数字信号处理习题集(附答案).doc
《数字信号处理习题集(附答案).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数字信号处理习题集(附答案).doc（72页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
第一章数字信号处理概述
简答题：
1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？
答：
在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。
此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。
在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器。
判断说明题：
2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。
（）
答：
错。
需要增加采样和量化两道工序。
3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理
理论，对信号进行等效的数字处理。
（）
答：
受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。
因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。
故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。
第二章离散时间信号与系统分析基础
一、连续时间信号取样与取样定理
计算题：
1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T表示采样周期（假设T足够小，足以防止混迭效应），把从的整个系统等效为一个模拟滤波器。
（a） 如果，求整个系统的截止频率。
（b） 对于，重复（a）的计算。
解（a）因为当，在数—模变换中
所以得截止频率对应于模拟信号的角频率为
因此
由于最后一级的低通滤波器的截止频率为，因此对没有影响，故整个系统的截止频率由决定，是625Hz。
（b）采用同样的方法求得，整个系统的截止频率为
二、离散时间信号与系统频域分析
计算题：
1．设序列的傅氏变换为，试求下列序列的傅里叶变换。
（1）
（2）（共轭）
解：
（1）
由序列傅氏变换公式
DTFT
可以得到
DTFT
（2）（共轭）
解：
DTFT
2．计算下列各信号的傅里叶变换。
（a）（b）
（c）（d）
解：
（a）
（b）
（c）
（d）
利用频率微分特性，可得
3．序列的傅里叶变换为，求下列各序列的傅里叶变换。
（1）
（2）（3）
解：
（1）
（2）
（3）
4．序列的傅里叶变换为，求下列各序列的傅里叶变换。
（1）
（2）（3）
解：
（1）
（2）
（3）
5．令和表示一个序列及其傅立叶变换，利用表示下面各序列的傅立叶变换。
（1）
（2）
解：
（1）
（2）
6．设序列傅立叶变换为，求下列序列的傅立叶变换。
（1）为任意实整数
（2）
（3）
解：
（1）
（2）n为偶数
0n为奇数
（3）
7．计算下列各信号的傅立叶变换。
（1）
（2）
（3）
【解】
（1）
（2）假定和的变换分别为和，则
所以
（3）
8．求下列序列的时域离散傅里叶变换
，，
解：
三、离散时间系统系统函数
填空题：
1．设是线性相位FIR系统，已知中的3个零点分别为1，0.8，1+j，该系统阶数至少为（）。
解：
由线性相位系统零点的特性可知，的零点可单独出现，的零点需成对出现，的零点需4个1组，所以系统至少为7阶。
简答题：
2．何谓最小相位系统？
最小相位系统的系统函数有何特点？
解：
一个稳定的因果线性移不变系统，其系统函数可表示成有理方程式
，他的所有极点都应在单位圆内，即。
但零点可以位于Z平面的任何地方。
有些应用中，需要约束一个系统，使它的逆系统也是稳定因果的。
这就需要的零点也位于单位圆内，即。
一个稳定因果的滤波器，如果它的逆系统也是稳定因果的，则称这个系统是最小相位。
等价的，我们有如下定义。
【定义】一个有理系统函数，如果它的零点和极点都位于单位圆内，则有最小相位。
一个最小相位系统可由它的傅里叶变换的幅值唯一确定。
