一元二次方程应用答案详解.docx
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一元二次方程应用答案详解
一元二次方程应用
1：
某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？
解：
设没件降价为x，则可多售出5x件，每件服装盈利44-x元，
依题意x≤10
∴（44-x）（20+5x）=1600展开后化简得：
x²-44x+144=0
即（x-36）（x-4）=0∴x=4或x=36（舍）
即每件降价4元
要找准关系式
2.游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行·列数相同，增加了多少行多少列？
解：
设增加x（8+x）（12+x）=96+69x=3
增加了3行3列
3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：
单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。
在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价
解:
（1）若销售单价为x元,则每千克降低了（70-x）元,日均多售出2（70-x）千克,日均销售量为[60+2（70-x）]千克,每千克获利（x-30）元.
依题意得:
y=（x-30）[60+2（70-x）]-500
=-2x^2+260x-6500
（30<=x<=70）
（2）当日均获利最多时：
单价为65元，日均销售量为60+2（70-65）＝70kg，那么获总利为1950*7000/70＝195000元,当销售单价最高时：
单价为70元，日均销售60kg，将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为（70-30）*7000-117*500＝221500
元,而221500>195000时且221500-195000=26500元.
∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元.
4..运动员起跑20m后速度才能达到最大速度10m/s,若运动员的速度是均匀增加的,则他起跑开始到10m处时需要多少s?
解：
（0+10）除2为平均增加为5
（0+5a）除2乘a
5.一辆警车停在路边,当警车发现一辆一8M/S的速度匀速行驶的货车有违章行为,决定追赶,经过2.5s,警车行驶100m追上货车.试问
（1）从开始加速到追上货车,警车的速度平均每秒增加多少m?
（2）从开始加速到行驶64m处是用多长时间?
解：
2.5*8=20100-20=8080/8=10
100/【（0+10a）/2】=10解方程为2
64/【（0+2a）/2】=a解方程为8
6.一容器装满20L纯酒精，第一次倒出若干升后，用水加满，第二次又倒出同样升数的混合液，再用水加满，容器里只有5L的纯酒精，第一次倒出的酒精多少升？
（过程）
解：
设第一次倒出x升，则第二次为x（20-x）/20.（此处为剩下的酒精占总体积20升的多少即比率然后乘上倒出的升数即为倒出的纯酒精数
则20-x-x（20-x）/20=5
解得x=10
6.1一个长方体的长与宽的比为5：
2，高为5厘米，表面积为40平方厘米。
画出这个长方体的展开图，及其过程（设未知数）
解：
设宽为2x，长为5x。
2*（2x*5x+2x*5+5x*5）=40
10x的平方+35x-20=0
x=1/2
宽为1厘米，长为2.5厘米
7.用一个白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制作25个盒身，或制作盒底40个，一个盒身和两个盒底配成一套罐头盒。
现在有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身和盒底正好配套？
8.用含30%和75%的两种防腐药水，配置含药50%的防腐药水18kg，两种药水各需取多少？
7、解：
设用X张制罐身用Y张制罐底则X+Y=36X=36-Y25X=40Y/2X=4Y/54Y/5=36-YY=20X=16
8、解：
设30%的取X75%的取Y则30%*X+75%Y=50%*186X+15Y=180
X+Y=18X=18-Y6*18-6Y+15Y=180
Y=8X=10
9.印度古算术书中有这样一首诗：
