中考数学几何最值问题解法探讨专题复习题.docx
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中考数学几何最值问题解法探讨专题复习题
2013中考数学几何最值问题解法探讨专题复习题
【2013年中考攻略】专题8:
几何最值问题解法探讨
在平面几何的动态问题中,当某几何元素在给定条件变动时,求某几何量(如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差)的最大值或最小值问题,称为最值问题。
解决平面几何最值问题的常用的方法有:
(1)应用两点间线段最短的公理(含应用三角形的三边关系)求最值;
(2)应用垂线段最短的性质求最值;(3)应用轴对称的性质求最值;(4)应用二次函数求最值;(5)应用其它知识求最值。
下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。
一、应用两点间线段最短的公理(含应用三角形的三边关系)求最值:
典型例题:
例1.(2012山东济南3分)如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上,当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,点D到点O的最大距离为【】
A.B.C.5D.
【答案】A。
【考点】矩形的性质,直角三角形斜边上的中线性质,三角形三边关系,勾股定理。
【分析】如图,取AB的中点E,连接OE、DE、OD,
∵OD≤OE+DE,
∴当O、D、E三点共线时,点D到点O的距离最大,
此时,∵AB=2,BC=1,∴OE=AE=AB=1。
DE=,
∴OD的最大值为:
。
故选A。
例2.(2012湖北鄂州3分)在锐角三角形ABC中,BC=,∠ABC=45°,BD平分∠ABC,M、N分别是BD、BC上的动点,则CM+MN的最小值是▲。
【答案】4。
新-课-标-第-一-网
【考点】最短路线问题,全等三角形的判定和性质,三角形三边关系,垂直线段的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】如图,在BA上截取BE=BN,连接EM。
∵∠ABC的平分线交AC于点D,∴∠EBM=∠NBM。
在△AME与△AMN中,∵BE=BN,∠EBM=∠NBM,BM=BM,
∴△BME≌△BMN(SAS)。
∴ME=MN。
∴CM+MN=CM+ME≥CE。
又∵CM+MN有最小值,∴当CE是点C到直线AB的距离时,CE取最小值。
∵BC=,∠ABC=45°,∴CE的最小值为sin450=4。
∴CM+MN的最小值是4。
例3.(2011四川凉山5分)如图,圆柱底面半径为,高为,点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点,且A、B在同一母线上,用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B,求棉线最短为▲。
【答案】。
【考点】圆柱的展开,勾股定理,平行四边形的性质。
【分析】如图,圆柱展开后可见,棉线最短是三条斜线,第一条斜线与底面圆周长、高组成直角三角形。
由周长公式,底面圆周长为,高为,根据勾股定理,得斜线长为,根据平行四边形的性质,棉线最短为。
例4.(2012四川眉山3分)在△ABC中,AB=5,AC=3,AD是BC边上的中线,则AD的取值范围是
▲.
【答案】1<AD<4。
【考点】全等三角形的判定和性质,三角形三边关系。
【分析】延长AD至E,使DE=AD,连接CE.根据SAS证明△ABD≌△ECD,得CE=AB,再根据三角形的三边关系即可求解:
延长AD至E,使DE=AD,连接CE。
∵BD=CD,∠ADB=∠EDC,AD=DE,∴△ABD≌△ECD(SAS)。
∴CE=AB。
在△ACE中,CE-AC<AE<CE+AC,即2<2AD<8。
∴1<AD<4。
练习题:
1.(2011湖北荆门3分)如图,长方体的底面边长分别为2和4,高为5.若一只蚂蚁从P点开
始经过4个侧面爬行一圈到达Q点,则蚂蚁爬行的最短路径长为【】
A.13
2.(2011四川广安3分)如图,圆柱的底面周长为6cm,AC是底面圆的直径,高BC=6cm,点P是母线BC上一点,且PC=BC.一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是【】
A、㎝B、5cmC、㎝D、7cm
3.(2011广西贵港2分)如图所示,在边长为2的正三角形ABC中,E、F、G分别为AB、AC、BC的中点,点P为线段EF上一个动点,连接BP、GP,则△BPG的周长的最小值是_▲.
二、应用垂线段最短的性质求最值:
典型例题:
例1.(2012山东莱芜4分)在△ABC中,AB=AC=5,BC=6.若点P在边AC上移动,则BP的最小值是▲.
