.计算题（）

1.求极坐标所表示的曲线在所对应点处的切线方程.[]

2.计算定积分.[]

3.可导函数满足等式,求函数.[]

三.（）已知函数在点左连续,同时该点是函数的跳跃间断点,如

果该函数只有一个间断点,试分析函数间断点的个数.

[三个;两个;或一个]

四.（）求微分方程的解.[]

五.（）曲线.

（1）求该曲线在点处的切线方程;

（2）求该曲线与切线以及轴所围图形的面积;

（3）求题

（2）所叙述的图形绕轴旋转所得旋转体的体积.[]

六.（）一只容器由绕轴旋转而成.

（1）如果容器内的水量是容器容量

的,求容器内水面的高度;

（2）如果要将题

（1）中这部分水吸尽,求外力需要作的功.

[]

七.（）

（1）如果周期函数有最小正周期,证明对于的任意一个周期

都有,其中是正整数;[记周期]

（2）如果以以及为周期,证明存在一列（若,则）

使得都是函数的周期,并且数列有极限;[非最小正周期,

存在为更小正周期]

（3）如果满足题

（2）条件的函数在点连续,证明是常数.

[,当时,;]

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