从求的过程如下：
给定，先求，它是的函数。
然后，用替代，我们得到。
最后，最小相位系统由单位圆内的的极、零点形成。
一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统和一个全通系统的乘积，即
完成这个因式分解的过程如下：
首先，把的所有单位圆外的零点映射到它在单位圆内的共轭倒数点，这样形成的系统函数是最小相位的。
然后，选择全通滤波器，把与之对应的中的零点映射回单位圆外。
3．何谓全通系统？
全通系统的系统函数有何特点？
解：
一个稳定的因果全通系统，其系统函数对应的傅里叶变换幅值，该单位幅值的约束条件要求一个有理系统函数方程式的零极点必须呈共轭倒数对出现，即
。
因而，如果在处有一个极点，则在其共轭倒数点处必须有一个零点。
4．有一线性时不变系统，如下图所示，试写出该系统的频率响应、系统（转移）函数、差分方程和卷积关系表达式。
解：
频率响应：
系统函数：
差分方程：
卷积关系：
第三章离散傅立叶变换
一、离散傅立叶级数
计算题：
1．如果是一个周期为N的周期序列，那么它也是周期为2N的周期序列。
把看作周期为N的周期序列有（周期为N）；把看作周期为2N的周期序列有（周期为2N）；试用表示。
解：
对后一项令，则
所以
二、离散傅立叶变换定义
填空题
2．某DFT的表达式是，则变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是（）。
解：
3．某序列DFT的表达式是，由此可看出，该序列的时域长度是（），变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（）。
解：
N
4．如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件（）。
解：
纯实数、偶对称
5．采样频率为的数字系统中，系统函数表达式中代表的物理意义是（），其中时域数字序列的序号代表的样值实际位置是（）；的N点DFT中，序号代表的样值实际位置又是（）。
解：
延时一个采样周期，，
6．用8kHz的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点的DFT。
则频域抽样点之间的频率间隔为_______,数字角频率间隔为_______和模拟角频率间隔______。
解：
15.625，0.0123rad，98.4rad/s
判断说明题：
7．一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT对它进行分析。
（）
解：
错。
如果序列是有限长的，就能做DFT对它进行分析。
否则，频域采样将造成时域信号的混叠，产生失真。
计算题
8．令表示N点的序列的N点离散傅里叶变换，本身也是一个N点的序列。
如果计算的离散傅里叶变换得到一序列，试用求。
解：
因为
所以
9．序列，其4点DFT如下图所示。
现将按下列
（1），
（2），（3）的方法扩展成8点，求它们8点的DFT？
（尽量利用DFT的特性）
（1）
（2）
（3）
解：
（1）
（2）
（3）
10．设是一个2N点的序列，具有如下性质：
另设，它的N点DFT为，求的2N点DFT和的关系。
解：
推导过程略
11．试求以下有限长序列的N点DFT（闭合形式表达式）
（1）
（2）
解：
（1）因为，所以
（2）由，得
所以
12．计算下列序列的N点DFT：
（1）
（2），，
解：
（1），
（2）
k=m或k=-m
=
0,其它
13．已知一个有限长序列
（1）求它的10点离散傅里叶变换
（2）已知序列的10点离散傅立叶变换为，求序列
（3）已知序列的10点离散傅立叶变换为，求序列
解；
（1）
=1+2=1+2
=1+2，
（2）由可以知道，是向右循环移位2的结果，即
（3）由可以知道，
一种方法是先计算
=
然后由下式得到10点循环卷积
另一种方法是先计算的10点离散傅立叶变换
再计算乘积
由上式得到
14．
（1）已知序列：
，求的N点DFT。
（2）已知序列：
，则的9点DFT是正确否？
用演算来证明你的结论。
解：
（1）
=
0，其它
（2）
可见，题给答案是正确的。
15．一个8点序列的8点离散傅里叶变换如图5.29所示。
在的每两个取样值之间插入一个零值，得到一个16点序列，即
，为偶数
0，为奇数
（1）求的16点离散傅里叶变换，并画出的图形。
