高考数学理数立体几何大题训练含答案.docx
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高考数学理数立体几何大题训练含答案
立体几何大题训练
、解答题（共18题；共170分）
1.（2020新课标川理）如图，在长方体一$匸匚'中，点工”分另恠棱■上,且
一丄—U,丄—二二;.
（1）证明：
点在平面内；
（2）若.辽=二，上产第求二面角丄」」的正弦值.
2.（2020新课标n理）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M,N分别为BC,B1C1的中点，P为AM上一点，过B1G和P的平面交AB于E,交AC于F.
（1）证明：
AA1//MN，且平面A1AMN丄EBGF;
（2）设OA1B1C1的中心，若AO//平面EB1C1F,且AO=AB,求直线BE与平面A1AMN所成角的正弦
值•
3.（2020新课标I理）如图，D为圆锥的顶点,
o是圆锥底面的圆心，-三为底面直径,
P为匚N9上一点,
述.是底面的内接正三角形，
（1）证明平面75C"
（2）求二面角5-FC-E的余弦值.
4.（2020新高考I）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD丄底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为I.
（1）证明：
I丄平面PDC;
（2）已知PD=AD=1,Q为I上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.
5.（2020天津）如图，在三棱柱S冲，「IL_一平面丄口:
:
TI''；；'
点二；丄分别在棱丄1一和棱上，且.1D1cr二啓为棱的中点.
（I）求证：
；
（n）求二面角茲仁C的正弦值；
（川）求直线.：
兰与平面-■二;丄所成角的正弦值.
6.（2020江苏）在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2,O为BD的中点，AO丄平面BCD,AO=2,E
为AC的中点.
（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；
（2）若点F在BC上，满足BF=4bC,设二面角F—DE—C的大小为0,求sin啲值.
7.（2020北京）如图，在正方体丄-J-'/-中，E为的中点.
（I）求证：
平面»
（n）求直线丄欣与平面.1二乞所成角的正弦值.
8.（2020浙江）如图，三棱台DEF-ABC中，面ADFC!
面ABC,/ACB=/AC»45°DC=2BC
（I）证明：
EF±DB;
（n）求DF与面DBC所成角的正弦值.
9.（2020扬州模拟）如图，在三棱锥-二S中，已知一■卫口二決二9都是边长为的等边三角
三为5■匚、中点，且.■丄_平面，
为线段上一动点，记
形,
（1）当时，求异面直线口尸与所成角的余弦值；
（2）当与平面.-CD所成角的正弦值为丄二时，求的值.
10
10.（2020济宁模拟）如图1,四边形ABCD为矩形，BC=2AB,E为AD的中点，将ABEDCE分别沿BECE折起得图2,使得平面平面BCE平面打厂工I平面BCE.
團1
（1）求证：
平面
（2）若F为线段
鮎二一平面DCE
BC的中点，求直线FA与平面ADE所成角的正弦值.
11.（2020高一下宝坻月考）如图所示，已知，二一平面3CD,M,N分别是二厂，.匸'的中点,
讥_（」
（1）求证：
平面二匚匸'
（2）求证：
平面MU—平面H
（3）若.辽二］,，求直线与平面所成的角
12.（2020沈阳模拟）如图，在四边形-43CP中，•八」小—'，以五□为折痕把
亠3折起，使点A到达点P的位置，且-九.
（1）证明:
C平面去；
（2）若M为只g的中点，二面角P-BC-D等于60°求直线尸U与平面所成角的正弦值
"T
13.（2020龙岩模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄平面ABCD,在四边形ABCD中，/ABC=,AB=4,
BC=3,CD=p,AD=2,PA=4.
（1）证明：
CD丄平面PAD；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值
14.（2020德州模拟）如图，已知平面—平面A3C，直线亠匕_平面一壬，且
DA=亠IS=AC.
（1）求证：
―丄」平面七d-
（2）若丄耳扎二主，「'二一平面立三，求二面角上工卜二的余弦值.
