一篇数学专业参考书目及一些看法.docx

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一篇数学专业参考书目及一些看法

一篇数学专业参考书目及一些看法-

最近在网上看到这篇帖子，觉得不错，分享一下，以下是原文。

这是作者翻了很多书后的感受.由于作者读书并不仔细,所以对很多书的评价会很片面.希望同学们可以批评指正.当然,介绍远不全面,同时希望有兴趣的同学给予补充.一般来讲后面介绍的书都可以在新浪爱问共享资料中找到,有兴趣的同学可以下载参考.提醒同学们注意,英文版的数学教材可能是（从语法的复杂程度和词汇量角度来讲）最容易读的英文教材（与物理,化学,生物,地理,计算机等学科相比）.还有,一般来讲,苏联书有的原著比翻译好,有的翻译比原著强（因为有的书粗制滥造）,并且一般英译版比中译版更忠实于原著.并且苏联书一般不适合初学者,但有时例外.法兰西经典译丛中有不少好书,书是极好的书,但有些翻译的并不令人满意,所以,有时找来英文版参考是有必要的.但英文版并不一定能在爱问中找到,不过同学们可以试试图书馆,说不定里面有.美国的书比较多,有些比较经典,当然有些是很难的.一般来讲,有剑桥的标志的书都相对来讲是人民群众喜闻乐见的书.大多数适合初学者.丘成桐先生曾找出一套书组织人进行翻译.有些书翻译的并不理想,但更重要的是选者的眼光,丘老先生选的书一般都是极经典极值得一读的,并且原著一般在爱问上能下载到.从日本引进的教材,一般讲法比较古典,但是很多是写得极精彩极细致的书,很是值得一看.一般来讲,凡是科大的书写的都比较晦涩难懂,初学者读起来很是困难.有时会有一些问题用高超的技巧掩饰了更本质的东西.所以看到科大的书,初学时要谨慎选择.不过在学完相关内容之后可以参考科大的书,这可以看做对所学内容的极好的考查.北大常有经典教材出现.同学们有时间可以读一读A.ConnesAdvicetothebeginnerM.Atiyah给年轻数学工作者的建议和当代数学----为了人类心智的荣耀都是很好的东西,前者是两篇文章,后者是极好的科普书.最后,钞些丘成桐的话共勉“古人讲’开卷有益’,其实是很对的求学方法.我常看一些难懂的书,当时虽然不懂,有时也忘了书中的内容.后来过了几年,回想起来,都觉得很有帮助.”“给位都看到我数学念得很好,事实上我的求学过程中数学成绩是有高有低的,考试有时好,有时不好.因为当你每次考得很好时,就容易被一定的方法固定住.考试事实上并不能真正测出你对问题懂了没有,重要的是你自己真懂了吗?

......以后我教过20多个研究生.有些研究生,他们在高中,大学是考试都考得很好,但是就是因为从前考得很好,以至于后来做研究做不好时就颓丧,灰心,站都站不起来.这些可能跟家长的观念有关.尤其是中国的学生都将考试看得很重.这不是重要的,却看得很重要.”“中国人通常不太会找问题,我觉得解决问题的能力固然很重要,但是训练寻找问题的能力似乎更重要.你可以一辈子做研究,解决你所得到的第二流问题.但是你却不能捡到第一流的问题.会主动寻找问题的人,才是第一流人物.训练寻找问题的能力必须从小培养起.在这个方面,外国学生找问题的能力似乎就比中国人强.另外,有关忍受挫折的能力,中国人也是较差的.我们做数学研究,常常是屡败屡战,往往错的时候比对的时候多得多.即使是错十次对一次,也是很好的.因为尝试错误越多的地方,你就越能从错的地方找到继续前进的方向.如此一来,牛就学习到更深思熟虑的能力.这跟下棋不能修改错误,或一次考试决定你是否成功是不一样的.”“一个好的数学家至少要掌握两门以上的基本功夫.基本功夫不是一朝一夕学来的…….你做基本功夫一定要做到你看一个题目,明明是未解决的问题,你还是可以坐下来,然后花功夫去解决它.即是你不能够解决它,可是你至少晓得怎样去想办法.同时不会恐慌,放弃.我想这是最重要的.往往我们因为基本功夫没做好,当一个深的题目或看法出现的时候我们就拒绝去接受,认为这些题目不重要,这是去解释自己问什么不能够去做某一个问题的时候最自然的想法.训练基本功夫要在研究生,大学生或中学生的时候.基本功夫怎样学好呢?

