尸u一+v——+w——excyczj
-P
:
z
（7.2.1）
丑0
y
如果物面曲率较大，离心力引起法向压力变化较大上时，必须考虑法向压力梯度。
外边界的压力梯度仍
由无粘流理论确定，也可通过试验测定。
为了正确而有效地求解三维边界片方程，必须正确确定以下几个问题：
（1）
有时为了便于数值计算而选用非
根据具体流动情况选择合适的坐标系，使方程尽量简化，便于求解。
正交曲线坐标系。
（2）正确计算外边界流动条件。
为提高精确性，应考虑粘性流动与无粘流动间的相互作用和分离影响。
（3）正确确定计算域起始条件。
斜向绕流无限长柱体上的流动是边界片的另一典型例子。
如图7-4所示，这种流动相当于绕无限长等截面
的后掠翼流动，边界层内存在三个速度分量，但各速度分量都不随展向坐标z变化。
自由流速度分为两个分量
U和W。
如果物面曲率不大，边界层厚度是物面曲率半径的高阶小量时，边界层曲面坐标系的各拉梅系数都为1，则边界片方程为
.:
u
.x
.:
v
—=0
-:
y
2
cucuduecu
u——+v——=ue+v—亏
excydxdy
2
cwdwdw
u—+v—=v—2"
ckcycy
虫=0
■:
y
（7.2.2）
图7-3斜向绕流无限长柱体
1-分离线；2-自由流流线；3-表面极限流线
边界条件：
y=0:
u=v=w=0
杯\（7.2.3）
y-:
:
u=ue,w=we
显然，方程（7.2.2）中的连续方程和X向动量方程不包含w，相当于无后掠时外流速度为ue（x）的二维流动问
题，可单独求解。
u和v与展向自由流分速度W及边界片中的分速度w无关，这种性质称为“独立性原理”由二维方法确定u和v后，再由z向动量方程求w。
因此，z向动量方程是线性方程，形式上与忽略耗散项的能量方程相同，容易求解。
三维边界片也可用动量积分方程求解，由方程（722）可以导出X向和z向动量积分方程。
X向动量积分方
程的形式和解法与二维问题相同。
以We乘连续方程，再减z向动量积分方程，沿y积分得z向动量积分方程。
We为常数时，Z向动量积分方程为
其中
dxdxue；?
ueweyzy」
（7.2.4）
:
:
u
Ue
W
We
仿照X向动量积分方程解法，先假设某种单参数或双参数速度分布，然后积分求解。
7.2.2边界区（边界条）
机翼与机身的结合处、翼梢、细长旋成体的尾迹、管流和涡轮机翼片与轮毂的结合处的边界层都是较窄长的三维流动，有三个分速度。
与边界片不同的是z向和y向的流动长度尺度都为、：
，比流向x的长度尺度小得多。
根据量级分析，边界区的微分方程只能忽略粘性切应力对x的导数，对y和z的导数必须保留，故定常不可压
缩边界区的微分方程为
fu丄旬丄CU
U一+v一+w一
exdydzy
u空+v旦+w色dxdydzy
§w丄铀丄dw
u——+v——+w——exdy&丿
22上—
2...2
x:
y:
z
22
:
PI：
V.1:
-v
：
：
y:
y2；z2
aq2口2
pw.wczcy2
（7.2.5）
亠2
:
N
z向的切应力梯度，因此，解边界区方程更为
上式比边界片方程多了y向动量方程、y向和z向的压力梯度和
困难。
有时y向动量方程中各项的量级很小而被忽略，认为压力沿
对于功角较大的旋转成体边界层，攻角和旋转作用使流动参数的横向变化较大，边界片方程不能反映近壁
区的流动特性，必须采用反映横向变化的边界区方程，可压缩流的边界区方程为
y向不变。
urovrow=0
x:
y
旬丄cuwcuw2r0"u—十v—十—
\、*cyr^ro
（7.2.6）
2..—J—cos
r°:
ro:
y
:
w:
ww:
wr0
uvuw
:
x:
yroTro
S』cos
ro:
y
1cPc
=r
r0y
式中r。
为旋成体半径；ro'dro/（dx）；门为旋成体子午线当地切线与轴线夹角。
7.3边界层的基本概念
99%作为边界层的
严格说，边界层区域与主流区之间并无明显的分界面，通常以速度达到主流区速度的
外边界。
由边界层外边界到物面的垂直距离为边界层名义厚度，简称边界层厚度，用-表示。
:
与物体的特征长度比起来，一般是比较小的，其数量级可大致如下估计。
图（7-4）所示为平板的平面绕流，来流速度为V：
：
平板在z方向的宽度为无穷大，在x方向的长度为L。
单
位体积流体的惯性在稳定条件下为vW，数量级为：
?
