2．两种常用的简单随机抽样
抽签法和随机数表法是简单随机抽样的两种常用方法，其实施步骤如下：
（1）抽签法的实施步骤：
①将总体中的N个个体编号；
②将这N个号码写在形状、大小相同的号签上；
③将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；
④从箱中每次抽出1个号签，连续抽取k次；
⑤将总体中与抽到的号签的编号一致的k个个体取出．
（2）随机数表法的实施步骤：
①将总体中的个体编号（每个号码位数一致）；
②在随机数表中任选一个数作为开始；
③从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的号码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则跳过，如此继续下去，直到取满为止；
④根据选定的号码抽取样本．
1．简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．我们使用的是不放回抽样，常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数表法．
2．抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，不方便．
3．随机数表法，当总体容量稍大时，比抽签法简便．
4．简单随机抽样每个个体被抽到的可能性都相等．
[例1] 下列抽取样本的方法中，属于简单随机抽样的是________．
①从无限多个个体中抽取10个个体作为样本
②盒子里有25个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样时，从中任意拿出一个零件进行检验后，再把它放回盒子里，直到抽检完5个零件为止
③从某班50名学生的学号中随机逐个抽取5个学号作为样本
[思路点拨] 根据简单随机抽样的概念及特征去判断．
[精解详析]
选项
判断
原因分析
①
否
总体中个体有无限多个，不符合“有限”的特征
②
否
是有放回的抽样，不符合“不放回”的特征
③
是
符合简单随机抽样的特征
[答案] ③
[一点通] 解决此类问题的关键是看给出的问题是否与简单随机抽样的概念及特征相符，即①总体数量有限，②等可能性，③逐个抽取，④不放回抽样．
1．下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是________．
①某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈
②从10台电冰箱中抽出3台进行质量检查
③某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部门为了了解学校机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本
④某乡农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田的平均产量
解析：
①的总体容量较大，用简单随机抽样比较麻烦；②的总体容量较小，用简单随机抽样比较方便；③由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异很大，不宜用简单随机抽样；④总体容量较大，并且各类田地的产量差别很大，也不宜用简单随机抽样．
答案：
②
2．下列抽样中是简单随机抽样的是________．
①从100个号签中一次取出5个作为样本
②某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵参加救灾工作
③一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签
④从某班56名（30名男生，26名女生）学生中随机抽取2名男生，2名女生参加乒乓球混双比赛
解析：
①不是逐个抽取，所以不是简单随机抽样；②④不满足等可能抽样，所以不是简单随机抽样；③是简单随机抽样．
答案：
③
[例2] 学校举办元旦晚会，需从每班选10名男生，8名女生参加合唱节目，某班有男生32人，女生28人，试用抽签法确定该班参加合唱的同学．
[思路点拨]编号、制签、均匀搅拌、抽签、定样本．
[精解详析] 第一步，将32名男生从0到31编号．
第二步，用相同的纸条做成32个号签，在每个号签上写上这些编号．
第三步，将写好的号签放在一个容器中摇匀，不放回地逐个从中抽出10个号签．
第四步，相应编号的男生参加合唱．
第五步，运用相同的办法从28名女生中选出8人，
则此8名女生参加合唱．
[一点通] 利用抽签法抽取样本时应注意以下问题：
（1）编号时，若已有编号可不必重新编号，另外，编号也有随机性．
（2）号签要求大小、形状完全相同．
（3）号签要搅拌均匀．
（4）要逐一不放回抽取．
3．下列抽样实验中，适合用抽签法的有________．
①从某厂生产3000件产品中抽取600件进行质量检验
②从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验
③从甲、乙两工厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验
④从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验
解析：
①④中总体容量较大，不适合．③中甲、乙两厂生产的产品质量可能差异明显．
答案：
②
4．要从某厂生产的30台机器中随机抽取3台进行测试．请用抽签法设计抽样方案．
解：
第一步，将30台机器编号，号码是01,02，…，30.
