第七章习题与答案.docx
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第七章习题与答案
第七章习题及解答
7-1试求下列函数的z变换
t
T
（1）e（t）a
23t
（2）（）
ette
s1
（3）E（s）
2
s
（4）E（s）
s（s
s
1）（
3
s
2）
解
（1）
nn
E（z）az
n0
1
1
az
1
z
z
a
2
Tz（z1）2
（2）Zt
3
（z1）
由移位定理：
23T3T23T3T
Tze（ze1）Tze（ze）23t
Zte
3T33T3
（ze1）（ze）
（3）E（s）
s1
2
s
1
s
1
2
s
zTzE（z）
2
z1（z1）
（4）
E（s）
c
0
c
1
c
2
ss1s2
c
0
lim
s0
（s
s
1）（
3
s
2
）
3
2
c
1
lim
s
1
s
s（s
3
2
）
2
1
2
c
2
lim
s
2
s
s（s
3
1）
1
2
32212
ss1s2
E（z）
2（
3
z
z2
1）
z
z
e
z
Tze
2（
2T
）
7-2试分别用部分分式法、幂级数法和反演积分法求下列函数的z反变换。
119
（1）E（z）
10z
（z1）（z2）
1
3z
（2）E（z）
12
12zz
解
（1）
E（z）
（z
10
1）（
z
z
2）
①部分分式法
E（z）101010
z（z1）（z2）z1z2
10z10z
E（z）
（z1）（z2）
nn
e（nT）10110210（21）
②幂级数法：
用长除法可得
E（z）
（z
10
1）（
z
z
2）
z
2
10z
3z
2
10
z
123
30z70z
*
e
（t）10（tT）30（t2T）70（t3T）
③反演积分法
ResE（z）z
n1
z1
lim
z1
n
10z
z2
10
ResE（z）z
n1
z2
n
10z
lim10
z2
z1
2
n
nn
e（nT）10110210（21）
*
e
n
（t）10（21）（tnT）
n0
1
3zz（3z1）z（3z1）
（2）E（z）
222
12zzz2z1（z1）
①部分分式法
E（z）13z23
22
z（z1）（z1）z1
E（z）
（z
2z
1）
2
3
z
z
1
2
e（t）t31（t）
T
*
e
2
（t）nT3（tnT）（2n3）（tnT）
n0n0
T
120
②幂级数法：
用长除法可得
2
3zz
123
E（z）35z7z9z
2
z2z1
*
e（t）3（t）5（tT）7（t2T）9（t3T）
③反演积分法
e（nT）ResE（z）z
1d
n1lim（3z2z）z
z1
1!
dz
s1
n1
lim
s1
nn1
3（n1）znz2n3
*
e（t）（2n3）（tnT）
n0
7-3试确定下列函数的终值
（1）E（z）
1
Tz
12
（1z）
2
0.792z
（2）E（z）
2
（z1）（z0.416z0.208）
解
（1）
e
ss
1
Tz
1
lim（1z）
1
z
1（1z）
2
e
ss
lim
z1
（z1）E（z）
（2）
lim
z1
z
2
0.792
z
0.416z
2
0.208
1
0.792
0.416
10.208
7-4已知差分方程为
c（k）4c（k1）c（k2）0
初始条件：
c（0）=0,c
（1）=1。
试用迭代法求输出序列c（k）,k=0，1，2，3，4。
解依题有
c（k2）4c（k1）c（k2）
c（0）0,c
（1）1
c
（2）4104
c（3）44115
c（4）415456
7-5试用z变换法求解下列差分方程：
（1）c（k2）6c（k1）8c（k）r（k）
r（k）1（k）,c（k）0（k0）
121
（2）c（k2）2c（k1）c（k）r（k）
c（0）c（T）0r（n）n,（n0,1,2,）
（3）c（k3）6c（k2）11c（k1）6c（k）0
c（0）c
（1）1,c
（2）0
（4）c（k2）5c（k1）6c（k）cos（k/2）c（0）c
（1）0
解
（1）令tT，代入原方程可得：
c（T）0。
对差分方程两端取z变换，整理得
C（z）
11
R（z）
2z
（z2）（z4）
z6z8
z
1
C（z）111111
z3z12z26z4
1z1z1z
C（z）
3z12z26z4
111
nn
c（nT）124
326
n
（2）对差分方程两端取z变换，整理得
C（z）
z
2
1
2
z
1
（
z
z
1）
2
（
z
1）
2
z
（
2
z1）
ResC（z）z
n1
z1
1
1!
