孩子们的数学理解Word文档格式.docx
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为简单起见，这里及后面大部分表格所出现的百分率，是取总量近1000名14岁儿童的样本得出的。
表l问题9的正确答案（14岁）
9（i）
9（ii）
9（iii）
9（iv）
eee
hh
hht
uu
55
6
222
本图只画出一部分，共n条边，每边长为2
3e94%
4h+t68%
4h+1t
2u+1664%
u+u+16
2u+2.5+1.6
2n
38%
n2
表中的百分率（题目难度的标志）显示这四个题目的难度依次增大。
几乎所有（14岁）儿
童能解问题9（i），但仅有一半儿童能正确解决问题9（iv）。
Collis（1975）和Halfold（1978）已证明题目难易度的一个重要判别依据是其结构复杂性。
对于问题9，结构复杂性表现为题
目所涉及的“变量”的数目。
这个标准有力地阐释了问题9（i）、9（ii）之间不同的难易度，但对于其他每对问题却无能为力。
例如，从表面上看，问题9（iii）（一个变量）比9（ii）（两个变量）容易，问题9（i）与9（iv）因有相同的答案形式，其难易度应差不多，但事实上却相反。
幸而，Collis提出了一种克服此类困难的方法。
他证明了，一个题目所含各种量的性质及题目本身的结构复杂性对题目难易度有突出的影响。
Collis区别出这些量是小数量、大数量，还是代数量。
更为重要的是，Collis指出了，一个题目的难度源于该题目所含各量对于儿童来说所缺少的意义的程度。
例如，8岁儿童很乐意碰到2+3这样的式子，因为他能把这些量及量之间的关系与日常生活直接联系起来（2个弹子加上3个弹子等于5个弹子），但是，像274+356这样超出儿童的检验范围的大数量之间的关系式，儿童或许不能想象出一个恒定唯一的结果。
因此，在推广了的算术里，了解儿童对各个字母量所能认识的意义的程度，对于确定题目的难易度是至关重要的。
而且，孩子们会对代数量赋予不同的意义，用意想不到的方法求解题目，这又反过来影响题目难度。
赋予字母以不同的意义，意味着什么后果?
它如何帮助我们解释题目难易度上的差异?
为弄清这一点，我们回到问题9，特别是了解一下孩子们所给出的一些不适当答案。
因为这会帮助我们看清孩子们是如何求解题目的。
如前所述，问题9（i）与9（iv）有相同的答案形式（3e和2n），但是9（iv）要难得多。
那么，这两个题目的不同的难度是怎样造成的呢?
在问题9（iv）中，n是一个确定的数（已知图形有n条边）。
虽然n的数值未知，但它却必须参与运算。
Collis指出，这一点在中学生看来是极难理解的。
例如，他看到许多孩子在求解联立方程之前，先对代数量赋予具体的数值。
这种情况在问题9（iv）的答案中就出现了，有相当数量（18％）的学生给出像32、34那样的具体数值答案。
可以想象，这些数值答案是通过画出一个一个的图并数出边数而得到的（约
16％多一点的学生），或在已给图形上添加若干条边得到。
显然，这些孩子不喜欢用字母来代表数量。
如果这解释了问题9（iv）的难度，那也可用来解释问题9（i）及另外两个问题，因为这些问题也出现了用字母表示的数。
然而，在孩子们看来，这些字母不表示边的长度，而是某种简单得多的东西。
他们把字母当成边的名字或标记，然后把这些名字集中放在一起。
这一点可由如下事实看到：
许多孩子（27％）不是给出答案2u+16，而是2u+2，5+1，6。
后一表示正像是堆集东西。
同样，孩子们用4h+1t表示4h+h、t（由于标记法的缺点，未能记录相应的
百分率），有些孩子（20％）干脆列出元素表，如4h、t或4ht，甚至hhhht。