（2）设的长度N为偶数，且有，求。
解：
（1）因n为奇数时，故
，
另一方面
因此
所以
按照上式可画出的图形，如图5.34所示。
16．计算下列有限长序列的DFT，假设长度为N。
（1）
（2）
解：
（1）
（2）
17．长度为8的有限长序列的8点DFT为，长度为16的一个新序列定义为
0
试用来表示。
解：
而
因此，当时，；当时，令，得到：
即
于是有
18．试计算的离散傅里叶变换的值。
【解】
所以
证明题：
19．设表示长度为N的有限长序列的DFT。
（1）证明如果满足关系式
则
（2）证明当N为偶数时，如果
则
解
（1）
令
显然可得
（2）（将n分为奇数和偶数两部分表示）
显然可得
简答题：
21．在离散傅里叶变换中引起混迭效应的原因是什么？
怎样才能减小这种效应？
解：
因为为采样时没有满足采样定理
减小这种效应的方法：
采样时满足采样定理，采样前进行滤波，滤去高于折叠频率的频率成分。
22．试说明离散傅里叶变换与Z变换之间的关系。
解：
离散傅立叶变换是Z变换在单位圆上的等间隔采样。
三、离散傅立叶变换性质
填空题：
1．已知序列，序列长度，写出序列的值（）。
解：
2．已知，则和的5点循环卷积为（）。
解：
3．已知则的
4点循环卷积为（）。
解：
证明题：
4．试证N点序列的离散傅立叶变换满足Parseval恒等式
证：
5．是一个离散傅里叶变换对，试证明离散傅里叶变换的对称性：
证明略。
6．长为N的有限长序列，分别为的圆周共轭偶部及奇部，也即
证明：
证
7．若
证：
（1）
（2）
由
（2），将互换，则有
（这应该是反变换公式）
（用，且求和取主值区）
与
（1）比较所以
8．若，求证。
证：
而
（为整数）
0
所以
于是
9．令表示N点序列的N点DFT，试证明：
（a）如果满足关系式，则。
（b）当N为偶数时，如果，则。
证：
（a）
N为偶数：
N为奇数：
而中间的一项应当满足：
因此必然有
这就是说，当N为奇数时，也有。
（b）当N为偶数：
当N为偶数时，为奇数，故；又由于故有
10．设，求证。
【解】因为
根据题意
因为
所以
11．证明：
若为实偶对称，即，则也为实偶对称。
【解】根据题意
下面我们令进行变量代换，则
又因为为实偶对称,所以，所以
可将上式写为
所以
即证。
注意：
若为奇对称，即，则为纯虚数并且奇对称，证明方法同上。
计算题：
12．已知，用圆周卷积法求和的线性卷积。
解：
，
因为的长度为,的长度为
所以的长度为,故应求周期的圆周卷积的值，即
所以
13．序列，序列。
（1）求线性卷积
（2）若用基2FFT的循环卷积法（快速卷积）来得到两个序列的线性卷积运算结果，FFT至少应取多少点？
解：
（1）
所以，
（2）若用基2FFT的循环卷积法（快速卷积）来完成两序列的线性卷积运算，因为的长度为；所以得长度为。
故FFT至少应取点。
14．有限长为N=100的两序列
做出示意图，并求圆周卷积及做图。
解示意图略，圆周卷积
15．已知是长度为N的有限长序列，，现将的每两点之间补进个零值，得到一个长为的有限
长序列
求：
DFT[]与的关系。
解：
因为
令
16．已知是N点有限长序列，。
现将长度变成点的有限长序列
试求点DFT[]与的关系。
解：
由
可得
所以在一个周期内，的抽样点数是倍，相当于在的每两个值之间插入个其他的数值（不一定为零），而当的整数倍时，相等。
17．已知是N点有限长序列，。
现将的每两点之间补进个零值点，得到一个点的有限长序列
试求点DFT[]与的关系。
解：
由
可得
而
所以是将（周期为N）延拓次形成的，即周期为。
18．已知序列和它的6点离散傅立叶变换。
（1）若有限长序列的6点离散傅立叶变换为，求。
（2）若有限长序列的6点离散傅立叶变换为的实部，即，求。
（3）若有限长序列的3点离散傅立叶变换，求。
解：
（1）由知，是向右循环移位4的结果，即
（2）
由上式得到
（3）
由于
所以
即
或
19．令表示N点的序列的N点离散傅里叶变换，本身也是一个N点的序列。
如果计算的离散傅里叶变换得到一序列，试用求。
解
因为
所以
20．为了说明循环卷积计算（用DFT算法），分别计算两矩形序列的卷积，如果，求
（1）两个长度为6点的6点循环卷积。
（2）两个长度为6点的12点循环卷积。
【解】这是循环卷积的另一个例子。
令
图3-6中，N定义为DFT长度。
若，则N点DFT为
如果我们将和直接相乘，得
由此可得
这个结果绘在图3-6中。