lim
z1
d
dz
z
（z1）
2
z
n
1
lim
z1
n
dz
dz（z1）
2
lim
z1
n123n
nz（z1）2（z1）z
23
n1
n222
4
ResC（z）z
n1
z1
1
1!
lim
z
1
d
dz
z
（z1）
2
z
n
1
lim
z
1
d
dz
（
z
n
z
1）
2
lim
z
1
n123
nz（z1）2（z1）
n
z
n1
n1
（1）
4
n1
n1
c（nT）1
（1）
4
*n1
n1
c（t）1
（1）（tnT）
4n0
122
（3）对差分方程两端取z变换得
3
zC
（z）z
3
c
（0
）
z
2
c
（1）
zc（
2）
6
z
2
C
（
z）
z
2
c（0
）
zc
（1）
11zC（z）zc（0）6C（z）0
代入初条件整理得
（
3
z
6
z
232
11z6）C（z）z7z
17
z
C（z）
z
3
z
3
6
7
z
z
2
2
17
11z
z
6
C
（z
z
）111
1
5
7
2z1z22
2
1
3
c（n）
11
2
（
1）
nn
7
（2）
5
2
（
3）
n
（
1）
n
11
2
7
n
2
5
2
n
3
（4）由原方程可得
z（zcos）
2
z
2
2
（z5z6）C（z）
2
z1
2
z
2zcos1
2
C（z）
2
（z5z
2
z
6）（
z
2
1）
（
z
2）（
z
z
2
3）（
2
z
1）
C（z）z21311z1
22
z（z2）（z3）（z1）5z210z310z1
c（nT）
2
5
（
2）
n
3
10
（
3）
n
1
10
cos
n
2
sin
n
2
111n1n1n1
（1）23cosnsinn
5101022
7-6试由以下差分方程确定脉冲传递函数。
c
（
n
2）（1
e
0TcneTcne.rn
.50.505T
）
（1）（）
（1）（
1）
解对上式实行z变换，并设所有初始条件为0得
z
2
C
（
z）
（1
e
0.5T0.5T0.5T
）zC（z）eC（z）（1e
）
z
R
（
z）
根据定义有
0.5T
C（z）z（1e）
G（z）
20.5T0.5T
R（z）z（1e）ze
123
7-7设开环离散系统如题6-7图所示，试求开环脉冲传递函数G（z）。
22z
解（a）
Z
2T
s2ze
55zZ
5T
s5ze
25
Z
2s5（ze
2
10
z
2
Tze
）（
G（z）Z
5T
s）
25
2s5
Z
10
3
s
1
2
10
3
s
1
5
10
3
（
z
z（
e
e
2T
2T
）（
e
z
5T
e
）
（b）Z
5T
s
）
2T5T
2510z（ee）
G（z）Z
2T5T
s2s53（ze）（ze）
（c）
Z
s
（1e）10
1
10（1z
s（s2）（s5）
）Z
s（s
1
2）（
s
5）
10（z1）111111
Z
z10s6s215s5
G（z）
z1z
zz1
5
3
z
z
e
2T
2
3
z
z
e
5T
1
5
3
z
z
e
1
2T
2
3
z
z
e
1
5
T
5225
2T5T2T5T7T
（1ee）zeee
3333
2T5T
（ze）（ze）
124
7-8试求下列闭环离散系统的脉冲传递函数（z）或输出z变换C（z）。
题6-8图离散系统结构图
解（a）将原系统结构图等效变换为图解6-8（a）所示
图解7-8（a）
G（z）G（z）E（z）
1
B（z
1
）
B
1
（z）G
G（z）E（z）B（
121
z）
1G
G（
12
z）B（
1
z）GG（z）E（z
12
）
B（z）
1
1
G
G
1
2
G
G
1
（
2
z）
（z
）
E
（
z）
G（z）1
1
1
GG
1
G
1
（
2
G
2
z）
（z）
E
（
z
）
1
G（
z）
2
1
GG
1
（
z）
E
（
z
）
E（z）R（z）B（z）
2
B（z）G（z）C（z）
23
R（z）G（z）C（z）
3
C（z）
1
GG
（
2
1
2
GG
1
z）
（z
）
R（
z）
G
3
（
z
）
C
（
z
）
1
GG（z）C（z）G（z）R（z）G（z）C（z
1213
）
1
GG（z）G（z）G（z）C（