第二步，将30个号码分别写在形状、大小相同的30张纸条上，揉成团，制成号签．
第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀．
第四步，从袋子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码．
第五步，所得3个号码对应的3台机器就是要抽取的对象.
[例3] （12分）国家七部委联合下发公告，禁止生产企业在面粉生产中添加增白剂．为了检验某公司生产的800袋面粉质量是否达标，现从800袋面粉中抽取80袋进行检验．写出用随机数表法抽取样本的过程．
[思路点拨] 将编号统一调整为三位数，再根据随机数表法的抽样步骤进行．
[精解详析] 第一步，将800袋面粉编号，号码为001,002，…，799,800.（2分）
第二步，在随机数表中，任选一个数作为开始，如选第3行第6列的数2.（4分）
第三步，从选定的数2开始向右读（读数的方向还可以向左、向下、向上），得到一个三位数227，由于227<799，说明号码227在总体内，将它取出；继续向右读，得到665，由于665<799，说明665在总体中，将它取出；按照这种方法继续向右读，依次下去，直到将样本的80个号码全部取出为止．（8分）
第四步，对照号码，把对应编号的面粉抽出，这样就得到一个容量为80的样本．（12分）
[一点通] 在利用随机数表法抽样的过程中注意：
（1）编号要求位数相同；
（2）第一个数字的抽取是随机的；
（3）读数的方向是任意的且事先定好的．
5．本例中，若对抽取的80袋面粉检验后有78袋合格，那么这批面粉的合格率为多少？
若从800袋中再任抽取一袋，其不合格的可能性是多少？
解：
合格率：
×100%＝97.5%，
其中任抽取一袋不合格的可能性为2.5%.
6．总体由80个个体组成，利用随机数表法随机选取10个个体组成一个样本．
解：
按随机数表法的一般步骤解决问题．
第一步，将总体中的每个个体进行编号：
00,01，…，79；
第二步，从随机数表中任意一个位置起，向下（读数方向任意选取）读数，选取两位数字，
满足编号范围的留下（重复的数值去掉），直至把10个编号选完；
第三步，找到10个编号对应的个体组成样本．
1．抽签法虽简单易行，但当总体的容量较大时，费时费力不方便，若号签搅拌不均匀，可能导致抽样的不公平．
2．随机数表法可有效避免号签搅拌不均匀的问题，尤其是样本总数较大时此法优于抽签法．
课下能力提升（八）
一、填空题
1．为了了解某校高一学生的期末考试情况，要从该年级700名学生中抽取120名学生进行数据分析，则在这次考查中，考查总体数为________，样本容量是________．
答案：
700 120
2．一个总体共有30个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为7的样本，则某个特定个体入样的可能性是________．
解析：
每个个体被抽取的可能性为
.
答案：
3．下列抽样中：
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；
②盒子里有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后，再把它放回盒子里；
③从8台电脑中不放回地随机抽取2台进行质量检验（假设8台电脑已编好号，对编号随机抽取）．
其中属于简单随机抽样的是________．
解析：
根据总体的个数有限，可知①不是简单随机抽样；根据抽样是不放回地逐个抽取可知②不是简单随机抽样；只有③是简单随机抽样．
答案：
③
4．某工厂共有n名工人，为了调查工人的健康情况，从中随机抽取20名工人作为调查对象，若每位工人被抽到的可能性为
，则n＝________.
解析：
∵简单随机抽样为机会均等的抽样，
∴
＝
，即n＝100.
答案：
100
5．某工厂的质检人员对生产的100件产品，采用随机数表法抽取10件检查，对100件产品采用下面编号方法：
①01，02,03，…，100；②001,002,003，…100；③00,01,02，…，99.其中最恰当的序号是________．
解析：
只有编号时数字位数相同，才能达到随机等可能抽样．否则的话，由①是先选二位数字呢？
还是先选三位数字呢？
那就破坏了随机抽样．②③的编号位数相同，可以采用随机数表法，但②中号码是三位数，读数费时，③省时．
答案：
③
二、解答题
6．要从3000辆汽车中随机抽取3辆进行测试，请选择合适的抽样方法，并写出抽样过程．
解：
本题中总体容量较大，样本的容量较小，故可选用随机数表法来抽取含3个个体的样本，其抽样过程如下：
第一步，将3000辆汽车进行编号，号码是0001，0002，0003，……，3000.
