网络的稳定性无源性和耗散性.docx

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网络的稳定性无源性和耗散性

网络的稳定性、无源性和耗散性

　　　　　　电网络分析选论结课论文　　网络的稳定性、无源性和耗散性　　目录　　第1章概述...................................................................................................................................1第2章网络的稳定性...................................................................................................................2系统平衡点稳定性定义...................................................................................................2　　自治系统平衡点稳定性...........................................................................................2时变系统平衡点稳定性...........................................................................................3平衡点稳定性判别方法...................................................................................................4自治系统平衡点稳定性判据...................................................................................4时变系统平衡点稳定性判别...................................................................................6　　　　Lyapunov函数的构造方法..............................................................................................6..........................................................................................................................7Lp稳定性　　8L2增益..............................................................................................................................小增益定理.......................................................................................................................9　　第3章网络的无源性.................................................................................................................10　　无源性的概念.................................................................................................................10无源性条件.....................................................................................................................11　　第4章网络的耗散性.................................................................................................................13　　耗散性定义.....................................................................................................................13耗散性意义：

.................................................................................................................14　　第5章三者之间的关系.............................................................................................................16　　无源性与稳定性关系.....................................................................................................16无源性与耗散性的关系.................................................................................................17　　

　　　　　　电网络分析选论结课论文　　?

（x）?

||x||2。

（2）V3则系统在平衡点x?

0处是局部指数稳定的。

如果对于任意的x?

Rn，条件、都成立，　　则平衡点是全局指数稳定的。

　　4.不稳定定理　　定理对于式（2-1）系统，令x?

0是平衡点，D?

Rn是包含x?

0的域。

若存在连续可微函数V:

R，有V（0）?

0，并且对于在原点的任意小邻域内有V（x0）?

0。

（x）?

0。

则此时系统同时，定义集合U?

{x?

Br|V（x）?

0},Br?

{x?

D|||x||?

r}，在域U内V在平衡点是不稳定的。

　　5.线性定常系统稳定性判别　　现在考虑自治系统的特例线性定常系统的情况。

线性定常系统描述为　　?

Ax,x（0）?

x0x（2-11）　　其中，A是非奇异阵。

式（2-11）系统有唯一的平衡点xe?

0。

则平衡点的稳定性可如下定理判别。

　　定理对于式（2-11）系统，平衡点xe?

0是渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征根满足Re?

0，即矩阵A为Hurwitz矩阵。

而矩阵A特征根均为负实部，当且仅当对任意给定的正定对称阵Q，存在满足如下Lyapunov方程的对称正定阵P，而且，如果A阵是稳定阵，那么，P是方程的唯一解。

　　　　6.非线性系统的线性化　　考虑式（2-1）非线性系统，其中，f:

Rn是连续可微的函数，x?

0包含在D中，且是平衡点，f（0）?

0。

中值定理有　　　　fi（x）?

fi（0）?

fi（z）x,i?

1,2,...,n?

xPA?

ATP?

Q　　（2-12）　　（2-13）　　其中，z是连接x与原点的线段上的一点。

于f（0）?

0，则　　所以有　　其中，A?

fi（x）?

fi?

f（z）x?

i（0）x?

[i（z）?

i（0）]x?

Ax?

g（x）x（2-14）　　（2-15）　　?

fi?

f（0），g（x）?

[i（z）?

i（0）]x。

fi?

f的连续性，有当||x||?

0时，（z）?

i（0）||||x||，于　　?

x函数g（x）满足不等式g（x）?

||||g（x）||?

0。

这意味着在原点的很小的邻域内，非线性系统可以用它的关于原点的线性化||x||?

f（x）在原点的稳定性可以用其近似方程中矩阵A来判别。

进而有?

Ax来近似表示，则xx下面的Lyapunov间接定理。

　　定理对于式（2-1）系统，x?

0是平衡点，f:

Rn连续可微，D是原点的一个邻域。

令A?

f（x）|x?