V：
L;单位体积流体粘性力可用Q、2v来表示，其数
量级为.1笃。
在边界层内惯性力与粘性力的量级大致相同，则有
§2
、.2
由此可得
则
、.2
j±（Re
V/1）
J
（7.3.1）
图7-4平板上边面层厚度
从此可知在高雷诺数条件下，边界层远小于被绕流物体的特征长度。
这点与前面实测所给的结果是相符的。
我们还要看到，虽然边界层厚度：
表示了粘性影响的主要范围，但在解决实际问题时，经常会遇到困难，
往往由于速度的测量或计算的误差使：
的数值产生很大的差异，因此还要从其他方面定义一些边界层厚度的特
征量。
7.3.1边界层排挤厚度
参阅图7-5。
图7-5边界层排挤厚度示意图
单位时间通过边界层某一截面的流体若为理想流体，则其质量流量为
式中v一为边界层外边界主流的速度，
?
vdy
0
T一.为主流的密度。
由于粘性的影响，实际通过的流体质量流量为
nWy
上述两项之差就是因存在粘性而减少的流量的多少，定义一个厚度
、：
，使其与:
[V：
.的乘积等于因粘性存在,
边界层减少的流量，用公式表示即为
丸「0[v：
.dy_0Zdy「0CK」v）dy
6
=.o（1
（732）
—）dy
:
：
v：
如果是不可压缩流动则上式
（7.3.3）
所以称排挤厚度是考虑到在流量不变的情况下，边界层减少的流量是由于称为位移厚度是考虑到应用理想流体概念计算通道的流量时不能用原
:
称为排挤厚度，也称位移厚度。
粘性作用把部分流体排挤到主流区去了；
来的通道部分的实际几何尺寸，而是考虑边界层由于粘性作用通流能力的减少，即边界要移动一定距离，这样
计算通流面积就要比原几何通流面积要减少。
这一边界移动就是位移厚度名称的来源。
这两种名称从不同角
度反映了/的物理实质。
显然/在实际计算中是一个很有意义的物理量，厂的大小直接反映了通流能力损
失的多少。
注意，由于边界层外v/v-.=1，则有
旳v
.
（1）dy0
°vo
则（7.3.3）又可写成
v
…0（1-严
（7.3.4）
7.3.2动量损失厚度:
单位时间内通过边界层某一截面的质量为
6
0:
?
vdy
若为理想流体，这些质量应具有的动量为
v「o:
vdy
而由于粘性的存在，这些质量实际具有的动量为
:
Vdy
0
上面两式之差就是由于边界层粘性而产生的动量损失。
为了描述这一动量损失也定义一个厚度：
**，称为动量
损失厚度，使6*与边界层外Pv2之乘机等于边界层内的动量损失，用公式表示为
OO
2**I】2
Pv8=[（Pv』—Pv）dy
o、
则有
**
6
6Pv
0=（「「
OO
6Pv（1
0
2
v
—）dy
v
o
v
-）dyv:
（735）
如为不可压流动
也可写成
**
**
5
**
6
在边界层计算中占有重要地位,
、vv
0—u——）dy
0vvoo
:
:
vv
0
（1）dy
vv:
**
（7.3.6）
（7.3.7）
直接与动量损失相联系，是计算阻力损失的一个重要参数。
***
7.3.3能量损失厚度抵
单位时间内通过边界层某截面的流体质量，在理想流体情况下，这些质量具有动能为
由于粘性存在，这些质量实际具有动能为
两者之差为边界层的动能损失，类似上面的讨论，也定义一个厚度
***
:
，称为能量损失厚度，使其与边界层外
12
的?
「:
v:
v：
.乘积等于动能损失，用公式表示为
3***
…=0S2dy_严好
则有
***
6
6pv『v211-（）dy
Uv..
