立体几何期末复习含详细答案.docx

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立体几何期末复习含详细答案

立体几何单元复习卷

（一）

1•用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（）

A.圆柱B.圆锥

C.球体D.圆柱、圆锥、球体的组合体

2.给出下列命题：

1棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；

2若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；

3在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

4存在每个面都是直角三角形的四面体.

其中正确命题的序号是.

3.已知正三角形ABC的边长为2,那么△ABC的直观图厶A'B'C'的面积为

4.已知圆锥的表面积等于12ncm2,其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为

cm.

5.（2018苏州零模）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫

卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°隼卯起来.若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1,现

将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为。

（容器壁的厚度

忽略不计，结果保留n）

6.—个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm，若两底面圆心的连线长为12cm,

则这个圆台的母线长为cm.

7.已知正四棱锥V-ABCD中，底面面积为16,一条侧棱的长为2,11，则该棱锥的高

为.

8•如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4m,—只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处.若该小虫爬行的最短路程为4寸3m,则圆锥底面圆的半径等于m.

14.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18,则这个

球的体积为

则圆台较小底面的半径为

17.—个六棱锥的体积为2'3，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为.

18.在三棱锥A-BCD中，侧棱AB,AC,AD两两垂直，△ABC,△ACD,△ADB的

面积分别为^2^2，，则该三棱锥外接球的表面积为（）

A.2nB.6n

C.4.'6nD.24n

19.如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2,/ACB=90°,AP=BP=AB,PC丄AC.

（1）求证：

PC丄AB;

⑵求点C到平面APB的距离.

20.如图所示，在正方体ABCD-AiBiCiDi中，

（1）求AC与AiD所成角的大小；

⑵若E,F分别为AB,AD的中点，求AiCi与EF所成角的大小.

6

立体几何单元复习卷

（二）

到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（）

如图，平面al平面B,△PAB所在的平面与a,B分别交于CD,AB,若PC=2,

23.

在三棱锥P-ABC中，PB=6,AC=3,GPAC的重心，过点G作三棱锥的一

个截面，使截面平行于PB和AC,则截面的周长为.

24.已知m.

n是两条不同的直线,

a,B,丫是三个不同的平面，下列命题中正确的是

B.若mla,m//B,则

（）

A.若mla,

C.若a丄y

D.若m丄a,n丄a,贝Umln

25.已知m，

n是两条不同的直线,

a,

B为两个不同的平面，则下列四个命题中正确

A.若m丄a,

的是（）

B.若mla,nlB,m±n,贝UalB

C.若m丄a,

nlB,

26.如图，在直三棱柱

m±n,贝U

ABC-A'

all

中,

D.若m±a,nlB,al

△ABC是边长为2的等边

三角形，AA'=4,

分别是边AA',AB,BB',A'B',

BC的中点，动点

P在四边形EFGH内部运动，并且始终有

ACC'A',则动点

P的轨迹长度为

（）

C.2.：

3

D.4

27.设m,n是两条不同的直线,

a,B是两个不同的平面，下列命题中正确的是

MP//平面

A.若m?

B,a丄B,贝Um丄a

B.若m丄a,mln,nlB,贝Ua丄

C.若mln,m?

a,n?

B,则

a丄BD.若alB,m?

a,n?

B,贝Umln

28.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,

平面a与棱AB,AC,A1C1,A1B1分别交于点E,

G,H,且直线AA1l平面a有下列三个命题：

①四边形EFGH是平行四边形；②平面

平面BCC1B1;③平面a丄平面BCFE.其中正确命题的序号是.

29.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2,AC=BC=1,/ACB

F,

c

J/TPjri

1

A

=90°,D是AiBi的中点，F是BBi上的动点，ABi,DF交于点E.要使AB1丄平面CiDF,则线段BiF的长为（）

A.2

B.

C'3

D.

30.如图，在Rt△ABC中，/

厶ABC=90°,

1

1

2

PABC所在平面外

一点，PA丄平面ABC，则四面体P-ABC中直角三角形的个数为（

31.如图，在正方形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点,是EF的中点，现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,

B,C,D三点

重合，重合后的点记为H,

A.AG丄平面EFH

C.HF丄平面AEF

H

j4

AH丄平面EFH

B.