第二步，在随机数表中任选一个数作为开始，如选第5行第11列的数3.
第三步，从选定的数3开始向右读，依次得满足条件的号码为2231,0990,0618.
第四步，把编号为2231,990,618的汽车取出，即得到一个容量为3的样本．
7．某师范大学为支援西部教育事业发展，计划从应届毕业生中选出一批志愿者．现从符合报名条件的18名志愿者中，选取6人组成志愿小组，请用抽签法设计抽样方案．
解：
第一步，将18名志愿者编号，号码为1,2,3，…，18，
第二步，将号码分别写在18张大小、形状都相同的纸条上，揉成团，制成号签．
第三步，将制好的号签放入一个不透明的袋子中，并搅拌均匀．
第四步，从袋子中依次抽取6个号签，并记录上面的编号．
第五步，所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员．
8．说出下列抽取样本时运用了哪种抽样方法？
并说明原因．
设一个总体中的个体数N＝345，要抽取一个容量为n＝15的样本，现采用如下方法：
从随机数表中任意选取三列构成三位数字号码，从中依次取出不同的三位数字号码，当数在001～345之间时，该号码抽入样本；当数在401～745之间时，则该数减去400的号码抽入样本中，其余的000,346～400,746～999的号码都不要；当某号码已抽入样本中，而再次遇到该号码被抽入样本时，只算一次．
解：
运用了简单随机抽样中的随机数表法．简单随机抽样的要求是给个体编号，逐个不放回抽取，操作的个体数量不宜太多，每个个体被抽取的机会均等，只有符合这些特点才是简单随机抽样．本题虽然取数时，设计了特别的规则，但是从随机数表中任意取数符合简单随机抽样的每个特点，所以本题运用了简单随机抽样法中的随机数表法．
第2课时 系统抽样
某年元旦国家邮政局发行有奖贺卡有1000000个有机会中奖（编号000000～999999），邮政部门按照随机抽取的方式确定后两位是24的作为中奖号码．
问题1：
确定中奖号码的抽样方法是抽签法吗？
提示：
不是．
问题2：
中奖号码的后两位确定为24后中奖人的号码有何特点？
提示：
后两位是24的号码间隔都是100.
问题3：
该抽样方法公平吗？
提示：
因为后两位24是随机抽取的，所以此抽样方法公平．
1．系统抽样的概念
将总体平均分成几个部分，然后按照一定的规则，从每个部分中抽取一个个体作为样本，这样的抽样方法称为系统抽样．
2．系统抽样的实施步骤
假设从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，其步骤为：
（1）采用随机的方式将总体中的N个个体编号；
（2）将编号按间隔k分段，当
是整数时，取k＝
；当
不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N′能被n整除，这时取k＝
，并将剩下的总体重新编号；
（3）在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l；
（4）按照一定的规则抽取样本，通常将编号为l，l＋k，l＋2k，…，l＋（n－1）k的个体抽出．
1．系统抽样比简单随机抽样更容易实施，可节约抽样成本．
2．系统抽样是等可能性抽样，每个个体被抽到的可能性相等．
3．系统抽样适用的条件是当总体中个体差异不大且总体的容量较大．
[例1] 下列抽样中最适宜用系统抽样的是________．
①某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200名学生入样
②从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样
③从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样
④从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样
[思路点拨] 根据系统抽样的概念及特征可作出判断．
[精解详析]
选项
判断
原因分析
①
×
总体有明显的层次，不适宜用系统抽样法
②
×
样本容量很小，适宜用随机数表法
③
√
总体容量较大，样本容量也较大，适宜用系统抽样法
④
×
总体容量很小，适宜用抽签法
[答案] ③
[一点通] 解决此类问题的关键是抓住系统抽样适用的条件，同时与简单随机抽样进行比较，然后再作判断．
1．某报告厅有50排座位，每排有60个座位（编号1～60），一次报告会坐满了观众，会后留下座号为18的所有观众进行座谈．这种抽样方法是________．
解析：
由条件可知符合系统抽样的特征．
答案：
系统抽样
2．某商场想通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每月的销售金额．采用如下方法：
从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按序往后将65号，115号，165号，…发票上的销售金额组成一个调查样本．这种抽样方法是什么抽样？
解：
上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张，从第一组中抽出了15号，以后各个组抽15＋50n（n∈N*）号，符合系统抽样的特点．故上述抽样方法是系统抽样.