0，则?

x5　　电网络分析选论结课论文　　

（1）如果A的所有特征根均为负实部Re?

0，原点是渐近稳定的。

（2）如果A的特征根有一个或多个Re?

0，原点是不稳定的。

　　注定理并未给出对于所有的特征根Re?

0，对于一些特征根Re?

0的情况的结论，在这种情况下，用线性化不能确定原点的稳定性。

时变系统平衡点稳定性判别　　本节将讨论式（2-6）时变系统的平衡点xe?

0是稳定或渐近稳定的条件。

注意，与自治系统相比，时变系统的稳定性分析增加了一致性的概念。

　　设U?

Rn是原点x?

0的一个邻域，J?

[t0,?

）,t0?

0是初始时刻。

　　定理对于式（2-6）系统，若存在连续可微的正定函数　　，并且V沿式（2-6）系统的轨迹对t的导数V（t,x）（V:

R）　　?

（t,x）?

Vf（t,x）V?

x（2-16）　　是连续半负定的，则x?

0是该系统稳定的平衡点。

若V（t,x）是正定且渐小的，即存在正定函数W1（x）,W1（x），使得W1（x）?

V（t,x）?

W2（x）,?

（t,x）?

U，则平衡点是一致Lyapunov稳定的。

　　定理对于式（2-6）系统，若存在连续可微函数　　V:

[0,?

）?

R（U?

{x|x?

Rn,||x||?

r}），和连续正定函数W1（x）,W2（x）,W3（x），使得V（t,x）和　　沿式（2-6）系统的任意轨迹V（t,x）的时间导数满足　　

（1）W1（x）?

V（t,x）?

W2（x）　　

（2）　　?

f（t,x）?

W3（x）?

x则x?

0是该系统的一致渐近稳定的平衡点。

如果U?

Rn，W1（x）是径向无界，则x?

0是该系统的全局一致渐近稳定的平衡点。

　　定理对于式（2-6）系统，若V（t,x）:

R是系统的Lyapunov函数，且满足　　

（1）r1||x||2?

V（t,x）?

r2||x||2,?

（t,x）?

U；

（2）　　dV（t,x）?

||x||2,?

（t,x）?

U。

dt其中，r1?

0,r2?

0,?

0为给定常数，则零解x?

0是指数稳定的。

　　Lyapunov函数的构造方法　　以下是一些实际中常采用的V（x）函数构造方法。

Ax1.线性定常系统：

x取Q?

I，解ATP?

PA?

Q，求出P，P的正定性判别系统稳定性。

因此，V（x）函数构造为V（x）?

xTPx。

A（t）x2.线性时变系统：

（t）?

AT（t）P（t）?

P（t）A（t）?

Q（t），求出P（t），P（t）连续、对称、正定判取Q?

I，解?

P别系统稳定性。

因此，V（t,x）函数构造为V（t,x）?

xTP（t）x。

f（x）3.非线性自治系统：

x6　　电网络分析选论结课论文　　

（1）Jacobian矩阵法　　?

f1?

f2?

先计算Jacobian矩阵J（x）?

x1?

fn?

f1?

x2?

f2?

x2?

fn?

x2?

f1?

xn?

f2?

...?

xn?

，选取V（x）?

fTPf?

TPx?

，P为?

fn?

...?

xn?

...对称正定阵，则V（x）的时间导数为　　?

TPf?

fTPf?

[J（x）f（x）]TPf?

fTP[J（x）f（x）]?

fT[JT（x）P?

PJ（x）]f?

（x）?

fV令Q?

JT（x）P?

PJ（x），则给定Q，求出P，P的正定性判别系统稳定性。

　　特例，P?

I，则V（x）?

fT（x）f（x）,?

JT（x）?

J（x），是克拉索夫斯基法。

（2）变量梯度法　　?

Vn?

V（x）?

，其中?

Vi?

Pij（x）xj，若选取Pij（x）使得　　j?

Vn?

xn?

Vx?

...?