总之，问题9的答案反映出，孩子们对字母赋予了三种不同的意义。
不足一半的同学能把字母看成特定未知量，其他同学则给字母赋值（16或17条边，而不是n条边），或把字母当成物体（两个u边、两个5边、一个6边）。
孩子们在其他代数测验中也对字母赋予了这三种意义。
已查知，孩子们对字母有六种不同的用法，即赋予了六种不同的意义。
下面简要介绍它们，并作进一步讨论。
（三）孩子们对字母所赋予的意义
1．给字母赋值这属于一开始就用数值代替字母而得出答案的情况。
2．忽略字母的意义置字母而不顾，或最多承认其存在但不赋予任何意义。
3．把字母当成物体把字母看作物体的记号，或直接看成物体。
4．把字母看成特定未知量把字母看成一定的但未知的数，而且可直接参与运算。
5．把字母看成广义的数认为字母代表（至少能取）几个数值，而不只是一个数值。
6．把字母看成变量字母代表一定范围的不确定的数，两组这样的数之间存在一种系统的关系。
孩子们对字母意义的选择在某种程度上与问题的性质有关（并非所有分类总相关），也与
问题的复杂性有关。
一般地，前三类情况对应于一种较低水平的解题能力。
可以这么说，孩子们要想对代数有任何粗浅真实的理解，他们就必须能处理那种需要把字母当成特定未知量的问题，这种问题的结果可以比较简单。
大多数孩子（13、14或15岁）不能很好地做到这一点，代之采用上述六种分类的前三类方法。
极少孩子理解力较高，能把字母当成变量。
除了上述六种分类外，孩子们的解答能力以及题目本身划分成不同的“理解水平”（同其他CSMS测验一致）。
这里划分成四种水平。
但这四种水平与六种分类的关系应能从下面的讨论中看到。
下面还对各种分类的意义作了详细讨论。
给字母赋值此时，孩子们不是按特定未知量的意义运算，而是直接给未知量赋予一个数值。
这类情
况也出现在求解方程中未知量的数值的过程中，孩子们不是先对未知量进行运算。
问题
6（i）、11（i）和11（ii）（表2）就属于这种情况，但问题14不是这样。
表2孩子们的答案（14岁）
6（i）（水平1）
11（i）（水平2）
11（ii）（水平2）
14（水平3）
若a+5=8则a=?
若u=v+3且
v=1则u=?
若m=3n+1且n=4则m=?
若r=s+t且r+s+t=30则r=?
a=392%
u=461％
m=1362％
r=1535％
r=30-s-t
6％
u=214％
其他值14％
r=1021％
由表可知，几乎所有孩子都正确回答了问题6（i）（他们只须从5数到8）。
问题1l的两部分都更难（水平2），但大多数同学还是能正确回答。
难度增加的主要原因可能是：
问题涉及两个未知量，11（i）、11（ii）的第一个方程有多解（例如，u=v+3允许有许多组解）。
不过，联立第二个方程（如v=1），就只有唯一解了。
问题14难度更大（水平3）。
在第二个方程中用r代替s+t，就可以求解问题14，但这是对未知量进行运算（不过，由r+r=30可解出r），属于用字母表示特定未知量的情况。
出现大量，r=10的错误答案这一事实说明，孩子们是直接对第二个方程中的r赋值（10+10+10=30），而不是对r赋予更高类别的意义。
忽略字母的意义
问题5的前两部分（5（iii）例外）均可忽略字母的意义求解（表3）。
5（i）很简单（水平1），不过5（i）涉及两个未知量，这两个未知量可不必细究。
把注意力集中在+2上，通过比较可消去变量，方程的左边变成43加上2。
表3孩子们的答案（14岁）
5（i）（水平1）
5（ii）
5（iii）（水平3）
若a+b=43则a+6+2=?
若n-246=762则n-247=?
若e+f=8则e+f+g=?