[例2] （12分）2016年中秋节前，为保证月饼的质量，某市质检局决定对某品牌月饼进行抽样检查．从1000盒该品牌的月饼中抽取容量为50的样本，那么采用什么抽样方法比较恰当？
简述抽样过程．
[思路点拨] 按系统抽样的方法进行．
[精解详析] 适宜用系统抽样，抽样过程如下：
（1）随机地将这1000盒月饼编号为1,2,3，…，1000.（3分）
（2）将总体按编号顺序均分成50部分，每部分包括20个个体．（6分）
（3）在第一部分的个体编号1,2,3，…，20中，利用简单随机抽样抽取一个号码，比如是18.（9分）
（4）以18为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：
18,38,58，…，978,998.（12分）
[一点通]
1．解决系统抽样问题中两个关键的步骤为：
（1）分组的方法应依据抽取比例而定，每组抽取一个样本．
（2）起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．
2．当总体中的个体数不能被样本容量整除时，需要先在总体中剔除一些个体．
3．高三某班有学生56人，学生编号依次为1,2,3，…，56.现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知编号为6,34,48的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的编号应该是________．
解析：
由于系统抽样的样本中个体编号是等距的，且间距为56/4＝14，所以样本编号应为6,20,34,48.
答案：
20
4．将参加数学夏令营的100名同学编号为001,002，…，100.现采用系统抽样方法抽取一个容量为25的样本，且第一段中随机抽得的号码为004，则在046至078号中，被抽中的人数为________．
解析：
抽样距为4，第一个号码为004，故001～100中是4的整数倍的数被抽出，在046至078号中有048,052,056,060,064,068,072,076，共8个．
答案：
8
5．从某厂生产的883辆同一型号的家用轿车中随机抽取40辆测试某项性能．现在用系统抽样的方法进行抽样，请写出抽样过程．
解：
采用系统抽样法的步骤如下：
第一步，将883辆轿车随机编号：
001,002，…，883；
第二步，用随机数表法从总体中随机抽取3个编号，剔除这3个个体，将剩下的880个个体重新随机编号，分别为001,002，…，880，并分成40段，每段22个编号；
第三步，在第一段001,002，…，022中用简单随机抽样法随机抽取一个个体编号作为起始号（例如008）；
第四步，把起始号依次加上22，即可获得抽取的样本的个体编号（例如008,030，…，866）；
第五步，由以上编号的个体即可组成抽取的样本．
系统抽样的特点：
（1）适用于总体的个数较多且均衡的情况；
（2）它是从总体中等间距地进行抽取；
（3）它是一种不放回的抽样；
（4）每一个个体被抽到的可能性相等．
在抽样时，只要第一组抽取的个体确定了，后面各组中要抽取的个体依照事先确定好的规则就自动地被抽出了，因此特别简单易行．
课下能力提升（九）
一、填空题
1．若总体中含有1645个个体，现在要采用系统抽样，从中抽取一个容量为35的样本，编号后应均分为________段，每段有________个个体．
解析：
因为
＝47，
故采用系统抽样法时，编号后分成35段，每段47个个体．
答案：
35 47
2．从2013个编号中抽取20个号码入样，采用系统抽样的方法，则抽样的分段间隔为________．
解析：
先从2013个个体中剔除13个，则分段间隔为
＝100.
