信息安全数学基础参考试卷.doc
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《信息安全数学基础》参考试卷
一．选择题（在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的括号内，多选不给分）：
（每题2分，共20分）
1．576的欧拉函数值j（576）＝（ ）。
（1）96，
（2）192，（3）64，（4）288。
2．整数kn和k（n+2）的最大公因数（kn,k（n+2））=（ ）。
（1）1或2，
（2）|kn|，
（3）|n|或|kn|， （4）|k|或2|k|。
3．模10的一个简化剩余系是（）。
（1）1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，
（2）11,17,19,27
（3）11,13,17,19，（4）0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。
4．29模23的逆元是（）。
（1）2，
（2）4，
（3）6，（4）11。
5．设m1，m2是两个正整数，x1遍历模m1的完全剩余系，x2遍历模m2的完全剩余系，若（）遍历m1m2的完全剩余系。
（1）（m1，m2）=1，则m1x1＋m2x2
（2）m1和m2是素数，则m1x1＋m2x2
（3）（m1，m2）=1，则m2x1＋m1x2（4）m1和m2是素数，则m2x1＋m1x2
6．下面的集合和运算构成群的是（）。
（1）（N是自然数集，“＋”是加法运算）
（2）（R是实数集，“×”是乘法运算）
（3）（Z是整数集，“＋”是加法运算）
（4）（P（A）＝{U|U是A的子集}是集合A的幂集，“∩”是集合的交运算）
7．下列各组数对任意整数n均互素的是（）。
（1）3n+2与2n，
（2）n－1与n2＋n＋1，（3）6n+2与7n，（4）2n+1与4n+1。
8．一次同余式234x≡30（mod198）的解数是（）。
（1）0，
（2）6，
（3）9，（4）18。
9．Fermat定理：
设p是一个素数，则对任意整数a有（）。
（1）aj（p）＝a（modp），
（2）aj（p）＝1（moda），
（3）ap＝a（modp），（4）ap＝1（modp）
10．集合F上定义了“＋”和“·”两种运算。
如果（），则构成一个域。
（1）F对于运算“＋”和“·”构成环，运算“＋”的单位元是e，且F\{e}对于“·”构成交换群
（2）F对于运算“＋”构成交换群，单位元是e；F\{e}对于运算“·”构成交换群
（3）F对于运算“＋”和运算“·”都构成群
（4）F对于运算“＋”构成交换群，单位元是e；F\{e}对于运算“·”构成交换群；运算“＋”和“·”之间满足分配律
二．填空题（按题目要求，将正确描述填在上）：
（每题2分，共20分）
1．设a,b是正整数，且有素因数分解，，则（a,b）＝，
[a,b]＝。
2．模5的3的剩余类C3（mod5）写成模15的剩余类的并为：
C3（mod5）=。
3．整数a，b满足（a，b）=1，那么对任意正整数n，都有（an，bn）=__________。
4．120,150,210,35的最小公倍数[120,150,210,35]=。
5．模8的绝对值最小完全剩余系是。
6．设n是一个正整数，整数e满足1＜e＜j（n）且，则存在整数d，1≤d＜j（n），使得ed≡1（modj（n））。
7．Wilson定理：
设p是一个素数，则。
8．P（A）是集合A的幂集，“Å”为集合的对称差运算。
P（A）对于运算“Å”的单位元是，A的逆元是。
9．设m，n是互素的两个正整数，则j（m，n）=。
10．设集合A有n个元素，则集合A×A有__________个元素，集合A上的不同运算有___________种。
三．证明题（写出详细证明过程，共4小题，30分）
1．
（1）证明：
形如6k＋5的正整数必含6k＋5形式的素因数。
（2）证明：
形如6k+5的素数有无穷多个。
（10分）
2．设a,b是任意两个不全为零的整数，证明
（1）若m是任一正整数，则（am,bm）=（a,b）m。
（2）若非零整数d满足d|a，d|b，则。
（8分）
3．设m是正整数，a≡b（modm），如果整数d满足d|（a,b,m），则有
。
（6分）
4．证明：
如果m和n是互素的大于1的整数，则mj（n）＋nj（m）≡1（modmn）。
（6分）
四．计算题（写出详细计算过程，共2小题，30分）
1．设a＝8142，b＝11766，运用广义欧几里得除法
（1）计算（a,b）；
（2）求整数s，t使得sa＋tb＝（a,b）。
（15分）
2．计算31000000（mod1771）。
（15分）
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