优秀的近世代数期末考试总复习.doc
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近世代数模拟试题一
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设A＝B＝R（实数集），如果A到B的映射：
x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（）
A、满射而非单射 B、单射而非满射
C、一一映射 D、既非单射也非满射
2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（）个元素。
A、2 B、5C、7 D、10
3、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，这个解是（）乘法来说
A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的（两方程解一样）
4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（）
A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。
5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（）
A、倍数B、次数C、约数D、指数
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合；，则有---------。
2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的--------。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R的乘法交换，则称R是一个------。
4、偶数环是---------的子环。
5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个--------。
6、每一个有限群都有与一个置换群--------。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a的逆元是-------。
8、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么---------。
9、一个除环的中心是一个-------。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、设置换和分别为：
，，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。
2、证明：
任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
3、设集合，定义中运算“”为ab=（a+b）（modm）,则（，）是不是群，为什么？
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、设是群。
证明：
如果对任意的，有，则是交换群。
2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。
近世代数模拟试题二
一、单项选择题
二、1、设G有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（）是子群。
A、B、C、D、
2、下面的代数系统（G，*）中，（）不是群
A、G为整数集合，*为加法B、G为偶数集合，*为加法
C、G为有理数集合，*为加法D、G为有理数集合，*为乘法
3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？
（）
A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b}C、a*b=a+2bD、a*b=|a-b|
4、设、、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（1324），则=（）
A、B、C、D、
5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。
A、不可能是群 B、不一定是群
C、一定是群 D、是交换群
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：
任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。
4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。
5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么A∩B=-----。
6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。
7、叫做域的一个代数元，如果存在的-----使得。
8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为---------。
9、有限群的另一定义：
一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、---------。
10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,（12）}，写出H的所有陪集。
2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？
3、a=493,b=391,求（a,b）,[a,b]和p,q。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、若是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。
2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：
a〜b当且仅当m︱a–b。
近世代数模拟试题三
一、单项选择题
1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。
A、2阶 B、3阶C、4阶 D、6阶
2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。
A、4个B、5个C、6个D、7个
3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。
A、偶数 B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂
4、下列哪个偏序集构成有界格（）
A、（N,） B、（Z,）
C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系）） D、（P（A）,）
5、设S3＝{
（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，那么，在S3中可以与（123）交换的所有元素有（）
A、
（1），（123），（132）B、12），（13），（23）
C、
（1），（123）D、S3中的所有元素
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。
2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则----------。
3、区间[1，2]上的运算的单位元是-------。
4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。
5、环Z8的零因子有-----------------------。
6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。
9、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为--------。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？
2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。
S1+S2也是子环吗？
3、设有置换，。
1．求和；
2．确定置换和的奇偶性。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。
2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。
近世代数模拟试题四
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（）个元素。
A.2 B.5
C.7 D.10
2.设A＝B＝R（实数集），如果A到B的映射
：
x→x＋2，x∈R，
则是从A到B的（）
A.满射而非单射 B.单射而非满射
C.一一映射 D.既非单射也非满射
3.设S3＝{
（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，那么，在S3中可以与（123）交换的所有元素有（）
A.