有时一本书看完了就放在一边,看了两三本书后就以为懂了.其实看书是不够的.重要的是做习题,因为只有在做习题的时候,你才晓得什么命题你不懂,也理解到前人遇到的困难在哪里.”同学们有时间可以多看看科普文章,丘成桐很多文章很多话是很振聋发聩的.最后的最后,提示同学们注意各种书后的参考文献.因为即使是比较一般的书,后面往往会引用比较牛逼的参考文献.数学分析分析可以说是本科阶段最难的课程.难并不是内容的难以理解,因为数学课一般来讲只要写得清楚,并且了解发现的历史,只要有充足的时间是可以读懂的.并且可以说数学是相对简单的科目.分析也是如此.那为什么说分析难呢?

答曰:

课时少.这是一个相当要命的问题.多到令人发指的内容要压缩在三个学期内讲完……难的不是内容难以读懂,而是不给你消化和适应的时间.我们分析课程的任务是很重的.因为我们的数学分析分析,不只是数学分析,还包括微积分.美国的处理方法一般是先修一个基础的微积分课程,类似我们的高等数学,然后再修高等微积分,或者数学分析.俄罗斯的处理方式和我们类似（实际上是我们效仿苏联）分析从头讲到尾,不先修微积分.但不论是哪类方式,一般总课时是四个学期.但是我们的总课时只有三个学期.所以留给我们思考和消化的时间就很少.所以一般来讲,往往在学完分析后我们要花时间看完一本高等微积分,做一定的习题（不论你考试考多少）,才能说学得差不多.有兴趣的同学可以更早的接触一些点集拓扑的内容,因为这些东西会给我们带来意想不到的直观.Rudin的基础拓扑或陈天权的第七章都值得一读.但后者更难一些.可以参考熊金城或芒克里斯的书.不过熊金城的书可能相对来讲好读一些.测度与积分学起来可能会感觉有些困难,但是实际上可能还不如隐函数定理难.因为在Lebesgue意义下的可积函数空间有意想不到的好性质.收敛定理是相当强有力的工具.并且有了积分理论作为工具,三角级数相关的内容就更容易理解.W.DunhamTheCalculusGallery-MasterpiecesfromNewtontoLebesgue（微积分的历程—从牛顿到勒贝格）这是一本相当不错的科普.但初看并不容易一口气看完,其中还是有很多要思考的地方的.但学分析时看看,大有裨益.当然国内也有不少比较不错的科普,如张景中写得的一套书,张远楠写的一套书.对加深理解是很有好处的.如果在学分析时感觉很多东西不习惯的话,可以看看数学史.很多问题了解了提出的背景,接受起来就比较舒服.相关的历史在齐民友的’重温微积分’中有,如果想要更详细的了解,就需要查一些专门的数学史的书了.关于数学分析的内容,同学们可以参考陈天权数学分析讲义的前言与后记,还有他写的关于教学感受的论文’数学分析教学中学到的和想到的’同济版高等数学前面说道洋人一般先学微积分,再学数学分析,这是有道理的.话说同济版的高等数学可以说是一本相当成功的微积分教材.经过多次改版后,在国内被广泛使用.被齐民友先生评为:

”此书立论平正，平易近人，易教易学，作为进一步学习的出发点是够用的．”当然，齐还说:

”我对现在的教材绝大部分是肯定的，因为它们帮助读者了解一门科学的基本内容.”所以分析有些部分感觉难以入手,不妨先看看这本书.从这本书中一般可以大概知道一些东西怎么算.对很多内容有一个感性的认识.如果同学们能做一下书后的习题.可以说相关计算是够用的（相比之下吉米实在太多了）.张筑生数学分析新讲这本书可以说是初学分析的首选参考书.关于作者的伟大事迹可以在网上查到.有网友评论说张的书:

”文笔清晰详细,证明深入浅出,通俗易懂”可以说是很恰当的.这套书的特点就是起点不高.但是内容并不浅,可以算是比较深刻的.但更可贵的是书中的证明写得及其细致”自然”,或者更确切的说是让读者读起来感觉每一步都自然得令人发指,没有一点故弄玄虚的感觉.可以说作者最大程度考虑了读者的感受,选择了最合适的切入点,一步步直达问题的本质.有兴趣的同学可以将本书的内容与其它书比较,一般来讲会得出”我擦泪,张筑生好牛逼啊,真的好牛逼啊,竟然能把问题讲的那样明白!