3Vxx?

x1?

x2?

xn为负，同时满足旋度方程　　?

Vi?

Vj?

（i,j?

1,2,...n），则在此条件下求得?

xj?

xix2xnxx1V（x）?

Vdx?

V1（x1,0,0,...,0）dx1?

V2（x1,x2,0,...,0）dx2?

...?

Vn（x1,x2,...,xn）dxn　　Lp稳定性　　一般将非线性系统的动态过程描述为如下的状态空间表达式形式：

f（t,x,u）?

h（t,x,u）（2-17）　　式中，x?

Rn为该系统的内部状态；u?

Rm为系统外部输入信号；y?

Rq为系统输出信号。

在考虑外部输入信号作用下系统的输出响应特性分析时，可以采用输入—输出法来建模非线性系统，就像可以采用传递函数这种外部描述法来建模线性系统一样。

即非线性系统输入--输出之间关系被描述为如下形式：

　　（2-18）y?

Hu其中，H代表某种映射或算子，指定了输入y和输出u之间的关系。

下面研究工程系统的品质特性，即从映射或算子的角度给出非线性系统输入—输出稳定性的定义与判别方法。

　　1.　　Lp稳定性定义　　7　　电网络分析选论结课论文　　q定义考虑式（2-18）非线性系统，其中算子H:

Lmpe?

Lpe。

如果存在定义在[0,?

）上的　　）和一个非负常数?

，使得对任意T?

[0,?

），有K函数?

（?

　　||（Hu）T||Lp?

（||uT||）Lp?

Lmpe　　（2-19）　　||L表示向量空间的Lp范数。

成立，则称算子H是Lp稳定的。

其中|?

pq定义考虑式（2-18）非线性系统，其中算子H:

Lmpe?

Lpe。

如果存在非负常数?

和?

，　　使得对任意T?

[0,?

），有　　　　||（Hu）T||Lp?

||uT||Lp?

Lmpe　　（2-20）　　成立，则称算子H是有限增益Lp稳定的。

　　注如果p?

，Lp是一致有界信号L?

的空间，则L?

稳定性即为有界输入有界输出稳定性。

　　显然BIBO稳定意味着任何一个有界输入的激励响应都是有界的。

于范数的等价性，表征BIBO稳定的定义不局限于L?

空间或?

--范数。

实际上，只要输入信号在某种范数意义下有界时，输出信号也在同一范数意义下是有界的，则可称该系统是BIBO稳定的。

　　q定义考虑式（2-18）非线性系统，其中算子H:

Lmpe?

Lpe。

如果存在正常数r，使得　　对所有具有sup||u（t）||?

r的u?

Lmpe，有不等式（2-19）或不等式（2-20）成立，则称算子　　0?

qH:

Lmpe?

Lpe是小信号Lp稳定的或小信号有限增益Lp稳定的。

　　L2增益　　L2稳定性在系统分析中起着特殊的作用，因为是平方可积信号，因此常可看成为有限　　的能量信号。

在许多抗干扰控制问题中，系统可以被看成是从一个干扰输入u到一个被控制输出y的输入—输出映射，希望输出信号y很小。

如果使用L2输入信号，那么，控制设计的目的是保证输入—输出映射是有限增益L2稳定的，并且使系统的L2增益最小。

　　定理考虑线性定常系统　　?

Ax?

Bu?

Cx?

Du?

（2-21）　　其中，A为Hurwitz矩阵。

设G（s）?

C（sI?

A）?

1B?

D，则系统的L2增益是　　　　||y||L2||u||L2sup||G（j?

）||2?

max（GT（?

）G（j?

））?

max[G（j?

）]　　?

R（2-22）　　即　　?

sup||G（j?

）||2。

R定理考虑非线性自治系统　　8　　电网络分析选论结课论文　　　　?

f（x）?

g（x）u,x（0）?

x0?

h（x）?

（2-23）　　式中，x?

Rn,u?

Rm,y?

Rq,f:

Rn?