15.（2020淄博模拟）在四棱柱一口匸口5£'中，已知底面一打匸口为等腰梯形，二ID
f"二f二匸出二：
，M,N分别是棱，的中点
（1）证明：
直线平面；
（2）若一[•一—平面一—，且门一「—頁，求经过点A,M，N的平面一二亠「与平面般決坷所成
二面角的正弦值•
16.（2020泰安模拟）在四棱锥P-一日；中，一二朗为等边三角形，四边形一iBCD为矩形，三为的中点，再匸一宀.
DC
（1）证明：
平面s—平面乂处.
（2）设二面角A-FC：
-E的大小为，求的取值范围
17.（2020平邑模拟）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.
7Ujt
①AB丄BC,②FC与平面ABCD所成的角为，③/ABC=.
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA丄平面ABCD,且PA=AB=2,,PD的中点为F.
（1）在线段AB上是否存在一点G,使得AF平面PCG?
若存在，指出G在AB上的位置并给以证明；若
不存在，请说明理由；
（2）若,求二面角F-AC-D的余弦值.
18.（2020江西模拟）如图：
在三棱锥尹-仝。
中，平面二工—平面ABC,生工二:
：
厂：
一丄匸=/■〔：
：
，且三「二二，二上F二匚：
（1）若点D为BP上的一动点，求证：
丫
（2）若CT=，求二面角一二一三三一匚的平面角的余弦值.
答案解析部分
、解答题
:
「一「f•，左「—二’6,「仁一-V-.'且7=
所以，四边形m三匸为平行四边形，则一二FDO且一F二匸必
同理可证四边形■；'为平行四边形，匸一且匚-。
匚
二匸兰.4且丁-I.'，则四边形一匕匚匸为平行四边形，
因此，点在平面内
（2）解：
以点为坐标原点，匸上：
'■、「3、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间
直角坐标系，
则、丨11
点—朮―-工用-―一匕，.丄一「1-，，
设平面的法向量为-I■'1
由，得取，得：
：
—、—」，则门11
w-AF-0LJ-J=Q
设平面的法向量为-「.：
J
=0,
，得
7；•时=0
一”十Zz》=0
-2；十"取^，得妒宀严，则心屮）,
COS<^7T>=^=-^=
MpI呼莎
设二面角一」的平面角为，则
2区
coso|=^j~
^42
I^42
■:
sin9=^1—cos^=~y—
因此，二面角J2'?
'；的正弦值为
【解析】【分析】
（1）连接「■=、，证明出四边形
面内；
（2）以点为坐标原点，、、
一匸厂一厂为平行四边形，进而可证得点在平
所在直线分别为X、y、z轴建立空间直角
坐标系小一“二，利用空间向量法可计算出二面角--的余弦值，进而可求得二面角
一亠丄--一的正弦值•
2.
分别为，的中点,
【答案】
（1）解:
又「BB-
/.MNHAA、
在中，M为卫二中点，贝U乂_丄匸
又侧面为矩形,
二眈丄阳
MN±BC
由一匸「工，WS平面
儿—平面
又史;：
且廿门点平面*「，”：
_平面汇
二平面ABU
又■■^1CLC平面ESQF，且平面E场Wn平面ABC=EF
5G"ef
.\EFHBC
又--：
.<:
/JL平面./r--r.-
-d平面
.f-平面匕
平面□-亠_平面...i一一
（2）解：
连接
fi
川平面上』平面.j^Vf-平面匸；一w
■AO//NP
根据三棱柱上下底面平行，
其面.丄―平面---_，面--1一平面.——'
..ON/L4^
故：
四边形「匚匚一：
是平行四边形
设二.必丁边长是壬；'.'（）
可得:
匸匸二壬「二亠门二.二弓二dr
为.丄—一_的中心，且拦*匀匚边长为
■■OjV=Jx6xS11160D=石胡
故:
丁_；-屮小
\'EFiSC
解得：
F'='■在耳「截取E匸一匚「一［，故:
宀朋
且
四边形茲字逗是平行四边形，
.\BYEf/PO
由
（1）平面
故丄尹鷲为与平面所成角
在站，口卞，根据勾股定理可得：
选-■■--泅「-中m
直线卫£与平面所成角的正弦值：
竺.