（7.3.8）
如为不可压缩流上式可写成
也可写成
***
o
-***与动能损失直接相联系,
H）2dy
°v：
v：
°汁（厂y
在边界层内考虑导热和可压缩性时,
（7.3.9）
（7.3.10）
'■是很有用的一个参量。
7.4边界层的求解
相似性解是边界层研究中一个非常重要的概念。
它能使数学得到相当的简化，这就是研究相似解的意义。
应当指出，相似性不是对边界层流动都存在的，只有在外部流动满足一定条件时才存在的相似性解必须在单一
的（顺压区或逆压区）速度分布下才有相似解。
因为在绕流的边界层中顺压区和逆压区同时存在的话，速度分
布曲线性质差异很大，本来就不相似所以也不可能通过调整比例尺度使其相同。
果德斯坦（Goldstein）证明
指出；当来流速度U（x）与x的乘幕成比例即有U=cxm时边界层才有相似性解。
当边界层方程具有相似性解时，其流速u（x,y）的分布具有以下性质：
如果把任意x断面的流速分布图形
u〜y的坐标用有关尺度因素均化为无量纲坐标，则任意x断面处无量纲的流速分布图形均相同。
在某一x位置，当地势流流速U（x）显然可作为流速的尺度因素。
取某一函数g（x）作为y坐标的尺度因
素。
则有
u（x,y）
U（x）-
f（）,—（7.4.1）
g（x）
式（7.4.1）即为边界层方程的“相似性解”
。
采用无量纲坐标u（x,y）和y后，在任意x断面处流速分布图形
U（x）g（x）
空型二f（）=fy均相同，即f（）与x无关。
u（x）g（x）
『必7（人）？
u「X2,g（X2）'
U（xJU（X2）
图（7-6）所示为一平板边界层中的流速分布，采用
U：
:
作为流速尺度因素，采用
（7.4.2）
f
Ivx
g（x）作为坐标y的几何
尺度因素，而
U.^x
由图看出不同雷诺数Rex处流速分布均重合为
v
条直线，说明平板边界层存在相似性解。
图7-6中采用尼古拉兹（J.Nikuradse）的试验数据。
I
€
图7-6平板边界层流速分布
当边界层微分方程式存在相似性解时，以后会看到，可以把偏微分方程式组变化为一个常微分方程式，从
而带来数学上很大的简化。
方程式可写为：
问题在于什么情况下才存在相似性解。
不可压缩流体，二维恒定流动边界层微分
2
:
u:
u,,dUu
uvUv2（743）
:
x:
ydx:
y
边界条件为:
引进流函数
（x,y），则
连续方程（
.x
二0
-■y
y=0;u=v=0
y=：
：
;u=U（U=U（x）为x点处壁面势流流速）
u=—，
3-9c）将自动满足.如果流函数可写为：
■-二U（x）g（x）f（）
v=——
ex
（7.4.6）
（7.4.7）
而，于是流速分量应为
uUf
y：
:
y
（7.4.8）
v二
_x
=-u'gfUg'f_罟g'f'
=-UgfUgf-Ugf
（7.4.9）
将（7.4.8），（7.4.9）两式代入（7.4.3）边界层微分方程式中可得：
faff：
（I一f2）=0
边界条件为：
=0:
f（0）=f'（0）=0
=:
f（:
:
）=I
方程式中：
gF（Ug）
vdx
2
［耳u'
v
只有当\均为常数，式（7.4.10）才是f（）的常微分方程式，也就是说要求的.由（7.4.13）及（7.4.14）式可得
2：
_：
—（g2U）
vdx
积分此式得
（2：
-）vx=g2U
（7.4.14）式除以（7.4.16）式，得
1dU_-
Udx（2：
-Jx
积分此式得
指数m为
U=Cxm
（7.4.10）
（7.4.11）
（7.4.12）
（7.4.13）
（7.4.14）
f只是的函数，而这正是相似解所
（7.4.15）
（7.4.16）
（7.4.17）
（7.4.18）
（7.4.19）
Pm=2^
在（7415）式中「，一：
两个常数的公约数对结果并无影响，因而可令〉=1，并不失去结果的普遍性，当〉=1时,
m，二-2m（7.4.20）
2一Bm+1
C则为积分常数（7418）式说明，当势流流速U与xm成比例时，边界层方程具有相似性解，此时流速分布函数f（）满足：
「ff「（1一f2）=0（7.4.21）
这个方程式的解称为Falkner-Skan解。
由：
•及：
的关系同样可得到g（x）的形式.由（7.4.16）式得
由（7.4.20）式得
（7.4.22）
相似变量
（7.4.23）
y[m+1Ug*2vx
有了流速尺度因素
U（x）及y坐标的尺度因素g（x），流函数可写为:
■-二U（x）g（x）f（）
.m21VUxf（）
（7.4.24）
7.5边界层的分离
由实验可知，当流体绕流非流线型物体时，边界层流动会从物面分离并在物体后面形成尾涡区，从而形成很大的尾涡阻力。
如图7-7所示，它表示了粘性流体绕流圆柱体时流动的分离现象，其中S点就是分离点。
般说来，当物体在流体中运动时，总是希望尽可能减小阻力，因此研究边界层为什么会从物面分离，如何防止或推迟分离，就成为十分重要的现实问题。
当运动为定常且忽略质量力时，在物面上有：
-2
2y=0:
y
1dp
Tdx
这表明在物面附近速度剖面的曲率只依赖于纵向压力梯度。
dp
dx
—UdUe
e
dx
在一般情况下，dp/dx0可能取正值，也可能取负值。
（7.5.1）
又边界层内的压力梯度为:
（7.5.2）
例办沿扩张流道的减速流动,
若due/dx：
：
：
0,就有
dp/dx0；沿收缩流道的加速流动，若
due/dx0,就有dp/dx：
：
：
0。
把压力沿流动方向增加的流动
（dp/dx0）称为逆压梯度流动，而把压力沿流动方向减少的流动（dp/dx：
：
：
0）称为顺压梯度流动。
如图7-7
所示的绕圆柱体的流动，在前半部分自前驻点O到最小压力点M的流动就是顺压力梯度流动；在后半部分，
自M点到后线点F的流动就是逆压力梯度流动。
图7-7绕流圆柱体时的分离流动
图7-8曲面边界层分离形成示意图
图7-9边界层内的速度分布
随着压力梯度的变号，速度剖面的曲率将改变它的符号。
如图7-8和图7-9a所示，对于顺压力梯度流动，
-2
I■
有dp/dx.0，此时（一p）y=6<0；另一方面，当流体质点趋近于边界层外边界时，？
u/?