Rn是局部Lipschiz的，g:

Rn?

m,h:

Rn?

Rq在Rn上连续，且f（0）?

0,h（0）?

0。

如果存在一个连续可微的半正定函数V（x）和一个正数?

，使得　　?

TV?

如下不等式成立（?

）：

T　　?

V1?

TV1TTf（x）?

2g（x）g（x）?

h（x）h（x）?

0,?

Rn?

x22?

x（2-24）　　那么，对于所有的x?

Rn，系统是有限增益L2稳定的，且它的L2增益不大于?

。

　　小增益定理　　qqm图2-1中的系统是两个子系统H1:

Lmpe?

Lpe和H2:

Lpe?

Lpe反馈连接构成的。

假设两　　u1e?

1H1y1y2H2e?

2u2?

　　图2-1反馈连接系统　　个系统都是有限增益Lp稳定的，即有　　||y1T||Lp?

1||e1T||Lp?

1,?

e1?

Lmpe,?

[0.?

）||y2T||Lp?

2||e2T||Lp?

2,?

e2?

Lqpe,?

[0.?

）　　（2-25）（2-26）　　qmq进一步假设对每对输入u1?

Lmpe和u2?

Lpe，都存在唯一的输出e1,y2?

Lpe和e2,y1?

Lpe，　　在此意义下反馈系统有明确的定义　　?

u2?

y2?

e2?

下面的小增益定理给出了反馈连接系统有限增益Lp稳定性的一个条件。

　　定理对于图2-1反馈连接系统，在前面的假设条件下，如果?

1，则反馈连接系统是有限增益Lp稳定的。

　　　　　　电网络分析选论结课论文　　第3章网络的无源性　　无源性的概念电网络和物理学的分支[3]，是与系统的能量存储函数以及外部输入和输出信号相关的概念。

因此，无源性很好地把系统Lyapunov稳定性和L2稳定性联系起来，为分析非线性系统提供了一个有力的工具。

于无源性理论利用了物理系统的结构特点，无源性方法和其它控制技巧结合使用时，可以简化相应的控制方法，用无源化方法设计的非线性观察器观测器可以减少观测器的参数，而且它也可以简化自适应控制，鲁棒控制，滑模控制控制，神经网络和模糊控制。

近年来，无源性理论广泛应用于控制系统设计，机器人控制，机械系统，电力系统和化工过程等方面[3,4]。

　　无源性的概念　　无源性的概念电网络，所以用电路来阐述该定义。

图2-1图3-1所示是电压为u，电流为y的单端口电阻元件，把该元件看成是以电压u为输入，电流y为输出的系统。

h（u）?

Gu，G?

1/R为电导。

　　+u-yR　　图3-1无源电阻　　如果输入功率始终是非负，即如果在u?

y特性的每个点（u,y）都满足uy?

0，则该电阻元件是无源的。

对于一个多端口的网络，u?

Rp和y?

Rp是向量，流入网络的功率是内积　　uy?

uiyi?

uihi（u）。

如果对于所有u都有uTy?

0，则认为网络是无源的。

uTy?

0是无　　Ti?

1i?

1pp源性的极限情况。

在这种情况下，认为系统是无损耗的。

　　首先把这一无源性概念推广到无记忆非线性函数y?

h（t,u）其中，h:

[0,?

）?

Rp?

Rp。

　　定义考虑式（3-1）系统，　　如果uTy?

0，?

（t,u）?

[0,?

）?

Rp，则系统是无源的；如果uTy?

0，则系统是无损的；　　如果存在某一函数?

（u），满足uTy?

uT?

（u），则系统是输入前馈无源的；　　（3-1）　　如果满足uTy?

uT?

（u），?

0，且uT?

（u）?

0，则系统是输入严格无源的；如果存在某一函数?

（y），满足uTy?

yT?

（y），则系统是输出反馈无源的；如果满足uTy?

yT?

（y），?

0，且uT?

（y）?