4597％
76174％
8+g41％
152％
76313％
其他8％
1226％
8g3％
96％
通过方程之间的比较，用同样的方法可消去5（ii）中的字母（不过，还是有一些孩子先
对字母赋值，结果因为数值大而导致运算错误）。
由于牵涉到大数量和（﹣1）的运算，问题
5（ii）比5（i）难度大。
247比246大，致使一些孩子用762加1，而不是减1。
5（iii）也可用比较方程的方法求解。
虽然e和f可因之消去，但孩子们还得用g运算，这涉及特定未知量（因5（iii）属于水平3）。
许多孩子投机取巧，给g赋值（还很有逻辑味道呢!
），结果得出答案12（4+4+4=12），或得出答案15（因为g是字母表中的第7个字母）。
还有些孩子简单地用8加1。
可以推知，这是增大一个数量的最简单方式。
把字母当成物体
此类情况在问题9的周长计算中出现过，其中前三个图形出现的字母可当成边的记号，而不是边的长度。
字母所赋予的这种意义可成功地用于问题13的某些部分。
该问题要求简化各种代数表达式。
表4正确答案（14岁）
13（i）（水平1）
13（iv）（水平2）
13（viii）（水平3）
13（v）（水平4）
2a+5a=
2a+5b+a=
3a-b+a=
（a-b）+b=
7a86％
3a+5b60%
4a-b47%
a23％
求解13（i）和13（iv）时，可把字母当成名称（如苹果、香蕉），所以，2a+5b+a即表示2
个苹果、5个香蕉、再加上另一个苹果，也即3个苹果加5个香蕉。
或者干脆把字母本身想象成物体（2个a、5个b、另一个a），不把字母当成未知量，从
而问题显得简单多了。
然而，上述方法对于问题13（v）（水平3）就碰壁了。
3个苹果减去1个香蕉毫无意义（除非原先就有一些香蕉），3个a减去1个b也是无意义的（除非把b看成一个数）。
同样的困难也出现在13（v）的式子（a一6）中。
这里，故意加一个括号，把注意力引到a-b上来，而a-b本身是不能简化的。
然而，问题的难度不是单独由括号带来的（同样
的问题，但负号变成正号：
（a+b）+a，就显得容易多了（53％），难度接近于没有括号的问题
13（iv）。
把字母当成物体，让字母具有的抽象意义变得“真实”而具体，这往往使孩子们解题成
功。
如果考虑字母本身的含义，这些问题就很难处理了。
不过，这种由抽象到具体的方法也常失败，特别是对于那些必须区分“物体”及其数量的问题（如卷心菜、铅笔、工资、小时等）。
这种区分常常难以把握。
一个惯用的例子，就是把“1先令等于12便士”的关系用公式“s=12d”（字母当成物体）表示，而不是“d=12s”。
问题22（表5）很容易产生这类错误，即使在整个测验中获得很好成绩的孩子也常犯这样的错误。
要解此问题最起码也得把字母看成特定未知量：
“我买了b支蓝铅笔，共花了5×
b便士”等。
把孩子们给出的各种答案分类是不可能的。
所记录的答案中，“b+r=90”及形如“6b+lOr=90”的答案也许最有趣。
表5孩子们的答案（14岁）
问题22（水平4）
蓝铅笔每支5便士，红铅笔每支6便士，我买了一些蓝铅笔和红铅笔，共花费90便士设b表示所买的蓝铅笔数，r为红铅笔数，试写出b和r满足的关系式
5b+6r=9010%给出如下数对中的两对
（6,10）,（12,5）,（18,0）,（0,15）1%
b+r=9017%
6b+10r=90或12b+5r=906%
大部分给出答案“b+r=90”的学生都能解答水平3的题目。
不过，他们的答案意思是“蓝
（铅笔）加红（铅笔）值90便士”，这显然正确但信息不足，而且把字母看成物体。
（“b+r=90”可读成“所买蓝、红铅笔的数量花费90便士”，这更多意味着的是问题的具体实在，而不是对数量的纯粹描述。
）