L0
【解析】【分析】
（1）由分别为丸，的中点，」丄根据条件可得二去器
可证」二-J-1，要证平面丄二丄「_平面一」_一丄亠一"，只需证明hh平面一_一一_「即可；
（2）连接「•「？
，先求证四边形m6是平行四边形，根据几何关系求得三f,在截取匚，由
（1）爭丁」平面，可得上？
u为与平面一一匕二所成角，即可求得答案•
3.【答案】
（1）解：
由题设，知-龍丄为等边三角形，设；J=:
f"二万「二］.：
F二］，所以
又为等边三角形，则-'^:
所以讥：
企
卜厂—Ft二［二.启一，则—心，所以二_心
同理」」_」：
_，又「一丄-匚，所以平面；
（2）解：
过0作//BC交AB于点N,因为*1—平面A3C，以0为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设平面n的一个法向量为：
e
（7lPC=0
PS=O
设平面m的一个法向量为
，得
所以-U...f,曇
设二面角
【解析】【分析】
（1）要证明…；一平面罟匸，只需证明.J即可；
（2）以0
为坐标原点，0A为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面匸厂5'的法向量为
，平面H的法向量为，利用公式8—-计计算即可得到答案•
4.【答案】
（1）解：
在正方形一山匚门中，空匚
因为.1D（l平面53C,_平面丄巳，
所以平面，
又因为V平面U,平面厂」工厂平面T.\-、
所以，
因为在四棱锥匚-一£丁厂中，底面二mo是正方形，所以£；:
亠心＜，J亠施
且r.o-平面所以〔；'.in…n_
因为:
m二二
所以平面7M"
（2）解：
如图建立空间直角坐标系，
■*'
AAE
因为5!
>=.<.'=:
则有.?
'>:
:
nC0L0}u」尸;0；〕X2?
11C'l
设狙应0.二则有，
设平面的法向量为二：
：
则，即
Iw-J?
=o
[y=o加王+三=o'
令〔二］,则二二—；，所以平面的一个法向量为弄一匚智；，则
点・向2十1
根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于
_|l+»j币
聽十“13
L.2jh
，当且仅当二［时取等号,
3
2胡&I——
齐［曲的=
所以直线尸弓与平面护口所成角的正弦值的最大值为篡.
【解析】【分析】
（1）利用线面垂直的判定定理证得J平面FDC，利用线面平行的判定定理以及
性质定理，证得，从而得到平面FD：
：
;
（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到
相应点的坐标，设出点黒我0.P，之后求得平面的法向量以及向量刁的坐标，求得
-.T=的最大值，即为直线门汁与平面所成角的正弦值的最大值•
5.【答案】解：
依题意，以为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建
立空间直角坐标系（如图），
可得口：
ac，丄上住也、罰上上屮、丨小鮎
、丄匸丿1-、一1“
（I）依题意，，一1一门_一：
，；一_--
从而一上匸一一一-.-.，所以
（n）依题意U1：
;：
）是平面二三L的一个法向量,
设ITI.为平面-匚；丄的法向量,
仿•丽=0
则，即
K・ED-0
2尸0
2v-2=0，
不妨设'.=1,可得-|I':
鬲订2逅
cos=.j,.一—*
侗「2曲_&，
_i——J30
""A=^l-cos^=J~^~
所以，二面角-匸■的正弦值为丄;
6
■■sin
（川）依题意，号—[-、'…二
由（n）知「—门为平面门二厂的一个法向量，于是
-朋.盲一一返
屈卜同2电越3
所以，直线与平面二刁匚所成角的正弦值为^
3
【解析】【分析】以为原点，分别以.；_!
（,2；L（/的方向为X轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角
坐标系•（I）计算出向量和用其的坐标，得出「左耳左仝，即可证明出丄AD；（n）
可知平面魚三的一个法向量为，计算出平面字E0的一个法向量为，利用空间向量法计算出
二面角E；E二J的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；（川）利用空间向量法可求
得直线.二5与平面-匕「所成角的正弦值•
6.【答案】
（1）解：
连O■'BCCD.BOCDCO丄洗＞
以OB.oc.c为轴建立空间直角坐标系，则
40,Q,2i凤L0,010（0,2血烦一L1）
/.J5=（l0.=l）-，-cos<=L厂三
倒3
从而直线与二匕所成角的余弦值为
15
（2）解：
设平面DEC一个法向量为：
二：
kJ】：
|7rrZ）c=oyjr2y=o
令「二1；二一H:
—”
设平面DE三一个法向量为
住亦=0”屮分严庵・s®=0卜1+儿+可=0
令—一['.「—].二―、■.心—U.-.'.门
一G1
【解析】【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；
（2）先求两
个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果
7.