那么，在这个空间图形中必有（）

HG丄平面AEF

32.如图，PA丄OO所在平面，AB是OO的直径，C是OO上一点,

AE丄PC,AF丄PB,给出下列结论：

①AE丄BC:

②EF丄PB:

③AF丄

BC;④AE丄平面PBC，其中真命题的序号是

33.如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M,N,G分别是AB,AD,EF的中点，求证：

（1）BE//平面DMF;

⑵平面BDE//平面MNG.

34.

（2017江苏高考）如图，在三棱锥A-BCD中，AB丄AD,BC丄BD，平面ABD丄平面

（1）求证：

SD丄平面ABC;

⑵若AB=BC,求证：

BD丄平面SAC.

36.如图，在三棱锥P-ABC中，PA丄AB,PA丄BC,AB丄BC,PA=AB=BC=2,D为

线段AC的中点，E为线段PC上一点.

⑴求证：

PA丄BD;

（2）求证：

平面BDE丄平面PAC;

（3）当PA//平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积.

37.如图1,在边长为1的等边三角形ABC中，D,E分别是AB,AC边上的点，AD=

AE,F是BC的中点，AF与DE交于点G,将厶ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A-BCF，其中BC=平.

2

⑶当AD=3时，求三棱锥F-DEG的体积.

立体几何单元复习卷

（一）

1•用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（）

A.圆柱B.圆锥

C.球体D.圆柱、圆锥、球体的组合体

解析：

选C截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体.

2.给出下列命题：

1棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；

2若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；

3在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

4存在每个面都是直角三角形的四面体.

其中正确命题的序号是.

解析：

①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧

棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体

ABCD-AiBiCiDi中的三棱锥Ci-ABC，四个面都是直角三角形.

答案：

②③④

3.已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图厶A'B'C'的面积为

2

L

y一

A0

8J

囲①

图②

答案：

严

4

cm.

解析：

S表一nr2+nrl—nr2+nr•2r—3nr2—12n,--r2—4,--r—2cm.

6.（20i8苏州零模）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫

卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的

正四棱柱体分成三组，经90°隼卯起来•若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1,现

将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为。

（容器壁的厚度

忽略不计，结果保留n）

解析：

球形容器的直径为两根等长的正四棱柱体组合体的体对角线，即为

（1+1）2+12+52=30,所以球形容器的半径R=-y,由球的表面积公式可知：

S表

=4nR2=4n°—30=30n.

2

8•如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4m，一只小虫从圆锥的底面圆上

的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处.若该小虫爬行的最短路程为4^m，则

4

答案：

4

3

9.正三棱柱ABC-AiBiCi的底面边长为2,侧棱长为'3,D为BC的中点，则三棱锥

A-BiDCi的体积为.

解析：

如图，在正三棱柱ABC-AiBiCi中，

TAD丄BC,AD丄BBi,BBiABC=B,二AD丄平面BiDCi.

iii

•••VA-BiDCi=BiDCiAD=3X2X2X；3X:

'3=i.

答案：

i

iO.已知直三棱柱ABC-AiBiCi的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3,AC=4,AB

丄AC,AAi=i2，则球O的半径为（）

A•专7B.2iOC•学D.3i0

点M•又AM=|bc=；,32+42=5,OM=*AAi=6,所以球O的半径R=

ii.

（20i7江•苏高考）如图，在圆柱OiO2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱OiO2的体积为Vi，球O的体积为V2，则浮的值

V2

是.

解析：

设球O的半径为R,因为球O与圆柱OiO2的上、下底面及母线均相切，所以圆

VinR22R

R、咼为2R，所以；y=

V24Q

3nR

3

答案：

3

12.已知正三棱锥的高为内切球的半径为（）

1，底面边长为2；3,内有一个球与四个面都相切，则棱锥的

5

A.2

B..''3—1

C.*

D..'2-1

解析：

选D如图，过点P作PD丄平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE,

•/△ABC是正三角形，•AE是BC边上的高和中线，DABC

1

的中心.•/AB=2.3「・SaABC=33DE=1PE=2「・S表=3X㊁X2.：

3X；2+33=3：

6

1

+3.；3.1PD=1,・••三棱锥的体积V=-X3・；3X1=/3.

3

设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱

13.（2017全国卷I）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的

直径.若平面SCA丄平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9，则球O

的表面积为.

