计算方法考题B04(答案).doc

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2004年计算方法考试答案：

2004-12-26

1、（4分），它们在浮点数系中浮点化数=.27182818E1，=.22026466E5，在浮点数系中计算.22029184E5；

2、（4分）若矩阵非奇（即的行列式非零），则总可以进行三角分解，即可以分解成矩阵乘积形式，其中为下三角矩阵，为单位上三角矩阵。

此命题是否正确？

否（填“是”或“否”）；

3、（4分）是三次样条插值多项式，则在节点处：

而且连续，在内节点处、、和连续。

此结论是否正确？

（填“是”或“否”）否；

4、解线性方程组的迭代收敛，取初值，迭代=18步，将满足；

答案：

,

5、（6分）若的2阶导数存在，则差商关于的二阶导数可以用差商形式表示：

=2；

6、（6分）数值积分的内插求积公式：

中，，此处是由全体节点构成的基本插值多项式，则=b-a；

7、（6分）区间上的求积公式

具有3阶代数精度；此公式的误差。

8、（6分）求解常微分方程初值问题采用3阶Adams-Bashforth方法：

，通过误差估计，获知某步所得的误差过大，需要步长减半，重新计算。

请问：

为此，需计算哪几个值，若用插值法计算新的值，需用哪几个点上的值：

；

9、（10分）将下述矩阵方程的系数矩阵分解成矩阵乘积形式，其中为下三角矩阵，为单位上三角矩阵，并解此矩阵方程。

10、用插值法求通过下述全部数据点的函数在2与3之间的根的近似值，

1.0000

2.0000

3.0000

4.0000

-1.5000

-0.2000

0.3000

0.7000

答案：

差商表：

0.7

4

0.3

3

2.5

-0.2

2

2

0.55556

-1.5

1

0.76923

0.68375

-0.05827

-1.5

1

-0.2

2

.7692=

0.3

3

2.0

0.68375

0.7

4

2.5

0.55556

-0.05827

答：

11、（10分）利用计算，采用复化梯形求积公式。

要使结果有至少5位有效数字，步长应如何取？

请给出此时的计算公式，及对应的误差估计。

答案：

要使结果有至少5位有效数字，误差界;,复化梯形求积公式误差：

因此，取,

计算公式：

;

若将题改：

利用计算，采用复化梯形求积公式，要使计算的结果有至少5位有效数字，步长应如何取？

请给出此时的计算公式，及对应的误差估计。

，要使结果有至少5位有效数字，可确定误差界，复化梯形求积公式误差：

，因此，取。

计算公式：

12、（10分）方程在邻近有根，请证明迭代总不收敛于；其次，请对此迭代改善之，使新迭代在邻近取初值必能收敛于；

解：

由于迭代函数取包含根的区间[0.1，1]，则因此，迭代以后离更远，因此不收敛。

由于，取，迭代，取初值0.3必收敛于根。

13、（10分）求常微分方程初值问题的数值方法的系数，使之具有尽可能高的精度：

并给出此公式的局部截断误差；

方程组：

得：

公式：

误差：

14、（8分）用最速下降法解以下无约束最优：

取初值，用精确的一维搜索，迭代一步求；

解：

，所以，取

求

，得。