【答案】解：
（I）如下图所示：
1
在正方体中，」1一二.且亠二_*」二一，•丄.二.-亠［且一一匚'一—-丄［
1_丄1且-丄Jf-宀\,所以，四边形亠二-L'_为平行四边形，^U；匚一-G_
m平面上"土，.必：
匚平面丄化,平面；
（n）以点A为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标
系_
设正方体血⑺的棱长为2,则川mi、□二「；_：
、,
両=（2Q2）近=（QN1）
设平面一一匚的法向量为
带血1=0/曰（2x+2z=0
，得
贝
2,
-
-
令
>
一S
■3
<
s
J
因此，直线与平面所成角的正弦值为主.
【解析】【分析】（I）证明出四边形为平行四边形，可得出二-.-亠：
，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（n）以点为坐标原点，.二所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出直线与平面芯：
占所成角的正弦值•
8.【答案】解：
（I）证明：
作DH丄AC,且交AC于点H,
•/面ADFC丄面ABC,DH?
面ADFC/•DH丄BC,
•••在RtADHC中,
CH=CD?
cos45=°
CD
•/DC=2BC,
J2
CH=CD=?
2BC=
~T~T
?
BC,
BC
=
，即△BHC是直角三角形，且/HBC=90°
•HB丄BC,•BC丄面DHB,•/BD?
面DHB,•BC丄BD,
•••在三棱台DEF-ABC中,EF//BC,•EF±DB.
D
A
（n）设BC=1，贝VBH=1,HC=
在RtADHC中，DH=
在RtADHB中，DB=「于厂丁=Q_〔=,
作HG丄BD于G,•/BC丄HG,/•HG丄面BCD,•/GC?
面BCD,
•••HG丄GC,•••△HGC是直角三角形，且/HGC=90°设DF与面DBC所成角为0,贝UB即为CH与面DBC的夹角,
且sin=sin/HCG=
•/在RtADHB中,DH?
HB=BD?
HG,
DHHB
BD
HG£
==
【分析】（I）题根据已知条件，作DH丄AC,根据面面垂直，可得DH丄BC,进一步根据直角三角形的知识可判断出△BHC是直角三角形，且/HBC=90°贝UHB丄BC,从而可证出BC丄面DHB,最后根据棱台的定义有EF//BC,根据平行线的性质可得EF丄DB;（H）题先可设BC=1,根据解直角三角形可
•sin=
【解析】
得BH=1,HC=,DH=,DC=2,DB=
，然后找到CH与面DBC的夹角即为/HCG,根据棱
台的特点可知DF与面DBC所成角与CH与面DBC的夹角相等，通过计算/HCG的正弦值，即可得到DF与面DBC所成角的正弦值.
9.【答案】
（1）解：
连接CE,以L&江丄」分别为轴，
建立如图空间直角坐标系，
则—厂）mm厂（&-F耳a-a门「讣
因为F为线段AB上一动点，且
则.V二;.=|—1i‘宀二—所以[—嗔您抽.*
设平面土「二的一个法向量为=
（尽必£）・（1®诉）=0「厂、，化简得
M男»（1肃,0）二0
：
_二与平面C所成角为，
呼“取“U
sniff=|co^CF,刃）|=
2顶1-划
*1-才+貝嗣症
解得，二三或.一一（舍去），所以二-
【解析】【分析】
（1）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线
线角与向量夹角相等或互补得结果，
（2）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求平面.dCT）
的一个法向量，再根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余列等量关系，解得结果•
10.【答案】
（1）解：
在图1中，BC=2AB,且E为AB的中点，
…一壬止…—正兴—二；,同理所以「丄厶‘汕二丄一二又平面mi平面bce平面、亦厂-平面艾二益
所以平面ABE,又m.平面A,所以平面，「冗旷.平面DCE.