解析：

如图，连接AO,OB,

•/SC为球O的直径，.••点O为SC的中点，

•/SA=AC,SB=AO丄SC,BO丄SC,

•••平面SCA丄平面SCB，平面SCA门平面SCB=sc,AAO丄平面

1

SCB，设球O的半径为R，贝yOA=OB=R,SC=2R.aVs-abc=Va-sbc=§XSasbcXAO

1111

=—X2XScxobXAO，即卩9=3X2X2RXRXR，解得R=3,a球O的表面积为S=

4tiR2=4nX32=36n.

答案：

36n

14.（2017天津高考）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.

解析：

由正方体的表面积为18,得正方体的棱长为'3.设该正方体外接球的半径为R,

则2R=3,R=弓，所以这个球的体积为£冗R3=4tX27=守

23382

答案：

2

15.

《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：

“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：

积及为米几何？

”其意思为：

“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆

锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？

”已知1斛米的体积约为1.62立方

尺，圆周率约为3,估算出堆放的米约有（）

B.22斛

D.66斛

A.14斛

C.36斛

解析：

选B设米堆的底面半径为r尺，则扌=8,所以r=竺，所以米堆的体积为V

2n

1116320320

=4X3以5=—X5~立方尺）•故堆放的米约有可勻侃~22（斛）.

16.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3,圆台的侧面积为84n,

则圆台较小底面的半径为.

解析：

设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S=n（+3r）3=84n,解得r=7.

答案：

7

17.—个六棱锥的体积为2'3，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该

六棱锥的侧面积为.

解析：

由题意可知该六棱锥为正六棱锥，正六棱锥的高为h,侧面的斜高为h'.

由题意，得1x6x-4x2xh=2；3,二h=1,•••斜高h'=,12+一32=2,

1

•-S侧=6x，x2x2=12.

答案：

12

18.在三棱锥A-BCD中，侧棱AB,AC,AD两两垂直，△ABC,△ACD,△ADB的

面积分别为于，于，冷6，则该三棱锥外接球的表面积为（）

A.2nB.6n

C.4.'6nD.24n

解析：

选B设相互垂直的三条侧棱AB,AC,AD分别为a,b,c,则珈=今,*bc=于，1ac=26，解得a=.'2,b=1,c=「3所以三棱锥A-BCD的外接球的直径2R=;'a2+b2+c2=.'6,则其外接球的表面积S=4nR2=6n.

19.如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2,/ACB=90°,AP=BP=AB,PC丄

AC.

⑵解析：

设C到平面APB的距离为h,则由题意，得AP=PB=AB='AC2+BC2=2；2,所以

PC=.'AP2-AC2=2.因为CD=1AB='2,PD=^PB=.6所以PC2+CD2=PD2,

1

所以PC丄CD.由

（1）得AB丄平面PCD,于是由VC—APB=VA—PDC+VB—PDC,得-hS

3

20.如图所示，在正方体ABCD-AiBiCiDi中，

（1）求AC与AiD所成角的大小；

⑵若E,F分别为AB,AD的中点，求AiCi与EF所成角的大小.

解：

（1）如图所示，连接BiC,ABi，由ABCD-A1B1C1D1是正方体,易知AiD//BiC，从而BiC与AC所成的角就是AC与AiD所成的角.

ABi=AC=BiC,

•••/BiCA=60°.

即AiD与AC所成的角为60°.

（2）连接BD，在正方体ABCD-AiBiCiDi中，

AC丄BD,AC//A1C1,

•••E,F分别为AB,AD的中点，

•EF//BD,•EF丄AC.「.EF丄AiCi.

即AiCi与EF所成的角为90°.

立体几何单元复习卷

（二）

21.至悴间不共面的四点距离相等的平面的个数为（）

A.1B.4

C.7D.8

解析：

选C当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥•①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，如图1•令截面与四棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距

离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有4个；

②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，如图2,当平面过AB，BD，CD，AC的中点

时，满足条件.因为三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面有3个.所以满足条

件的平面共有7个，故选C.

22.如图，平面a//平面3,△PAB所在的平面与aB分别交于CD,AB,若PC=2,CA=3,CD=1，贝UAB=

解析：

：

•平面a//平面3二CD//AB，则PC=CAB,•••AB=PApCCD=号=|

5

答案：

5

23.在三棱锥P-ABC中，PB=6,AC=3,GPAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC,则截面的周长为.