“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余使二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起。
”
解：
设共有x只猴子，列方程得
x-（x/8）^2=12
解得：
X=48
10.现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，需要剪去边长多少的小正方形才能做成底面积为77平方cm的无盖长方形的纸盒？
解：
设边长x
则（19-2x）（15-2x）=77
4x^2-68x+208=0
x^2-17x+52=0
（x-13）（x-4）=0,当x=13时19-2x<0不合题意,舍去
故x=4
11.某超市一月分销售额是20万元，以后每月的利润都比上个月的利润增长10%，则二月分销售额是多少？
3月的销售额是多少？
解：
二月20*（1+0.1）=22三月22*（1+0.1）=24.2
12.某企业2007年利润为50万元，如果以后每年的利润都比上年的利润增长x%。
那么2009年的年利润将达到多少万元？
解：
50*（1+x%）^2
13.某种药品两次降价，价格降低了36%，求每次降价的百分率
解：
设每次降价的百分率x
x^2=36%
x=60%
14.某厂经过两年体制改革和技术革新，生产效率翻了一番，求平均每年的增长率（精确到0.1%）
解：
设平均每年的增长率x
（x+1）^2=2
x=0.414
15.学校组织一次兵乓球比赛,参赛的每两个选手都要比赛一场,所有比赛一共有36场,问有多少名同学参赛？
用一元二次方程，化成一般形式。
解：
设有X名同学参赛，X*（X-1）/2=36，
一般形式：
X方-X-72=0
答案：
X=9
16. 一拖拉机厂，一月份生产出甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型16台，从二月份起，甲型每月增产10台，乙型每月按相同的增长率逐月递增，又知二月份甲、乙两型的产量之比为3：
2，三月份甲、乙两型产量之和为65台，求乙型拖拉机每月增长率及甲型拖拉机一月份的产量。
解：
设乙的增长率为X，那么二月乙就是16（1+X）台，甲就是16（1+X）×3÷2；三月乙就是16（1+X）²台，甲就是16（1+X）×3÷2+10台，所以列出算式16（1+X）²+16（1+X）×3÷2+10=65 求解，然后可以分别算出一月二月乙的产量，然后就可以解得甲的产量了17.
17.如图，出发沿BC匀速向点C运动。
已知点N的速度每秒比点M快1cm，两点同时出发，运动3秒后相距10cm。
求点M和点N运动的速度。
解:
设M速度x，则N为（x+1），（BC—3x）的平方加上3（x+1）的平方=10的平方，解得x=1或x=5/3又因为AC=7，所以x=1，M的速度为1m/s，N的速度2m/s
18.用长为100cm的金属丝做一个矩形框.李明做的矩形框的面积为400平方厘米，而王宁做的矩形框的面积为600平方厘米，你知道这是为什么吗？
解：
设矩形一边长为X厘米，则相邻一边长为1/2（100-2X）厘米，即（50-X）厘米，依题意得：
X*（50-X）=400解之得：
X1=40,X2=10;
X*（50-X）=600解之得：
X1=20,X2=30；
所以李明做的矩形的长是40厘米，宽是10厘米；
王宁做的矩形的长是30厘米，宽是20厘米。
19.某商品进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果售价超过50元，但不超过80元，每件商品的售价每上涨10元，每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，每件商品的售价每涨1元，每个月少卖3件。
设该商品的售价为X元。
（1）、每件商品的利润为 元。
若超过50元，但不超过80元，每月售 件。
若超过80元，每月售 件。
（用X的式子填空。
）
（2）、若超过50元但是不超过80元，售价为多少时利润可达到7200元
（3）、若超过80元，售价为多少时利润为7500元。
解：
1）x-40 210-（x-40）\10 210-（x-40）\10-3（x-80）
（2）设售价为a （a-40）[210-（a-40）\10=7200
（3）设售价为b （b-40）[210-（b-40）\10-3（b-80）=7500 （第2、3问也可设该商品的售价为X1 x2元）
20.某商场销售一批衬衫，平均每天可出售30件，每件赚50元，为扩大销售，加盈利，尽量减少库存，商场决定降价，如果每件降1元，商场平均每天可多卖2件，若商场平均每天要赚2100元，问衬衫降价多少元