（2）解：
如图，以点E为坐标原点，EB,EC所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，设
则血诃m近q或a。
电®/
向量^.1-
，设平面ADE的法向量为-<.VV.二
由卩亘"得
bi£2>=0
A+-=0人
^+z=0，^=1，
得平面ADE的一个法向量为—i|11
设直线FA与平面ADE所成角为，
所以直线FA与平面ADE所成角的正弦值为.
3
【解析】【分析】
（1）证明匚三_平面ABE,平面二匚_平面DCE即得证；
（2）以点E为坐标原点，
EB,EC所在的直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，设•£=1，利用向量法求直线FA与平面ADE
所成角的正弦值得解•
11.【答案】
（1）解：
因为M,N分别是，•:
匚、的中点,
所以:
jv.-ro.
又J/?
.ri平面歹「匚｝且平面匸,，
所以平面丸二
（2）解：
因为|平面3CD,匚口匚平面乂二,
所以
又:
二」匚且、弓匚=5,
所以FUL平面-仝］.
又厂W.平面翠二
所以平面比二'—平面二E：
〔.
（3）解：
因为.；；■..■.I平面3（：
-~）,所以为直线与平面mu所成的角•
在直角一口匚中，衣沖I,汙厂—下，
所以^
tailNACB=
所以•」』—「：
•
故直线与平面3CD所成的角为^
【解析】【分析】（i）根据中位线定理，可得丸;讨即可由线面平行判定定理证明平面五匸口;
（2）根据题意可得.」用一厂口,而又因为「.□.一敲，所以平面二沉,即可由平面与平面垂直的
判定定理证明平面』-D_平面C；（3）由题意可知为直线与平面欣；所成的角根
据线段关系求得，即可求得直线与平面吕匸二,所成的角大小•
12.【答案】
（1）解：
因为〔亠厂匚厂〔…、CD匚
所以亍1-平面FU
又因为「.gf平面FCD，所以3C-5-E'.
又因为D^BD.5D^BCB
所以己9-平面二
（2）解：
因为匸亠更CU亠机
所以是二面角?
-3C-二的平面角，即一门一）-L：
一；
在中，口门—「DEW：
-卜「门
取EC的中点，连接，因为SCCD亠5,
所以二__山,由
（1）知，平面E匸口,为的中位线，
所以0□亠EDM亠0C，即口①两两垂直，
以为原点建立如图所示的坐标系心—严：
设：
一7己二1,贝U
也I应ClQOXAO,101df60,
^-frp=C-U>/6ic5=（-
-譚
，设平面
则由
品令:
二电，得亓二（仮低旧）,
-.v+二0,
所以cos
所以直线与平面所成角的正弦值为E
（2）由题意知,
【解析】【分析】
（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明;
取的中点o,连接G：
U：
GC，易知ommy两两垂直，以o为原点建立如图所示的坐标系
DT二设C£二1，平面「「二啲一个法向量为求出向量，则向量:
*亍所成
角的余弦值的绝对值即为所求•
13.【答案】
（1）解：
连接，由/ABC=,AB=4,BC=3,
又因为CD=,AD=2,
所以.严-、:
寿亠匚*,即」—一J因为PA丄平面ABCD,CD匚平面ABCD,所以1—10
因为卩厂”皿-」，所以CD丄平面PAD;
（2）解：
以点D为坐标原点，的延长线为X,匸疋为y轴,
作50_匹交与点G,
siu匕DAB=sm（ZDAC+2BAC）
=sin^-DACco^ZBAC+cos匕TlJCsinZBAC
所以―芈
所以P—丫；〔＞4,需二2©,，
则筋=（_2百,0,4），忌=（2氏低一4）,SC=H^E,--y-,0
设平面FD{:
:
的一个法向量为-I-■-1
珂・场=0
l?
c^=o，即
设平面U的一个法向量为；一\、一…〉
，即
*）=碍=出
1+
+4+5
所以二面角B-PC-D的余弦值为
7^10
~10~
UP,再利用
【解析】【分析】
（1）连接，证出,禾U用线面垂直的性质定理可得
线面垂直的判定定理即可证出.
（2）以点D为坐标原点，.九；＞的延长线为x，匚？
C为y轴，过点D与平行线为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面一二
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