【答案】。
【考点】动点问题,垂直线段的性质,勾股定理。
【分析】如图,根据垂直线段最短的性质,当BP′⊥AC时,BP取得最小值。
设AP′=x,则由AB=AC=5得CP′=5-x,
又∵BC=6,∴在Rt△ABP′和Rt△CBP′中应用勾股定理,得
。
∴,即,解得。
∴,即BP的最小值是。
例2.(2012浙江台州4分)如图,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为【】
A.1B.C.2D.+1
【答案】B。
【考点】菱形的性质,线段中垂线的性质,三角形三边关系,垂直线段的性质,矩形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】分两步分析:
(1)若点P,Q固定,此时点K的位置:
如图,作点P关于BD的对称点P1,连接P1Q,交BD于点K1。
由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质,得
P1K1=PK1,P1K=PK。
由三角形两边之和大于第三边的性质,得P1K+QK>P1Q=P1K1+QK1=PK1+QK1。
∴此时的K1就是使PK+QK最小的位置。
(2)点P,Q变动,根据菱形的性质,点P关于BD的对称点P1在AB上,即不论点P在BC上任一点,点P1总在AB上。
因此,根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质,得,当P1Q⊥AB时P1Q最短。
过点A作AQ1⊥DC于点Q1。
∵∠A=120°,∴∠DAQ1=30°。
又∵AD=AB=2,∴P1Q=AQ1=ADcos300=。
综上所述,PK+QK的最小值为。
故选B。
例3.(2012江苏连云港12分)已知梯形ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,AD=1,AB=2,BC=3,
问题1:
如图1,P为AB边上的一点,以PD,PC为边作平行四边形PCQD,请问对角线PQ,DC的长能否相等,为什么?
问题2:
如图2,若P为AB边上一点,以PD,PC为边作平行四边形PCQD,请问对角线PQ的长是否存在最小值?
如果存在,请求出最小值,如果不存在,请说明理由.
问题3:
若P为AB边上任意一点,延长PD到E,使DE=PD,再以PE,PC为边作平行四边形PCQE,请探究对角线PQ的长是否也存在最小值?
如果存在,请求出最小值,如果不存在,请说明理由.
问题4:
如图3,若P为DC边上任意一点,延长PA到E,使AE=nPA(n为常数),以PE、PB为边作平行四边形PBQE,请探究对角线PQ的长是否也存在最小值?
如果存在,请求出最小值,如果不存在,请说明理由.
【答案】解:
问题1:
对角线PQ与DC不可能相等。
理由如下:
∵四边形PCQD是平行四边形,若对角线PQ、DC相等,则四边形PCQD是矩形,
∴∠DPC=90°。
∵AD=1,AB=2,BC=3,∴DC=2。
设PB=x,则AP=2-x,
在Rt△DPC中,PD2+PC2=DC2,即x2+32+(2-x)2+12=8,化简得x2-2x+3=0,
∵△=(-2)2-4×1×3=-8<0,∴方程无解。
∴不存在PB=x,使∠DPC=90°。
∴对角线PQ与DC不可能相等。
问题2:
存在。
理由如下:
如图2,在平行四边形PCQD中,设对角线PQ与DC相交于点G,
则G是DC的中点。
过点Q作QH⊥BC,交BC的延长线于H。
∵AD∥BC,∴∠ADC=∠DCH,即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH。
∵PD∥CQ,∴∠PDC=∠DCQ。
∴∠ADP=∠QCH。
又∵PD=CQ,∴Rt△ADP≌Rt△HCQ(AAS)。
∴AD=HC。
∵AD=1,BC=3,∴BH=4,
∴当PQ⊥AB时,PQ的长最小,即为4。
问题3:
存在。
理由如下:
如图3,设PQ与DC相交于点G,
∵PE∥CQ,PD=DE,∴。
∴G是DC上一定点。
作QH⊥BC,交BC的延长线于H,
同理可证∠ADP=∠QCH,∴Rt△ADP∽Rt△HCQ。
∴。
∵AD=1,∴CH=2。
∴BH=BG+CH=3+2=5。
∴当PQ⊥AB时,PQ的长最小,即为5。
问题4:
如图3,设PQ与AB相交于点G,
∵PE∥BQ,AE=nPA,∴。
∴G是DC上一定点。
作QH∥PE,交CB的延长线于H,过点C作CK⊥CD,交QH的延长线于K。
∵AD∥BC,AB⊥BC,
∴∠D=∠QHC,∠DAP+∠PAG=∠QBH+∠QBG=90°
∠PAG=∠QBG,
∴∠QBH=∠PAD。
∴△ADP∽△BHQ,∴,
∵AD=1,∴BH=n+1。
∴CH=BH+BC=3+n+1=n+4。
过点D作DM⊥BC于M,则四边形ABND是矩形。
∴BM=AD=1,DM=AB=2。
∴CM=BC-BM=3-1=2=DM。
∴∠DCM=45°。
∴∠KCH=45°。
∴CK=CHcos45°=(n+4),
∴当PQ⊥CD时,PQ的长最小,最小值为(n+4)。
【考点】反证法,相似三角形的判定和性质,一元二次方程根的判别式,全等三角形的判定和性质,勾股定理,平行四边形、矩形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质。