（1），（123），（132） B.（12），（13），（23）
C.
（1），（123） D.S3中的所有元素
4.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（）个。
A.2 B.4
C.6 D.8
5.下列集合关于所给的运算不作成环的是（）
A.整系数多项式全体Z［x］关于多项式的加法与乘法
B.有理数域Q上的n级矩阵全体Mn（Q）关于矩阵的加法与乘法
C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：
m，n∈Z，mn＝0
D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：
m，n∈Z，mn＝1
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设“～”是集合A的一个关系，如果“～”满足___________，则称“～”是A的一个等价关系。
7.设（G，·）是一个群，那么，对于a，b∈G，则ab∈G也是G中的可逆元，而且（ab）－1＝
___________。
8.设σ＝（23）（35），τ＝（1243）（235）∈S5，那么στ＝___________（表示成若干个没有公共数字的循环置换之积）。
9.如果G是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于a∈G，则元素a的阶只可能是___________。
10.在3次对称群S3中，设H＝{
（1），（123），（132）}是S3的一个不变子群，则商群G/H中的元素（12）H＝___________。
11.设Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6为模的剩余类环，则Z6中的所有零因子是___________。
12.设R是一个无零因子的环，其特征n是一个有限数，那么，n是___________。
13.设Z［x］是整系数多项式环，（x）是由多项式x生成的主理想，则（x）＝_____________
___________。
14.设高斯整数环Z［i］＝{a＋bi|a，b∈Z}，其中i2＝－1，则Z［i］中的所有单位是___________
___________。
15.有理数域Q上的代数元+在Q上的极小多项式是___________。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
16.设Z为整数加群，Zm为以m为模的剩余类加群，是Z到Zm的一个映射，其中
：
k→［k］，k∈Z，
验证：
是Z到Zm的一个同态满射，并求的同态核Ker。
17.求以6为模的剩余类环Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}的所有子环，并说明这些子环都是Z6的理想。
18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必是主理想环。
四、证明题（本大题共3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分）
19.设G＝{a，b，c}，G的代数运算“”
由右边的运算表给出，证明：
（G，）作成一个群。
a
b
c
a
a
b
c
b
b
c
a
c
c
a
b
20.设
已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。
证明：
I是R的一个子环，但不是理想。
21.设（R，＋，·）是一个环，如果（R，＋）是一个循环群，证明：
R是一个交换环。
近世代数试卷
一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）
1、设与都是非空集合，那么。
（）
2、设、、都是非空集合，则到的每个映射都叫作二元运算。
（）
3、只要是到的一一映射，那么必有唯一的逆映射。
（）
4、如果循环群中生成元的阶是无限的，则与整数加群同构。
（）
5、如果群的子群是循环群，那么也是循环群。
（）
6、群的子群是不变子群的充要条件为。
（）
7、如果环的阶，那么的单位元。
（）
8、若环满足左消去律，那么必定没有右零因子。
（）
9、中满足条件的多项式叫做元在域上的极小多项式。
（）
10、若域的特征是无限大，那么含有一个与同构的子域，这里是整数环，是由素数生成的主理想。
（）
二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。
答案选错或未作选择者，该题无分。
每小题1分，共10分）
1、设和都是非空集合，而是到的一个映射，那么（）
①集合中两两都不相同；②的次序不能调换；
③中不同的元对应的象必不相同；
④一个元的象可以不唯一。
2、指出下列那些运算是二元运算（）
①在整数集上，；②在有理数集上，；
③在正实数集上，；④在集合上，。
3、设是整数集上的二元运算，其中（即取与中的最大者），那么在中（）
①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。
4、设为群，其中是实数集，而乘法，这里为中固定的常数。
那么群中的单位元和元的逆元分别是（）
①0和；②1和0；③和；④和。
5、设和都是群中的元素且，那么（）
①；②；③；④。
6、设是群的子群，且有左陪集分类。
如果6，那么的阶（）
①6；②24；③10；④12。
7、设是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（）
①的同态核是的不变子群；②的不变子群的逆象是的不变子群；③的子群的象是的子群；④的不变子群的象是的不变子群。
8、设是环同态满射，，那么下列错误的结论为（）
①若是零元，则是零元；②若是单位元，则是单位元；
③若不是零因子，则不是零因子；④若是不交换的，则不交换。
9、下列正确的命题是（）
①欧氏环一定是唯一分解环；②主理想环必是欧氏环；
③唯一分解环必是主理想环；④唯一分解环必是欧氏环。
10、若是域的有限扩域，是的有限扩域，那么（）
①；②；
③；④。
三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。
每空1分，共10分）
1、设集合；，则有。
2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则。
3、设集合有一个分类，其中与是的两个类，如果，那么。
4、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为。
5、凯莱定理说：
任一个子群都同一个同构。
6、给出一个5-循环置换，那么。
7、若是有单位元的环的由生成的主理想，那么中的元素可以表达为。
8、若是一个有单位元的交换环，是的一个理想，那么是一个域当且仅当是。
9、整环的一个元叫做一个素元，如果。
10、若域的一个扩域叫做的一个代数扩域，如果。
四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。
指出错误1分，更正错误2分。
每小题3分，共15分）
1、如果一个集合的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在里，元的次序可以掉换。
2、有限群的另一定义：
一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。
3、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么。
4、唯一分解环的两个元和不一定会有最大公因子，若和都是和的最大公因子，那么必有。
5、叫做域的一个代数元，如果存在的都不等于零的元使得。
五、计算题（共15分，每小题分标在小题后）
1、给出下列四个四元置换
组成的群，试写出的乘法表，并且求出的单位元及和的所有子群。
2、设是模6的剩余类环，且。
如果、，计算、和以及它们的次数。
六、证明题（每小题10分，共40分）
1、设和是一个群的两个元且，又设的阶，的阶，并且，证明：
的阶。
2、设为实数集，，令，将的所有这样的变换构成一个集合，试证明：
对于变换普通的乘法，作成一个群。
3、设和为环的两个理想，试证和都是的理想。
4、设是有限可交换的环且含有单位元1，证明：
中的非零元不是可逆元就是零因子。
测验题
一、填空题（42分）
1、设集合与分别有代数运算与，且，则当时，也满足结合律；当时，也满足交换律。
2、对群中任意元素=；
3、设群G中元素a的阶是n，n|m则=；
4、设是任意一个循环群，若，则与同构；若，
则与同构；
5、设G=为6阶循环群，则G的生成元有；子群有；
6、n次对称群的阶是；置换的阶是；
7、设，则；
8、设，则；
9、设H是有限群G的一个子群，则|G|=；
10、任意一个群都同一个同构。
二、证明题（24）
1、设G为n阶有限群，证明：
G中每个元素都满足方程。
2、叙述群G的一个非空子集H作成子群的充要条件，并证明群G的任意两个子群H与K的交仍然是G的一个子群。
3、证明:
如果群G中每个元素都满足方程，则G必为交换群。
三、解答题（34）
1、叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z对运算作成群。
2、写出三次对称群的所有子群并写出关于子群H=｛
（1），（23）｝的所有左陪集和所有右陪集。
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