解：
衬衫降价x元
2100=（50-x）（30+2x）=1500+70x-x^2
x^2-70x+600=0
（x-10）（x-60）=0
x-60=0x=60>50舍去
x-10=0 x=10
21.在一块面积为888平方厘米的矩形材料的四角，各剪掉一个大小相同的正方形（剪掉的正方形作废料处理，不再使用），做成一个无盖的长方体盒子，要求盒子的长为25cm，宽为高的2倍，盒子的宽和高应为多少？
解：
设剪去正方形的边长为x,x同时是盒子的高，则盒子宽为2x;
矩形材料的尺寸：
长：
25+2x
宽：
4x;
（25+2x）*4x=888,
解得：
x1=6,x2=-18.5（舍去）
盒子的宽：
12cm；盒子的高：
6cm。
22.甲乙二人分别从相聚20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B地后乙还需30分钟才能到达A地，求乙每小时走多少千米？
解：
可以设乙每小时走a千米
乙从中点相遇后到A地需要时间10/a
甲从中点相遇后到B地需要时间10/a-0.5
根据题意建立方程
（10/a-0.5）（a+1）=10
a=4
即乙每小时走4千米
23.某企业2005年初投资100万元生产适销对路的产品，2005年底，将获得的利润与年初的投资和作为2006年初的投资。
道2006年底，两年共获得56万元，已知2006年的年获利率比2005年的年获利率多10个百分点，求2005和2006年的年获利率各是多少
解设2005年获利率是x
100x+100（1+x）（x+0.1）=56
100x+100x平方+110x+10-56=0
100x平方+210x-46=0
（20x+46）（5x-1）=0
x1=-2.3（舍）x2=0.2
0.2+0.1=0.3
2005年获利率是20%，2006年获利率是30%
24.某公司生产开发了960件新产品，需要经过加工后才能投放市场，现在有A，B两个工厂都想参加加工这批产品，已知A工厂单独加工这批产品比B工厂单独加工这批产品要多用20天，而B工厂每天比A工厂多加工8件产品，公司需要支付给A工厂每天80元的加工费，B工厂每天120元的加工费。
1.A，B两个工厂每天各能加工多少件新产品？
2.公司制定产品方案如下：
可以由每个厂家单独完成；也可以由两个厂家同时合作完成。
在加工过程中，公司需要派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费。
请帮助公司选择哪家工厂加工比较省钱，并说明理由。
解：
1.设A每天加工x件产品，则B每天加工x+8件产品
由题意得960/x-960/（x+8）=20
解得x=16件
所以A每天加工16件产品，则B每天加工24件产品
2.设让A加工x件，B加工960-x件
则公司费用为x/16*（80+5）+（960-x）/24*（120+5）
化简为5/48*x+5000
所以x=0时最省钱，即全让B厂加工
27.某学校以21元的价格购进一批计算器，该学校自行定价，但每只加价不能超过进价的50％，若每只以a元出售，可卖出（3400—50a）。
请根据上列条件，并提出一个问题，并解答
某商店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的30%。
若每件商品售价为a元，则可卖出（350-10a）。
商品计划要赚400元，则需要卖出多少件商品？
每件商品售价多少元？
解：
（a-21）*（350-10a）=400
-10a^2+560a=-7350
a^2-56a=-735
配方得：
a^2-56a+28^2=-735+28^2
（a-28）^2=9
解得：
a=31或25
验证：
a=31时，（31-21）/21=47.6%不合法，
a=25时，（25-21）/21=19.0%合法。
答：
每件商品售价25元，需要卖出100件。
28.一张桌子的桌面长6米 宽为4米。
长方形台布的面积是桌面面积的两倍。
若将台布铺在桌子上四边（四个角除外）垂下的长度相同，求这块台布的长和宽。
解：
设垂下的长度为a，
则：
（6+a）*（4+a）＝2*4*6
解得：
a＝2或a＝-12（舍去），台布的长、宽分别为8、6
29.一元二次方程解应用题将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，如果该商品每涨价1元，其销售量就减少10个。
商店为了赚取8000元的利润，这种商品的售价应定为多少?