【分析】问题1:
四边形PCQD是平行四边形,若对角线PQ、DC相等,则四边形PCQD是矩形,然后利用矩形的性质,设PB=x,可得方程x2+32+(2-x)2+1=8,由判别式△<0,可知此方程无实数根,即对角线PQ,DC的长不可能相等。
问题2:
在平行四边形PCQD中,设对角线PQ与DC相交于点G,可得G是DC的中点,过点Q作QH⊥BC,交BC的延长线于H,易证得Rt△ADP≌Rt△HCQ,即可求得BH=4,则可得当PQ⊥AB时,PQ的长最小,即为4。
问题3:
设PQ与DC相交于点G,PE∥CQ,PD=DE,可得,易证得Rt△ADP∽Rt△HCQ,继而求得BH的长,即可求得答案。
问题4:
作QH∥PE,交CB的延长线于H,过点C作CK⊥CD,交QH的延长线于K,易证得与△ADP∽△BHQ,又由∠DCB=45°,可得△CKH是等腰直角三角形,继而可求得CK的值,即可求得答案。
例4.(2012四川广元3分)如图,点A的坐标为(-1,0),点B在直线上运动,当线段AB最短
时,点B的坐标为【】
A.(0,0)B.(,)C.(,)D.(,)
例5.(2012四川乐山3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,D是AB的中点,点E、F分别在AC、BC边上运动(点E不与点A、C重合),且保持AE=CF,连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中,有下列结论:
①△DFE是等腰直角三角形;
②四边形CEDF不可能为正方形;
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化;
④点C到线段EF的最大距离为.
其中正确结论的个数是【】
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】B。
【考点】全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形,三角形中位线定理,勾股定理。
【分析】①连接CD(如图1)。
∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠DCB=∠A=45°,CD=AD=DB。
∵AE=CF,∴△ADE≌△CDF(SAS)。
∴ED=DF,∠CDF=∠EDA。
∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°。
∴△DFE是等腰直角三角形。
故此结论正确。
②当E、F分别为AC、BC中点时,∵由三角形中位线定理,DE平行且等于BC。
∴四边形CEDF是平行四边形。
又∵E、F分别为AC、BC中点,AC=BC,∴四边形CEDF是菱形。
又∵∠C=90°,∴四边形CEDF是正方形。
故此结论错误。
③如图2,分别过点D,作DM⊥AC,DN⊥BC,于点M,N,
由②,知四边形CMDN是正方形,∴DM=DN。
由①,知△DFE是等腰直角三角形,∴DE=DF。
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)。
∴由割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积。
∴四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化。
故此结论错误。
④由①,△DEF是等腰直角三角形,∴DE=EF。
当DF与BC垂直,即DF最小时,EF取最小值2。
此时点C到线段EF的最大距离为。
故此结论正确。
故正确的有2个:
①④。
故选B。
例6.(2012四川成都4分)如图,长方形纸片ABCD中,AB=8cm,AD=6cm,按下列步骤进行裁剪和拼图:
第一步:
如图①,在线段AD上任意取一点E,沿EB,EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用);
第二步:
如图②,沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分,并在线段GH上任意取一点M,线段BC上任意取一点N,沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分;
第三步:
如图③,将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°,使线段GB与GE重合,将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°,使线段HC与HE重合,拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片.
(注:
裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)
则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为▲cm,最大值为▲cm.