y不断减少并趋于零,
22
戸U戶U
因此当y_.f时，（一^）<0。
由此推出，在顺压力梯度流动区，（一飞）始终是负的，边界层内速度剖面是
dydy
一条没有拐点的向外凸的光滑曲线，所有流体质点都是沿着流动方向前进，不会产生边界层分离。
与此相反,
-22
）<0,于是
对于逆压力梯度流动，有dp/dx：
>0，此时（L2）y」>0，又根据刚才的讨论，当yT6时,（工1
02u
如图7-8和图7-9b上的P点。
拐点的出
必然在0现改变了速度剖面的形状，在拐点以上速度剖面是外凸的，拐点以下速度剖面是内凹的。
随着流体粘性和壁面
阻滞影响的累积，逆压区中拐点的位置也在变化。
打2u
在最小压力点M处，有dp/dx=O，因此（一^）y=0=0,讷-
拐点位于物面上；随着流体质点向下游流动，拐点将向外边界移动，而速度剖面变得越来越瘦削。
开始时拐点
还比较靠近物面，整个速度剖面仍然保持?
u/?
y>0,所有流体质点还是保持沿流动方向前进。
但是当拐点外移
到某一位置时，根据流动的连续性，必然在物面的某点S上出现（?
u/?
y）y=0,从这点开始再往后就有
（?
u/?
y）y：
0<0，发生了回流，回流与主流相撞，把主流推离物面，就形成了边界层分离现象。
在分离区里，由
于回流造成真空使得下游流体倒流过来，碰到主流的冲击又将顺流回去，就形成了明显可见的涡旋区。
当边界
层与物面分离后，它就像自由射流一样注入外部势流中，在主流与回流之间形成一条分界线，这条分界线就是从物面离开的零流线T（u=0）。
脱体的边界层在外部势流携带下，将漂向下游和物体后面的流体混合形成整个尾涡区，由于涡旋损耗动能，因此产生了尾涡阻力。
在分离点附近以及在分离点以后的流动中，由于边界层厚度大幅度地增加，u与v的数量级发生了根本的
变化，与u相比v不再是小量，S<此时应从N-S方程或其它途径来考虑问题。
其次，在研究分离点以前的边界层流动时，由于外
部势流已受到分离流的排挤，往往会明显改变势流中的压力分布，因此在实际计算中，最好采用实测的物面上的压力分布或势流速度分布。
综上所述，边界层分离是逆压力梯度和物面粘性阻滞作用的综合结果。
光有物面的粘性阻滞作用而没有逆
压力梯度，不会产生分离，因为没有反推力，流体不会往回跑。
由此可见，顺压力梯度流动永远不会产生分离
现象。
如果只有逆压力梯度而没有壁面粘性阻滞作用，也不会产生分离现象，因为没有壁面阻滞作用，运动小的流体质点就不会滞止下来。
参阅图7-1和图7-10a、b的三张照片，其中图7-1所示是平板零冲角绕流，没有
逆压力梯度（dp/dx=0），只有壁面阻滞作用，没有分离；图7-l0a所示是流体垂直地冲向墙面的自由滞止流动，只有逆压力梯度而没有壁面的粘性阻滞作用，流动也没有分离；图7-l0b是在垂直绕流墙面的对称流线上放置
了一平板，流动受到了逆压力梯度和壁面阻滞的同时作用，就在平促与路面的拐角处产生了涡旋，边界层从板面分离。
a）自由滞止流
b）减速滞止流
图7-10两个滞止流动照片
还应该着重指出，有了逆压力梯度和壁面粘性阻滞作用这两个因素不一定就产生分离，还要看逆压力梯度
的大小，逆压力梯度小可以不产生分离，因此逆压力梯度和壁面粘性阻滞作用同时存在是产生分离的必要条件，
但不是充分条件。
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