答案：
100
3．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k小组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝6，则在第7组中抽取的号码是________．
解析：
第7组中号码的十位数字为6.又m＋k＝6＋7＝13，由规定知抽取号码的个位数字为3，所以抽取号码为63.
答案：
63
4．某企业利用系统抽样的方法抽取一个容量为60的样本，若每一个职工入样的可能性为0.2，则该企业的职工人数为________．
解析：
系统抽样中，每个个体被抽到是等可能的，设该企业职工人数为n，则
＝0.2，故n＝300.
答案：
300
5．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，……，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生．
解析：
∵组距为5，∴（8－3）×5＋12＝37.
答案：
37
二、解答题
6．为了调查某路口一个月的车流量情况，交警采用系统抽样的方法，样本距为7，从每周中随机抽取一天，他正好抽取的是星期日，经过调查后做出报告．你认为交警这样的抽样方法有什么问题？
应当怎样改进？
如果是调查一年的车流量情况呢？
解：
交警所统计的数据以及由此所推断出来的结论，只能代表星期日的交通流量．由于星期日是休息时间，很多人不上班，不能代表其他几天的情况．
改进方法可以将所要调查的时间段的每一天先随机地编号，再用系统抽样方法来抽样，
或者使用简单随机抽样来抽样亦可．
如果是调查一年的交通流量，使用简单随机抽样法显然已不合适，比较简单可行的方法是把样本距改为8.
7．下面给出某村委会调查本村各户收入情况所作的抽样过程，阅读并回答问题．
本村人口：
1200人，户数：
300，每户平均人口数4人；
应抽户数：
30户；
抽样间隔：
＝40；
确定随机数字：
取一张人民币，编码的后两位数为12；
确定第一样本户：
编码为12的户为第一样本户；
确定第二样本户：
12＋40＝52，编号为52的户为第二样本户；
……
（1）该村委会采用了何种抽样方法？
（2）说明抽样过程中存在哪些问题，并修改．
（3）抽样过程中何处应用了简单随机抽样？
解：
（1）系统抽样．
（2）本题是对该村各户收入情况进行抽样而不是对该村各人收入情况抽样，故抽样间隔应为
＝10.
其他步骤相应改为：
确定随机数字：
任取一张人民币，编号的最后一位为2；
确定第一样本户：
编号为002的户为第一样本户；
确定第二样本户：
2＋10＝12，编号为012号的户为第二样本户；
……
（3）在确定随机数字时，应用的是简单随机抽样，即任取一张人民币，记下编号的最后一位．
8．一个总体中有1000个个体，随机编号为0,1,2,3，…，999，以编号顺序将其平均分成10个小组，组号依次为0,1,2,3，…，9，要用系统抽样方法抽取一容量为10的样本，规定：
如果在第0小组中随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组中的号码，即第k小组中抽取的号码的后两位数字与x＋33k的后两位数字相同．
（1）当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；
（2）若所抽取样本的10个号码中有一个号码的后两位数字是87，求x的取值范围．
解：
（1）当x＝24时，所抽取样本的10个号码依次为24,157,290,323,456,589,622,755,888,921.
（2）当k＝0,1,2，…，9时，33k的值依次为0,33,66,99,132,165,198,231,264,297.
由所抽取样本的10个号码中有一个号码的后两位数字是87，可得x的取值可能为87,54,21,88,55,22,89,56,23,90.
所以x的取值范围是{21,22,23,54,55,56,87,88,89,90}．
第3课时 分层抽样
食品安全关系人民的健康，2016年初，某市的食品管理局决定在全市范围内进行食品安全大检查．某超市有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品及果蔬类分别有40种、20种、30种、30种，现在从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．
问题1：
上述问题中总体中的个体特征有何特点？
提示：
个体中存在明显的差异．
问题2：
升级会员 