0，则系统是输出严格无源的。

以下定义状态空间表达式描述的非线性系统　　10　　电网络分析选论结课论文　　　　?

f（x,u）?

h（x,u）?

（3-2）　　的无源性，其中，状态向量x?

D，D为Rn空间中含原点的子集或者整个空间，u?

Rp和　　y?

Rp分别为p维的输入信号和输出信号。

Rp?

Rn是局部Lipschitz的，　　h:

Rp?

Rp是连续的，且f（0,0）?

0，h（0,0）?

0。

　　定义对于式（3-2）系统，如果存在连续可微的半正定的函数V:

R，使得　　V（x（t））?

V（x（0））?

yT（s）u（s）ds,?

0　　0t（3-3）　　对任意的输入信号u?

Rp都成立，则称式（3-2）系统是无源的。

V（x）则称为能量存储函数，简称存储函数，式（3-3）称为耗散不等式。

若式（3-3）中只取不等号，或者存在正定函数Q（x），使得耗散不等式　　　　V（x（t））?

V（x（0））?

yT（s）u（s）ds-?

Q（x）d?

，?

0　　00tt（3-4）　　对任意的输入信号u都成立，则称该系统是严格无源的。

　　如果D不是整个空间，即只考虑局部特性，那么耗散不等式不要求对任意的输入u都成立，而是对那些使得状态停留在D内的输入信号u成立即可。

　　显然，上述定义可知，无源性是与系统的外部输入、输出信号相关的概念。

如果视　　那么耗散不等式（3-3）的左端就代表系统从初始时V（x（t））为系统t在时刻所具有的能量总和，　　刻t?

0到t时刻的能量的总增量。

如果进一步把yTu解释为伴随着输入u（t）外部注入到系统的能量供给率，那么式（3-3）的右端就是在0~t时间从外部注入系统的能量总和。

因此，耗　　散不等式的物理意义就在于，它表明系统的能量初始时刻t?

0到目前时刻的增长量总是小于等于外部注入的能量总和。

这就意味着无源系统的运动总是伴随着能量的损耗。

　　下面给出针对（3-2）系统给出一些无源性相关定义。

　　定义对于式（3-2）系统，如果存在连续可微的半正定的函数V（x），使得　　　　?

（x）?

uTy-?

uTu-?

yTy-?

（x），?

（x,u）?

RpV（3-5）　　则称式（3-2）系统是无源的，其中?

是非负常数，?

（x）是x的一个正定函数，且对于所有　　的解x（t）和任意使解存在的u（t），有?

（x）?

0。

更进一步，有　　?

（x）?

uTy，系统是无损的；如果?

0，且有V?

（x）?

uTy?

uTu，系统是输入严格无源的；如果?

0,?

0，即V?

（x）?

uTy?

yTy，系统是输出严格无源的；如果?

0,?

0，即V?

（x）?

uTy?

（x），系统是状态严格无源的；如果?

0,?

0，即V如果?

中多于一个为正，则可以合并命名，例如，?

0,?

0，则系统是输入输出严格无源的。

　　无源性条件　　考虑非线性系统　　11　　电网络分析选论结课论文　　　　?

f（x）?

g（x）u?

h（x）?

d（x）u?

（3-6）　　式中，x?

Rn，u?

Rp和y?

Rp分别为状态向量、输入信号和输出信号。

f（x）和h（x）分别为n维和p维的函数向量；g（x）为n?

p维的函数矩阵；d（x）为p?

p维的函数矩阵。

　　定义对于式（3-6）系统，若存在半正定函数V（x）、函数矩阵l（x）及w（x），使得　　?

VT?

xf（x）?

l（x）l（x）?

Vg（x）?

hT（x）?

2lT（x）w（x）?

1TT?

d（x）?

w（x）w（x）?

（3-7）　　成立，则称式（3-6）系统具有KYP特性。

　　定理式（3-6）系统是无源的充分必要条件是存在光滑可微的半正定存储函数V（x），使得该系统具有KYP特性。

　　考虑线性系统　　　　?

Ax?

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