1213
z）G（z）R（
1
z）
（z）
C（z）
R（z）1
G（
z）
1
GG（z）G（z）G（
1213
z）
125
（b）由系统结构图
C（z）RG
2
G（z）E（z）G
4
h
GG（
34
z）
E（z）RG（z）C（z）
1
RG
G（z）
24
GGG（z）RG（z）C
h341
（z）
C（z）
RGG（
24
z）
1
G
G
h
G
h
G
3
G
3
G
4
4
（
（z）RG（
z）
1
z）
（c）由系统结构图
C（z）NG2（z）R（z）D2（z）GhG1G2（z）E（z）D1（z）GhG1G2（z）
E（z）R（z）C（z）
NG
2（z）R（z）D（z）GGG（z）D（z）GGG（z）R（z）C（z
2h121h12
）
C（z）
NG（z）R（z）D（z）G
22
1D（z）G
1
G
h
G（
12
h
z）D（
1
G
G
（
z）
1
2
z）GGG（z）
h12
R（
z）
NG（Z）D
2
（z）D（z）
12
GGG（z）R（Z
h12
）
1
D（z）
1
GGG（
h12
Z
）
7-9设有单位反馈误差采样的离散系统，连续部分传递函数
G（s）
1
2
s（s5）
输入r（t）1（t），采样周期T1s。
试求：
（1）输出z变换C（z）；
*
（2）采样瞬时的输出响应（）
ct；
（3）输出响应的终值c（）。
图解7-9
解
（1）依据题意画出系统结构图如图解6-9所示
G（z）Z
2
s
（
1
s
5）
5
1zz（1e）
25
5（z1）5（z1）（ze）
55
（4e）z16ez
25
25（z1）（ze）
（z）
525
G（z）（4e）z（16e）z
1G（z）25（z1）
255
（ze）（4e
）
2
z
（1
6
e
5
）
z
2
3.9933z0.9596z
25
3
z
46
.1747
2
z
26
.2966
z
0
.1684
126
z
C（z）（z）R（z）（z）
z
1
2
（0.1597z0.03838）z
z
4
2
.847
3
z
0.417
899
z
2
1
.0586
z
0
.006736
1234
0.1597z0.4585z0.842z1.235z
（2）
*
c（t）0.1597（tT）0.4585（t2T）0.842（t3T）1.235（t4T）
（3）判断系统稳定性
D（z）25
3
z
46
.1747
2
z
26
.2966
z
0.1684
n3（）
奇数
D
（1）4.95330,D
（1）97.63970
列朱利表
zz1z2z3
0
1-0.168426.2966-46.174725
225-14.174726.2966-0.1684
3-624.971149.94-649.64
a0.1684a25
03
b624.97
0
b649.
2
64
（
不稳定
）
闭环系统不稳定，求终值无意义。
7-10试判断下列系统的稳定性
（1）已知离散系统的特征方程为
D（z）（z1）（z0.5）（z2）0
（2）已知闭环离散系统的特征方程为
432
D（z）z.zz.z.
02036080
（注：
要求用朱利判据）
（3）已知误差采样的单位反馈离散系统，采样周期T=1（s），开环传递函数
G（s）
22.57
2
s（s1）
解
（1）系统特征根幅值
1＝＝，＝＝，＝＝
1120.50.53221
有特征根落在单位圆之外，系统不稳定。
4zzz
32
（2）（）0.20.360.80
Dzz
用朱利稳定判据（n4）
127
z
0
z
1
z
2
z
3
z
4
10.80.3610.21
210.210.360.8
3-0.360.088-0.2-0.2
4-0.2-0.20.088-0.36
50.0896-0.071680.0896
D（z）3.360,D
（1）2.240
a0.8a1,b0.36
040
b0
3
.2
c
0
0.896
c0
2
.0896
所以，系统不稳定。
（3）
G（z）z
s
22
.57
1）
2
（s
z
22
.57
2
s
22
.57
s
22
s
.57
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