解析：

过点G作EF//AC,分别交PA,PC于点E,F，过点E作EN//PB交AB于点N，过点F作FM//PB交BC于点M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形（平面EFMN

2X4=8.

为所求截面），且EF=MN=2AC=2,FM=EN=3PB=2,所以截面的周长为

答案：

8

F列命题中正确的是（）

A.若m//a,n//a,贝Um//n

B.若m//a,m//3贝Ua//3

C.若a丄y3丄Y贝Va/3

D.若m丄a,n丄a,贝Um/n

B中，两平面可能平行或相交；C

解析：

选DA中，两直线可能平行、相交或异面;

中，两平面可能平行或相交；D中，由线面垂直的性质定理可知结论正确，故选D.

25.（2018陕西西安中学月考）已知m,n是两条不同的直线,a,3为两个不同的平面,则下列四个命题中正确的是（）

A.若m丄a,n丄3m±n,贝Ua丄3

B.若mIIan//B,m丄n,贝Uall3

C.若m丄a,n/3m±n,贝Uall3

D.若m丄a,nI3a//3,贝Um//n

解析：

选A借助于长方体模型解决.过直线m,n作平面y可以得到平面a3所

成的二面角为直二面角，如图

（1）,故a丄3,A正确；B的反例如图

（2）;C的反例如图（3）;

D中由m丄a,a//3可得m丄3,过n作平面丫可得n与丫与3的交线g平行，则m丄g,故

m±n,D错误，故选A.

26.

（2018郑州质检）如图，在直三棱柱ABC-A'B'C'中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA'=4,E,F,G,H,M分别是边AA',AB,BB',A'B',BC的中点，动点P在四边形EFGH内部运动，并且始终有MP//平面ACC'A',则动点P的轨迹长度为（）

A.2B.2n

C.2..'3

解析：

选D

连接MF,FH,MH，因为M,F,

H分别为BC,AB,A'B'的中点,

所以MFIAC,FH//AA'，所以MFI平面AA'C'C,FHI平面

MFAFH=F，所以平面MFHI平面AA'C'C,所以M与线段FH上任意一点的连线都平行于平面AA'C'C,所以点P的运动轨迹是线段FH，其长度为4,故选D.

27.

a,3是两个不同的平面，下列命题

（2018•州一模）设m,n是两条不同的直线,中正确的是（）

A.若m?

3,a丄3则m丄a

B.若m丄a,mIn,nI3,贝Ua丄3

C.若mln,m?

a,n?

3,贝Ua丄3

D.若aI3m?

a,n?

3,贝UmIn解析：

选B

28.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面a与棱AB,

AC,A1C1,A1B1分别交于点

E,F,

EFGH是平行四边形；②平面aI

G,H,且直线AA1I平面a有下列三个命题：

①四边形

平面BCC1B1；③平面a丄平面BCFE.其中正确命题的序号是.

解析：

如图所示，因为AA1I平面a,平面aA平面AA1B1B=EH,所以AA1IEH.同理AA1IGF,所以EHIGF,又ABC-A1B1C1是直三棱柱，易知EH=GF=AA1,所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面aI平面BB1C1C,由平面aA平面A1B1C1=GH,平面BCC1B1A平面A1B1C1=B1C1,知GHIB1C1,而GHIB1C1不一定成立，故②错误；由AA1丄平面BCFE,结合AA1IEH知EH丄平面BCFE,又EH?

平面

所以平面a丄平面BCFE,故③正确.

答案：

①③

29•如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2,AC=BC=1，/

ACB=90°,D是AiBi的中点，F是BBi上的动点,使ABi丄平面CiDF，则线段BiF的长为（）

1

A.2B.i

已知可得AiBi=；2,

5i

设Rt△AAiBi斜边ABi上的高为h,则DE=0h.

又2甘2+羽2,所以h=呼，DE二斗3.

在Rt△DBiE中，BiE=-22--32=~66.

由面积相等得-6-Xyjx2+乎2=¥x,解得x=

Rt△ABC中，/ABC=90°,PABC所在平面外

ABC，则四面体P-ABC中直角三角形的个数为（

B.3

D.1

由PA丄平面ABC可得△PAC,^PAB是