那些给出答案“6b+10r=90”的孩子，已发现了b和r的一对正确的数值（6，10），但没有把b和r当成数量，而说“6支蓝（铅笔）加10支红（铅笔）花费90便士”，再一次把字母当成物体。
把字母看成特定未知量
前述三类情况里，不把字母看成真正的未知量，避免了代数学方法。
现在讨论的情况却把字母当成特定未知量，这种想法还很原始，但却具有了代数学的观念。
把字母当成特定未知量的情况前面已讨论过了。
例如，问题9（iv）（p=2n）、14（r=15）、
5（iii）（e+f+g=8+g）、13（iii）（3a-b+a=）和13（v）（（a-b）+b=）。
在问题4（表6）中，可把字母当成特定未知量，但对于4（ii）、4（iii）则必须多加小心。
表6孩子们的答案（14岁）
4（i）（水平2）
4（ii）（水平3）
4（iii）（水平4）
n+5与4相加
3n与4相加
n+5与4相乘
n+968%
3n+436%
4n+20或4（n+5）17%
920%
7n31%
716%
4n+5或4×
n+519%
n+2030%
2015%
令人吃惊的是，问题4（ii）显得特别难（水平3），得出答案3n+4却很容易。
也正因为如
此，让人感觉不满意。
孩子们觉得应该把3n与4真正加起来。
由于n是未知量。
许多孩子不能做到这一点，干脆写出答案7n或7，把有意义的数量（3和4）直接加起来，把字母丢在一边，甚至完全略去。
把字母略去属于“忽略字母”的那类情况。
在4（iii）的答案n+20和20中，也出现了这种情况。
不过，这种情况出现在问题4（i）中就给出了正确答案（该问题中，把字母放在一边，把数量相加是合理的）。
4（ii）和4（iii）都要求把字母当成特定未知量，但问题4（iii）（水平4）要难得多。
这是因为它具有更大的结构复杂性，必须把4与式子n+5的两部分都相乘。
可是，很多孩子把n+5当成一个单项来施行运算。
这种方法用在4（ii）就能给出正确答案3n+4。
但用在4（iii）就不能给出要求的答案，反而给出4×
n+5之类的模糊答案来。
可以说，得出答案4×
n+5是算术概念掌握不牢的后果（此处不括括号）。
但对于三年级的学生。
是无可非议的，而且该问题不要求用括号求解。
把字母看成广义的数把字母看成特定未知量，即是认为字母有一个特定的值（但未知）。
相应地，把字母看成
广义的数，即认为字母可取几个数值。
（也可以去区分：
该字母是轮流取几个数值，还是同
时代表若干个数值。
后者蕴涵了下一段落讨论的变量的某些观念。
不过，这里不作区分。
）在问题16和18（ii）（如下表）中，似乎要把字母看成广义的数。
这两个问题比涉及特定未知量的题目要难，也可能孩子们首先接受的是特定未知量的观念。
不过，把字母所赋予的这两种意义看成是同一硬币的两个面，或许要有益一些。
因为在代数问题的教学中，孩子们常图方便，从一种意义跳到另一种意义中去。
（不妨回到问题22，孩子们或许把b、r看成
特定未知量，并得到答案5b+6r=90，但同时意识到答案所蕴涵的b、r的全部可能值。
）问题16主要是看孩子们能否找到c的几个可能值。
由表7看出，多数孩子只找到一个
值。
这并不意味着孩子们不愿再找其他数值（如果要求的话）。
表7孩子们的答案（14岁）
16（水平3）％
18（ii）（水平4）％
若c+d=10且c<
d对c的值作出判断
L+M+N=L+P+N
恒成立，有时成立，不成立（条件）
c<
511
c=1，2,3,419（完整列出）
c=lO-d4
有时成立（当M=P时）25
不完整列出1
有时成立（没有条件）或给出M、P的特定值14
只给出一值
（一般是c=4）39
不成立51
18（ii）源于Collis出的一个题。
该题特别难，Collis的解释是，在孩子们的眼中，两个不同的未知量，一般来说不应有相同的值。
把字母当成变量代数学中，术语“变量”用得非常广泛。