应进货多少？
解：
利润是标价-进价
设涨价x元,则:
（10+x）（500-10x）=8000
5000-100x+500x-10x^2=8000
x^2-40x+300=0
（x-20）^2=100
x-20=10或x-20=-10
x=30或x=10
经检验,x的值符合题意
所以售价为80元或60元
所以应进8000/（10+x）=200个或400个
所以应标价为80元或60元
应进200个或400个
30.甲、乙两名职工接受相同数量的生产任务，开始时，乙比甲每天少做四件，乙比甲多用了2天时间，这样甲、乙两人各剩624件；随后，乙改进了生产技术，每天比原来多做6件，而甲每天的工作量不变，结果两人完成全部生产任务所用的时间相同。
原来甲乙两人每天各做多少件？
没人的全部生产任务是多少?
解：
设每人的全部生产任务是y件，甲每天做X+4件，乙原来每天做X件，依题意得：
（y-624）/x=（y-624）/（x+4）+2 1式 （因为开始时，乙比甲每天少做4件，乙比甲多用了2天的时间，这样甲、乙两人各剩624件~~即根据时间关系列等式）
（y-624）/x+624/（x+6）=y/（x+4） 2式（结果两人完成全部生产任务所用的时间相同~~~也是根据时间关系列等式）
由1，2式得：
（X+30）*（X-20）=0
解之得：
X=20,X+4=24，，y=864
答：
每人的全部生产任务是864件，甲每天做24件，乙原来每天做20件。
31.用22厘米长的铁丝，折成一个面积为30平方厘米的长方形，求这个长方形的长和宽。
又问：
能否折成面积是32平方厘米的长方形呢？
为什么？
解：
设长方形的长为x厘米，那么宽为11-x厘米
x（11-x）=32
-x²+11x-32=0
由根的判别式：
11²-4×1×32=121-128=-7<0
没有实数根
所以无法折成面积是32平方厘米的长方形
长方形的长宽多少？
解：
x（11-x）=30
-x²+11x-30=0
x²-11x+30=0
（x-5）（x-6）=0
x=5或6
这个长方形的长和宽为6厘米和5厘米
32.一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35千米/时的速度前进，突然，1号队员以45千米/时的速度独自前进，行进10千米后调转车头，仍以45千米/时的速度往回骑，直到与其他队员会合，1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了多少时间
解：
设一共用了x小时，得：
35x=10-45（x-10/45）
35x=10-45x+10
80x=20
x=1/4答：
1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了1/4小时。
34.参加一次聚会的每两个人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？
35.参加一次足球联赛的每两个队之间都进行两次比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？
36.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？
解：
34、n（n-1）\2=10
n=5
35、x（x-1）\2*2=90
x=10
36、y（y-1）\2=15
y=6
37.某公司生产开发了960件新产品，需要经过加工后才能投放市场，现在有A，B两个工厂都想参加加工这批产品，已知A工厂单独加工这批产品比B工厂单独加工这批产品要多用20天，而B工厂每天比A工厂多加工8件产品，公司需要支付给A工厂每天80元的加工费，B工厂每天120元的加工费。
1.A，B两个工厂每天各能加工多少件新产品？
2.公司制定产品方案如下：
可以由每个厂家单独完成；也可以由两个厂家同时合作完成。
在加工过程中，公司需要派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费。
请帮助公司选择哪家工厂加工比较省钱，并说明理由。
解：
1.设A每天加工x件产品，则B每天加工x+8件产品
由题意得960/x-960/（x+8）=20
解得x=16件
所以A每天加工16件产品，则B每天加工24件产品
2.设让A加工x件，B加工960-x件
则公司费用为x/16*（80+5）+（960-x）/24*（120+5）
化简为5/48*x+5000
所以x=0时最省钱，即全让B厂加工
37.在某场象棋比赛中，每位选手和其他选手赛一场，胜者记2分，败者记0分，平局各记1分，今有四位统计员统计了全部选手的得分之和分别是2025分、2027分、2080分、2085分，经核实，只有一位统计员的结果是正确的，问这场比赛有几位选手参加？
解：
无论如何，每一局两人合计都应得2分，所以最终的总得分一定是偶数，由于2025、2027、2085都是奇数，所以都不符合题意，所以正确的是第三个记分员
设有x人参加，则一共比了x（x-1）/2局
你的数字似乎有错，请确认是否为2070，而不是2080（2080得不出整数解）
x（x-1）/2=2070/2
x²-x-2070=0
（x-46）（x+45）=0
x1=46，x2=-45（舍）
答：
一共有46位选手参加.