【答案】20;12+。
【考点】图形的剪拼,矩形的性质,旋转的性质,三角形中位线定理。
【分析】画出第三步剪拼之后的四边形M1N1N2M2的示意图,如答图1所示。
图中,N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC,
M1M2=M1G+GM+MH+M2H=2(GM+MH)=2GH=BC(三角形中位线定理)。
又∵M1M2∥N1N2,∴四边形M1N1N2M2是一个平行四边形,
其周长为2N1N2+2M1N1=2BC+2MN。
∵BC=6为定值,∴四边形的周长取决于MN的大小。
如答图2所示,是剪拼之前的完整示意图。
过G、H点作BC边的平行线,分别交AB、CD于P点、Q点,则四边形PBCQ是一个矩形,这个矩形是矩形ABCD的一半。
∵M是线段PQ上的任意一点,N是线段BC上的任意一点,
∴根据垂线段最短,得到MN的最小值为PQ与BC平行线之间的距离,即MN最小值为4;
而MN的最大值等于矩形对角线的长度,即。
∵四边形M1N1N2M2的周长=2BC+2MN=12+2MN,
∴四边形M1N1N2M2周长的最小值为12+2×4=20;最大值为12+2×=12+。
例7.(2012四川乐山3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,D是AB的中点,点E、F分别在AC、BC边上运动(点E不与点A、C重合),且保持AE=CF,连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中,有下列结论:
①△DFE是等腰直角三角形;
②四边形CEDF不可能为正方形;
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化;
④点C到线段EF的最大距离为.
其中正确结论的个数是【】
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】B。
【考点】全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形,三角形中位线定理,勾股定理。
【分析】①连接CD(如图1)。
∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠DCB=∠A=45°,CD=AD=DB。
∵AE=CF,∴△ADE≌△CDF(SAS)。
∴ED=DF,∠CDF=∠EDA。
∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°。
∴△DFE是等腰直角三角形。
故此结论正确。
②当E、F分别为AC、BC中点时,∵由三角形中位线定理,DE平行且等于BC。
∴四边形CEDF是平行四边形。
又∵E、F分别为AC、BC中点,AC=BC,∴四边形CEDF是菱形。
又∵∠C=90°,∴四边形CEDF是正方形。
故此结论错误。
③如图2,分别过点D,作DM⊥AC,DN⊥BC,于点M,N,
由②,知四边形CMDN是正方形,∴DM=DN。
由①,知△DFE是等腰直角三角形,∴DE=DF。
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)。
∴由割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积。
∴四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化。
故此结论错误。
④由①,△DEF是等腰直角三角形,∴DE=EF。
当DF与BC垂直,即DF最小时,EF取最小值2。
此时点C到线段EF的最大距离为。
故此结论正确。
故正确的有2个:
①④。
故选B。
例8.(2012浙江宁波3分)如图,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=2,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值为▲.
【答案】。
【考点】垂线段的性质,垂径定理,圆周角定理,解直角三角形,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】由垂线段的性质可知,当AD为△ABC的边BC上的高时,直径AD最短,此时线段EF=2EH=20Esin∠EOH=20Esin60°,当半径OE最短时,EF最短。
如图,连接OE,OF,过O点作OH⊥EF,垂足为H。
∵在Rt△ADB中,∠ABC=45°,AB=2,
∴AD=BD=2,即此时圆的直径为2。
由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°,
∴在Rt△EOH中,EH=OEsin∠EOH=1×。
由垂径定理可知EF=2EH=。
例9.(2012四川自贡12分)如图所示,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,△AEF为正三角形,点E、F分别在菱形的边BC.CD上滑动,且E、F不与B.C.D重合.
(1)证明不论E、F在BC.CD上如何滑动,总有BE=CF;
(2)当点E、F在BC.CD上滑动时,分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化?
如果不变,求出这个定值;如果变化,求出最大(或最小)值.
【答案】解:
(1)证明:
如图,连接AC
∵四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,
∠BAE+∠EAC=60°,∠FAC+∠EAC=60°,
∴∠BAE=∠FAC。
∵∠BAD=120°,∴∠ABF=60°。
∴△ABC和△ACD为等边三角形。
∴∠ACF=60°,AC=AB。
∴∠ABE=∠AFC。
∴在△ABE和△ACF中,∵∠BAE=∠FAC,AB=AC,∠ABE=∠AFC,
∴△ABE≌△ACF(ASA)。
∴BE=CF。
(2)四边形AECF的面积不变,△CEF的面积发生变化。
理由如下:
由
(1)得△ABE≌△ACF,则S△ABE=S△ACF。
∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC,是定值。
作AH⊥BC于H点,则BH=2,
。
由“垂线段最短”可知:
当正三角形AEF的边AE与BC垂直时,边AE最短.