不仅该术语本身的意义变得模糊了，而且所赋
予给字母的各种意义之间的差异也相当模糊。
显然。
变量概念意味着某未知量的值在变化。
如果说变量的意思比特定未知量和广义的
数要进一层的话，那就是说它包含了未知量的值如何在变化的概念。
不过，这种观念难得把握，其原因之一是，按某一变量意义设计的题目也可以按低一级的意义去求解，而且，从一
种意义转到另一种意义给求解问题带来方便。
不过，此时观察者或解题人本身要分清所使用的真实意义就很困难了。
问题22就出现了这种困难。
把字母当成特定未知量或广义的数都能导出关于买蓝、红铅笔数量的式子：
5b+6r=90，但两者都不能完整地表达出b、r之间存在的关系。
因此，必须逐级考虑字母的意义。
把字母当成特定未知量，则关系式5b+6r=90就理解成一对特定数值（虽然未知）满足的式子。
这式子理解成静态的、不包含任何变化的思想；
进一步把字母理解成广义的数时，则
5b+6r=90就被理解成几对互相独立的数值满足的式子，即（6，10）、（12，5）、（0，15）、（18，0），或其中的一部分。
这蕴涵了b和r的值可以变化的思想，但没涉及任何变化的观念，此种观念要求以某种方式来比较各对数值。
这种比较所采取的第一个步骤或许是把数值进行排序（如下图）。
由图可以看出像“6增加时,r减少”这类的对应关系。
然而，通过建立b和r之间的关系，还可进一步确定b和r变化的速度，这种关系是：
“b的增大比r的减少要来得快些”，即“b增加了6个单位时,r
相应地减少了5个单位”。
也就是说，“b的增加速度是r的减少速度的6倍”，等等.这
5
样由关系式5b+6r=90额外阐述出来的关系，与当初把字母当成特定未知量或广义的数相比，真正迈进了一步。
我们就是按照这进一步的关系来理解变量概念的。
这种关系的重要特征就是认为变量本身就代表这种关系，并称之为“二级关系”（“12大于6”大于“5小于10”）。
这一特征提供有用的变量运算意义，即若两个字母代表的量之间存在二级关系时，两个字母就当成变量。
虽定义了变量概念，但还会出现这样的问题：
涉及变量的题目却不用变量的思想去求解。
设计一个题目，要求用变量去求解，做到这一点却不容易。
这种题目的最好例子是问题3（表
8）。
该题故意措辞较多，以缩小问题的范围。
题目的要旨是看孩子们能否明了两个式子的值依赖于n的值。
由表看出，大多数孩子的答案是2n更大，其理由是“2n是乘积”（确实是这回事），很少有学生给n取特定值或采用尝试和判断的方式，特别是孩子们不大可能（取n=1或2等）猜出答案。
本题得出正确答案的孩子，在测验的其他部分也表现很好。
表8问题3的各种答案（14岁）
2n与n+2，谁更大?
请解释
正确且附条件的答案（例如，2n（当n＞2时））6％
2n71％
n+216％
那么，孩子们是怎样成功地求解本题的呢?
他们为什么能想一想并考虑n的作用，而不
是草率地挑出一个答案?
事实上，他们能建立2n和n+2之间的二级关系。
这种关系可这样得到：
给n取特定值，看出2n和n+2有什么样的变化。
例如：
给n=4
和n=7，由（2n，n+2）得到（8，6）和（14，9）。
从中可看出关系（一级关系）是2n>
n+2，这种关系对于每对数成立，而且由问题本身所决定。
不过，也可以在数对之间建立二级关系，即“n增大时，2n与n+2之间的差也增大：
14-9>
8-6”，即“2n的增大比n+2快”。
二级关系的意义是让人看到这种可能性：
对于n的某些小数量，或者2n与n+2相等，或者2n比n+2小（分别对应于n=2与n<
2时的情形）。
这不是说孩子们确实做了这些思考，即使是那些“过程思考能力”强的孩子，也只是考虑了2n对于n+2所产生
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