39.如图，在一块长35M，宽26M的矩形地面上，修剪同样宽的两条互相垂直的道路，（两条道路与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850M²，道路的宽应为多少？
图是39题的。
据转换思想
1解：
可设道路的宽为Xm
（35-x）（26-x）=850
x^2-61x+60=0
（x-1）（x-60）=0
x1=1，x2=60
x2=60与题意不符
所以x1=1
道路的宽为1m
40.游行队伍有8行12列，后又增加69人，使得队伍增加的行、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？
解：
设增加x行，即x列
8*12+69=（8+x）（12+x）
69=x^2+20x
x^2+20x-69=0
（x-3）（x+23）=0
x1=-23x2=3x1=-23与题意不符所以x=3
41.随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2006年底拥有家庭轿车64辆，2008年底家庭轿车的拥有量达到100辆.
（1）若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2009年底家庭轿车将达到多少辆？
（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？
试写出所有可能的方案.
（1）.解：
设增长率是x.
64（1+x）²=100x=0.25
2009年有100（1+0.25）=125
（2）解：
设室内车位为X，则室外车位为（150000-5000X）/1000
有条件得到：
0<=2X<=（150000-5000X）/1000<=2.5X
得到20<=X<=21.4
X为整数
所以X取20或21
当X=20是，室内车位为50
当X=21时，室内车位45
所以最多能有70个车位
42.为一副长20CM宽16CM的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的二分之一，镜框边的宽度应为多少
解：
方法一：
镜框边的宽度为xcm,照片长加两个宽度，宽加两个宽度，外部变成一个大长方形，故大长方形的长为（20+2x）cm，宽为（16+2x）cm，大长方形面积减去照片（小长方形）面积就是镜框的面积。
（20+2x）（16+2x）-20*16=20*16/2
4x^2+72x-160=0
x^2+18x-40=0
（x+20）（x-2）=0
x=2,x=-20（舍去）
镜框边的宽度应为2cm
方法二：
镜框的面积就是两个以照片长为长、镜框边的宽度为宽的长方形面积，两个以照片宽为长、镜框边的宽度为宽的长方形面积，四个以镜框边的宽度为边长的小正方形面积三部分组成。
2（20x）+2（16x）+4x^2=20*16/2
4x^2+72x-160=0
x^2+18x-40=0
（x+20）（x-2）=0
x=2,x=-20（舍去）
镜框边的宽度应为2cm
43．将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖出500个，已知该商品每降价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少？
这时进货应为多少个？
解：
设售价应定为x元，根据题意列方程得
整理得
（x－60）（x－80）＝0
解得x1＝60，x2＝80
答：
当x1＝60时，进货量为400个
当x2＝80时，进货量为200个
44．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a元，可以卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20％，商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品？
每件商品售价多少？
解：
由题意列方程得，a（350-10a）-21（350-10a）=400
（a-25）（a-31）=0
解得，a1＝25，a2＝31
∵
∴a2＝31不合题意,舍去
350-10a＝100
答：
需要卖出100品，商品售价25元
分析：
根据表格可以看出每件的售价每降1元时，每日就多销售1件，根据这个隐含条件就可以得出此类型题和以上的练习非常相似了
45.目标P16实践与探究
每件商品的成本是120元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系，但每天的盈利（元）却不一样。
为找到每件产品的最佳定价，商场经理请一位营销策划员通过计算，在不改变每件售价（元）与日销售量（件）之间的数量关系的情况下，每件定价为m元时，每日盈利可以达到最佳值1600元。
请你做
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