故△AEF的面积会随着AE的变化而变化,且当AE最短时,正三角形AEF的面积会最小,
又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF,则此时△CEF的面积就会最大.
∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF。
∴△CEF的面积的最大值是。
【考点】菱形的性质,等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,垂直线段的性质。
【分析】
(1)先求证AB=AC,进而求证△ABC、△ACD为等边三角形,得∠ACF=60°,AC=AB,从而求证△ABE≌△ACF,即可求得BE=CF。
(2)由△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF,故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可得四边形AECF的面积是定值。
当正三角形AEF的边AE与BC垂直时,边AE最短.△AEF的面积会随着AE的变化而变化,且当AE最短时,正三角形AEF的面积会最小,根据S△CEF=S四边形AECF-S△AEF,则△CEF的面积就会最大。
例10.(2012浙江义乌10分)在锐角△ABC中,AB=4,BC=5,∠ACB=45°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1.
(1)如图1,当点C1在线段CA的延长线上时,求∠CC1A1的度数;
(2)如图2,连接AA1,CC1.若△ABA1的面积为4,求△CBC1的面积;
(3)如图3,点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中,点P的对应点是点P1,求线段EP1长度的最大值与最小值.
【答案】解:
(1)∵由旋转的性质可得:
∠A1C1B=∠ACB=45°,BC=BC1,
∴∠CC1B=∠C1CB=45°。
∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°。
(2)∵由旋转的性质可得:
△ABC≌△A1BC1,
∴BA=BA1,BC=BC1,∠ABC=∠A1BC1。
∴,∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1。
∴∠ABA1=∠CBC1。
∴△ABA1∽△CBC1。
∴。
∵S△ABA1=4,∴S△CBC1=。
(3)过点B作BD⊥AC,D为垂足,
∵△ABC为锐角三角形,∴点D在线段AC上。
在Rt△BCD中,BD=BC×sin45°=。
①如图1,当P在AC上运动至垂足点D,△ABC绕点B旋转,使点P的对应点P1在线段AB上时,EP1最小。
最小值为:
EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=﹣2。
②如图2,当P在AC上运动至点C,△ABC绕点B旋转,使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时,EP1最大。
最大值为:
EP1=BC+BE=5+2=7。
【考点】旋转的性质,等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质。
【分析】
(1)由旋转的性质可得:
∠A1C1B=∠ACB=45°,BC=BC1,又由等腰三角形的性质,即可求得∠CC1A1的度数。
(2)由旋转的性质可得:
△ABC≌△A1BC1,易证得△ABA1∽△CBC1,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得△CBC1的面积。
(3)由①当P在AC上运动至垂足点D,△ABC绕点B旋转,使点P的对应点P1在线段AB上时,EP1最小;②当P在AC上运动至点C,△ABC绕点B旋转,使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时,EP1最大,即可求得线段EP1长度的最大值与最小值。
例11.(2012福建南平14分)如图,在△ABC中,点D、E分别在边BC、AC上,连接AD、DE,且∠1=∠B=∠C.
(1)由题设条件,请写出三个正确结论:
(要求不再添加其他字母和辅助线,找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中,不必证明)
答:
结论一:
;结论二:
;结论三:
.
(2)若∠B=45°,BC=2,当点D在BC上运动时(点D不与B、C重合),
①求CE的最大值;
②若△ADE是等腰三角形,求此时BD的长.
(注意:
在第
(2)的求解过程中,若有运用
(1)中得出的结论,须加以证明)
【答案】解:
(1)AB=AC;∠AED=∠ADC;△ADE∽△ACD。
(2)①∵∠B=∠C,∠B=45°,∴△ACB为等腰直角三角形。
∴。
∵∠1=∠C,∠DAE=∠CAD,∴△ADE∽△ACD。
∴AD:
AC=AE:
AD,∴。
当AD最小时,AE最小,此时AD⊥BC,AD=BC=1。
∴AE的最小值为。
∴CE的最大值=。
②当AD=AE时,∴∠1=∠AED=45°,∴∠DAE=90°。
∴点D与B重合,不合题意舍去。
当EA=ED时,如图1,∴∠EAD=∠1=45°。
∴AD平分∠BAC,∴AD垂直平分BC。
∴BD=1。
当DA=DE时,如图2,
∵△ADE∽△ACD,∴DA:
AC=DE:
DC。
∴DC