二次函数应用面积利润问题.docx

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二次函数应用面积利润问题

2.4二次函数的应用（利润问题）

1.某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是10元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:

在一段时间内,单价是13元时,销售量是5000件,而单价每降低0.1元,就可以多售出500件.请你帮助分析，销售单价是多少时,可以获利最多?

2.某商店购进一批单价为

元的日用商品，如果以单价

元销售，那么半个月内可售出

件。

根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，及销售单价每提高

元，销售量相应就减少

件，销售单价为多少时，才能在半月内获得最大利润？

3.某旅社有客房120间，每间客房的日租金为160元时，每天都客满。

经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元，那么客房日出租数就会减少6间，不考虑其他因素，每间客房的日租金提高到多少元时，才能使客房的日租金的总收入达到最高？

4.某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空间．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元，求：

（1）房间每天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；

（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；

（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w有最大值？

最大值是多少？

5.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）．

（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围.

（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式.

（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？

最大利润是多少元？

6.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元，旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅游团每增加一人，每人的单价就降低10元，你能帮助算一下，当一个旅游团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？

7.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：

如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

8.某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克.

（1）现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？

9.为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：

若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次性购买100个以上，则购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙商家一律按原价的80℅销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元.

（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式.

（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？

10.某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：

y=－10x+500

（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？

（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？

（成本＝进价×销售量）

11.为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元/千克）有如下关系：

．设这种产品每天的销售利润为元．

（1）求与之间的函数关系式．

（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？

最大利润是多少元？

（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？

12.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量

（件）与销售单价

（元）符合一次函数

，且

时，

；

时，

．

（1）求一次函数

的表达式；

（2）若该商场获得利润为

元，试写出利润

与销售单价

之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．

13.某种蔬菜的销售单价与销售月份之间的关系如图

（1）所示，成本与销售月份之间的关系如图

（2）所示（图

（1）的图象是线段，图

（2）的图象是抛物线）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？

（收益=售价-成本）

二次函数的应用（面积问题）

1.如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.

（1）设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？

（2）设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大？

最大值是多少?

2.某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多（结果精确到0.01m）?

此时,窗户的面积是多少?

3.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值

是cm2．

4.用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2xm．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？

请求出金属框围成的图形的最大面积．

5.学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：

广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖．

（1）要使铺设白色地面砖的面积为5200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？

（2）如图铺设白色地面砖的费用为每平方米30元，铺设绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺设广场地面的总费用最少？

最少费用是多少？

6.如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B，C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y．

（1）求y关于x的函数关系式.

（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

（3）若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？

7.如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x，面积为y．

（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.

（2）生物园的面积能否达到210平方米？

说明理由．

8.如图，在

中，

，

，高

，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．

（1）求证：

＝

（2）设

，当

为何值时，矩形

的面积最大?

并求其最大值；

（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动），设运动时间为

秒，矩形EFFQ与△ABC重叠部分的面积为

，求

与

的函数关系式．

9.正方形ABCD边长为

，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，

（1）证明：

；

（2）设

，梯形

的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形

面积最大，并求出最大面积；

（3）当

点运动到什么位置时

?

并求出此时

的值．

10.已知：

把Rt△ABC和Rt△DEF按如图

（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．

如图

（2），△DEF从图

（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？

（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？

若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．

（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？

若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）