显然，由于序列是对于旋转，则乘积的和始终等于N。
当然也可以把和看作是2L点循环卷积，只要给他们增补L个零即可。
若我们计算增长序列的2L点循环卷积，就得到图3-7所示序列。
可以看出它等于有限长序列和的线性卷积。
注意如图3-7所，时
所以图3-7（e）中矩形序列的DFT为（）
循环卷积的性质可以表示为
考虑到DFT关系的对偶性，自然两个N点序列乘积的DFT等于他们对英的离散傅里叶变换的循环卷积。
具体地说，若，则
或
21．设是一个2N点序列，具有如下性质
另设，它的N点DFT为。
求得2N点DFT和的关系。
【答案】
22．已知某信号序列，，试计算
（1）和的循环卷积和；
（2）和的线性卷积和；
（3）写出利用循环卷积计算线性卷积的步骤。
【答案】
（1）
（2）
（3）略
23．如图表示一个5点序列。
（1）试画出
（2）试画出
解：
简答题：
24．试述用DFT计算离散线性卷积的方法。
解：
计算长度为M,N两序列的线性卷积，可将两序列补零至长度为M+N-1,而后求补零后两序列的DFT，并求其乘积，最后求乘积后序列的IDFT，可得原两序列的线性卷积。
25．已知是两个N点实序列的DFT值，今需要从求的值，为了提高运算效率，试用一个N点IFFT运算一次完成。
解：
依据题意
取序列
对作N点IFFT可得序列。
又根据DFT性质
由原题可知，都是实序列。
再根据，可得
四、频域取样
填空题：
1．从满足采样定理的样值信号中可以不失真地恢复出原模拟信号。
采用的方法，从时域角度看是（）；从频域角度看是（）。
解：
采样值对相应的内插函数的加权求和加低通，频域截断
2．由频域采样恢复时可利用内插公式，它是用（）值对（）函数加权后求和。
解：
内插
3．频域N点采样造成时域的周期延拓，其周期是（）。
解：
（频域采样点数时域采样周期）
简答题：
4．已知有限长序列的变换为，若对在单位圆上等间隔抽样点，且，试分析此个样点序列对应的IDFT与序列的关系。
解：
如果
即是在单位圆上点等间隔抽样，根据频域抽样定理，则存在
上式表明，将序列以为周期进行周期延拓，取其主值区间上的值，即得序列。
由于，故在对以为周期进行周期延拓时，必然存在重叠。
5．FFT算法的基本思想是什么？
解：
答案略。
6．简述时域取样定理和频域取样定理的基本内容。
解：
答案略。
计算题：
7．设是长度为M的有限长序列，其Z变换为
今欲求在单位圆上N个等距离点上的采样值，其中解答下列问题（用一个N点的FFT来算出全部的值）
（1）当时，写出用一个N点FFT分别算出的过程；
（2）若求的IDFT，说明哪一个结果和等效，为什么?
解：
（1），对序列末尾补零至N个点得序列，计算的N点FFT即可得到。
时，对序列以N为周期进行周期延拓得到一个新的序列，求序列的前M点的FFT即可得。
（2）时得到的结果与等效，因为其满足频域取样定理。
8．已知，今对其z变换在单位圆上等分采样，采样值为，求有限长序列IDFT
解方法一
IDFT
方法二
交换求和次序
（因为，）
所以
9．研究一个长度为M点的有限长序列。
我们希望计算求z变换在单位圆上N个等间隔点上的抽样，即在上的抽样。
当时，试找出只用一个N点DFT就能计算的N个抽样的方法，并证明之。
解：
若，可将补零到N点，即
则
10．对有限长序列的Z变换在单位圆上进行5等份取样，得到取样值，即
求的逆傅里叶变换。
解：
11．设如图所示的序列的Z变换为，对在单位圆上等间隔的4点上取样得到，即
试求的4点离散傅里叶逆变换，并画出的图形。
解：
因为对在单位圆上等间隔的4点上取样，将使以4为周期进行周期延拓，所以，根据上式可画出的图形，如下图所示。
四、用离散傅立叶变换对连续时间信号逼近问题
简答题：
1．理解DFT分析信号频谱中出现的现象以及改善这些现象的方法?
解：
答案略
2．补零和增加信号长度对谱分析有何影响？
是否都可以提高频谱分辨率?
解：
时域补零和增加信号长度，可以使频谱谱线加密，但不能提高频谱分辨率。
3．试说明连续傅里叶变换采样点的幅值和离散傅里叶变换幅值存在什么关系？
解：
两个幅值一样。
4．解释DFT中频谱混迭和频谱泄漏产生的原因，如何克服或减弱？
解：
如果采样频率过低，再DFT计算中再频域出现混迭线性，形成频谱失真；需提高采样频率来克服或减弱这种失真。
泄漏是由于加有限窗引起，克服方法是尽量用旁瓣小主瓣窄的窗函数。
计算题：
5．用某台FFT仪做谱分析。
使用该仪器时，选用的抽
升级会员 