”之类的感觉.但本书有两个小缺点,一是没有习题,二是文风比较平淡（当然这跟个人喜好有关）,不像Dieudonné的书那样激情四射.但总的来说,内容相对偏古典（微分不谈流形,积分不讲测度,收敛不涉及函数空间）的数学分析教本中最好的一本.最后,这本书相当实用.后续课程中很多重要定理这本书中都有证明.比如常微分方程的存在唯一性定理,积分因子的存在性等.并且关于曲线,曲面的几何性质的介绍中,很多地方处理的比很多（古典）微分几何教本简明生动,直观易学.陈天权数学分析讲义重口味的分析学参考书.可以说是内容相对现代的数学分析教材中最好的一套.对数学感兴趣的同学可以参考一下书的前言和目录.很多讲解是极清楚的,证明也写得很漂亮.由于是教学改革的书,其中加入了应该加入的很多相对近代的内容.所以很多问题讲起来就更加清晰,更加本质.内容虽然抽象近代,作者的写作风格相对比较激情,读起来很有意思,但想完全读懂却要花不小的力气（虽然作者已经讲得相当明白）但是这些花费是异常值得的.最后个人感觉有兴趣致力于做吉米多维奇习题的同学不妨改为做这套书的书后习题,如果能在大四毕业前大概看一遍,是相当有好处的.陶哲轩陶哲轩实分析不要误解”实分析”的书名,大多同学看到这一书名的第一反应应该是这是一本讲实变函数的书.其实满不是.书名译成实数学分析更合适.虽然书中也讲一些Lebesgue积分的内容,但更类似于”数学分析”的程度.书的内容不如陈天权现代,有些地方比张筑生现代.文风相对活泼,口语化,讲解得严谨透彻,很多地方比陈天权讲得详细,值得参考.高木贞治高等微积分（解析概论）传说影响了一代日本数学家的分析教材.内容相对古典,证明处理干净利落,讲解到位,读起来很舒服.其中解析函数的引入相当漂亮,可以说是数学分析中引入复函数相关内容的一大典范.辛钦数学分析八讲刚接触分析时,如果觉得难以入门,ε-语言难以掌握,或者不明白它到底有什么作用.辛钦先生这本小册子可以很漂亮的解决这一问题.读完这本书,读者对分析就会有不少感性的认识.小平邦彦微积分入门按作者的说法,本书受到高木贞治先生解析概论的影响随处可见.对三角函数的处理比较有特色.内容相对古典,但对于很多重要细节处理相当到位.我们在后续课程中遇到证明中的细节问题时,本书是非常不错的参考.盖尔鲍姆（B.R.Gelbaum），奥姆斯特德（J.M.H.Olmsted）分析中的反例书中蕴含了各种各样数学分析和实变函数中的奇奇怪怪的反例,薄薄的一本,但是很有用处.T.M.Apostol数学分析和Rudin齐名的传说中的分析书,内容丰富,实变,复变,泛函都带一些.有界变差函数和斯蒂尔切斯积分讲得相当漂亮,傅里叶级数部分很有意思.但是本书的一大缺点就是Lebesgue积分的定义想要避开测度理论.相关内容处理的比较别扭.再有,就是很多证明不像Rudin那样漂亮（如隐函数定理）.但总体上读起来感觉还是相当不错的.W.Rudin数学分析原理传说中的神书,内容丰富,处理精炼,简洁.只不过”与其说这是一部教科书,不如说这是一部字典”.证明一般漂亮得让人惊讶.但读起来相对来讲要花一些力气.主要是很多地方需要读得很仔细（包括习题,因为很多重要定理和例子被作者放在习题里）.不过作为讨论的材料或讲课的教本却很是合适.因为讲的时候可以展开或者加入一些例子什么的.齐民友重温微积分内容及其丰富的”文学作品”,。

每一章都强调有关理论的基本问题、基本理论和基本方法的历史的背景,其与物理科学的内在联系,其现代的发展与陈述方式特别是它与其他数学分支的关系。

同时对一些数学和物理学中重要的而学生常常不了解的问题作了阐述。

很是值得一读,缺点是细节处理很不到位,很多地方会出现各种各样的错误.但是作为上面所有书的参考书是很不错的.因为作者更强调历史背景与发展过程,所以对加深理解很有帮助.现代化程度与陈天权的书类似,但证明等各方面不如陈,不过讲解和历史故事很多,为别的书所没有.J.DieudonnéTreatiseonAnalysis（现代分析基础）法国书一般比较重口味,这本也不例外.每章前言说得激情四射,内容简洁明了,观点相当高,是学完分析后值得一读的一本书.习题相对比较难,但值得做.可以作为阅读陈天权的数学分析讲义时的参考书目.G.Choquet拓扑学教程虽然叫拓扑学,但本书更注重的是点集拓扑中与分析有关的内容.所以早年间的版本叫做分析与拓扑.这本书翻译的不错.是分析基础部分相当好的参考书.放在这里主要是因为郇中丹书中很多没写明白的东西（如滤子,上半连续等）在这本书中都交代的清清楚楚.P.Bamberg&S.SternbergAnalysis-ACourseinMathematicsforStudentsofPhysics引用陈天权老大爷的评价:

”本书对线性代数和多元微积分,包括微分形式,做了初等而详细的介绍.它的特色是详细介绍了多元微积分在物理和几何上的应用.用微分形式的语言介绍了电磁理论和热力学,并直观的介绍了拓扑学:

包括上同调,同调及deRham定理.虽然本书是为Harvard大学学物理的学生写的讲义,但对于学数学的学生也有很大的参考价值.”L.H.Loomis&S.SternbergAdvancedCalculus（高等微积分）Harvard大学高等微积分的荣誉课.丘成桐选译之一,翻译质量一般,书却绝对是好书.内容丰富,讲解到位,但是看一下需要不少时间,因为要看这本书必做习题,否则难以往后看.所以有时间的同学们可以参考.夏道行实变函数论与泛函分析（上册）起点不高,并且讲解清晰,适合初学,与周民强相比,强调抽象测度,习题要简单一些,内容相对容易接受.在学习数学分析的有关积分理论时可以作为不错的参考.卓里奇数学分析非常不错的书,但可能并不适合初学者.第二册相比第一册要牛逼得多.有兴趣的同学可以读一下.不知为何不讲Lebesgue积分,而泛函的内容却出奇的多.感觉翻译后的书不如陈天权好读.菲赫金哥尔茨微积分学教程传统分析教材中比较传奇的一本.感觉上作为字典更合适.本人不太喜欢这本教材.因为内容实在太多,并且讲法太古典……R.Courant&F.JohnIntroductiontoCalculusandAnalysis（微积分和数学分析引论）篇幅感觉上与上一本教材类似,但内容相对浅一些但取材更广泛更有意思.一般来讲R.Courant的书往往能给人一种新鲜感,总体上感觉比菲赫金哥尔茨要舒服（与个人审美有关）.李成章黄玉民数学分析刘永平老大爷比较喜欢的一本教材.相对古典,内容比较全,但感觉文风枯燥,不是特别好读.总的来讲很多证明没有张筑生来的自然.习题并不容易,但可以参考.阿黑波夫丘巴里阔夫萨多夫尼奇数学分析讲义据译者王昆扬老大爷反应:

“此书原著粗制滥造,错误繁多,翻译的过程是一个不断挑错改错的过程.”因为是讲义,所以读起来并不舒服.不少地方选材和讲法都有待商榷.优点是内容相对丰富,感觉勉强可做参考书（与个人审美有关）.S.G.Krantz&H.R.ParksTheImplicitFunctionTheorem,History,TheoryandApplications本书对隐函数定理及其历史做了很详细的介绍.这种书相当难找啊.陶哲轩DifferentialFormsandIntergration关于微分形式的积分的文章,篇幅不大,起点不高,但讲的很不错.华罗庚高等数学引论可以看一下,能感觉到华的算功很牛逼.读起来感觉算啊算就算出来了.本书中有很多平时分析里不讲的内容,很有意思,可以一读.但在有些地方（比如曲线积分）的推导感觉不是特别舒服.因为算得比较多（这与个人审美有关）.徐森林数学分析徐森林的书一大特点就是符号特多,读起来不是很容易.内容相对丰富,不如陈天权现代,也不如陈天权好读.龚昇微积分五讲可以看一看,但要想仔细读一下外微分,陈维桓的微分几何（2006版）,P.Bamberg&S.SternbergAnalysis-ACourseinMathematicsforStudentsofPhysics,L.H.Loomis&S.SternbergAdvancedCalculus（高等微积分）都是很好的选择.P.Bamberg&S.SternbergAnalysis-ACourseinMathematicsforStudentsofPhysics,读起来更舒服.当然有兴趣的同学还可以参考H.Cartan微分学.H.Cartan微分学感觉好像什么内容都有,而且都是上课讲的不是特别到位但又特别重要的.这本书可能学完分析之后看会更舒服一些.翻译得比较一般.邹应数学分析重口味数学分析,比陈天权可能要稍微清新一点,但感觉依然很重.谢惠民等数学分析习题课讲义神级习题讲义,极好的传统课外补充教材.内容相对古典,讲解非常棒.一元部分要比多元部分强很多.当然不少题目都是很难的.但大多数经过思考后还是能做出来,只是要思考比较长的时间.所以感觉有时间做吉米多维奇的同学不妨试试这本题.裴礼文数学分析中的典型问题与方法考研专用波利亚舍贵数学分析中的问题和定理传说中的习题,不是很容易,有时间可以做一做代数“代数是慷慨的,它提供给人们的常常比人们要求的还要多.”----达朗贝尔一般来讲代数课程的课时也不是特别够用.但是比分析稍强.总体上讲,代数一般分为两部分,高等代数和近世代数.其实放在一起处理可能会更好一些.现在高等代数教材中群环域初步内容越来越前置.当然,这是好现象.可以增加同学们对代数的理解.刚接触时可能感觉有些抽象,但一般来讲,成功的抽象往往能将问题变得更加简单纯粹,所以适应之后同学们就会感到抽象的好处.高等代数中的很重要的内容之一是矩阵.对矩阵运算要做到熟练掌握.张贤科和屠伯埙的书中相关内容介绍的比较多,值得参考.但是高等代数中的很多问题往往有可以用两种语言解释,一是矩阵,二是线性变换.希望同学们注意后一种语言.因为很多同学在熟悉矩阵运算之后往往会沉浸在矩阵运算的技巧中,忽略线性变换的语言（本人也曾经这样）.但实际上后者也是相当重要的.因为我们以后接触的空间（比如大多数函数空间）往往不是有限维的.所以就很难使用矩阵处理.所以在这里提示同学们注意后一种语言.另外,有兴趣的同学可以参考一下线性代数的历史,大家会发现矩阵很晚才出现,线性代数比分析要晚的多.最早的线性代数教材好像是库洛什的高等代数教程和Halmos的线性代数.推荐一本相当不错的代数科普书:

J.Derbyshire代数的历史----人类对未知量的不舍追踪本书对历史介绍相当到位,并且其中也有很多代数相关知识,读起来很有意思.最后提醒大家注意高等代数中的另一个难点Jordan标准型.一般处理方法分成两类,一类用空间分解,另一类是λ-矩阵（实际上是把线性空间V（带着V上的线性变换）视为F[λ]模,再用主理想环上有限生成模的分解定理得到）.前者可能给人的感觉要相对难一些.但是花时间学会前者是值得的.因为前者在李群与李代数相关课程中还是难点.而后者在模论课程中会变得异常的简单.高等代数丘维声高等代数书的厚度好像再创历史新高,作者讲解的清晰细致,很是到位,所以初学者看懂不成问题,并且内容极其丰富,多得都让人闹不住.有兴趣的同学可以拿来参考.屠伯埙高等代数书中强调矩阵,有网友评论说:

”全书用了80%的篇幅讲矩阵论相关内容”,我看差不多.总的来说内容不如丘维声和张贤科丰富,但矩阵讲的及其到位.习题不是很容易,书写的很平易近人,不难读懂.书里面有各种各样的矩阵处理方法.看完此书后可能对矩阵运算会更加熟练.适合初学者,但是希望同学们不要忽略线性变换的语言.张贤科高等代数内容和丘维声的书差不多丰富,但是各有侧重.不过全书比丘维声要薄上许多,所以可以看出作者的讲法很是干净简洁.有些地方不容易读懂,很多地方处理的很漂亮.但总的来讲不太适合初学者,但当做参考书却很是不错.并且学完高等代数和线性代数后再看还是会有很大的收获.书后题目不简单,但好在有辅导书.如果实在想不出的话可以看一下.个人感觉内容比所谓亚洲第一难书（李尚志,查建国线性代数）要丰富,很多处理要比李尚志更加简洁漂亮,并且容易接受.当然习题可能没有李尚志那样难.总的来讲是很好的书.M.ArtinAlgebra（代数学）绝世神书当然把这本书列在很多高等代数书目的后面是因为这本书与J.J.Rotman和G.Birkhoff&S.MacLane都是将线性代数与近世代数揉在一起讲的书.所以可能在学习高等代数时参考价值就没有那么大.但是在学完第一学期的高等代数后,基本就可以阅读此书.此书选材很有特点（相对来讲没有柯斯特里金的书那么深,并且重线性代数的内容没有讲,并且没有过度抽象的与泛性质相关的内容.重线性代数部分柯斯特里金讲的很全面,而有关泛性质的部分可以在G.Birkhoff&S.MacLane中找到.以上所有内容基本上可以在大Rotman上找到）,并且基本上是学数学的本科生同学都应该注意并且应该知道的内容,而且内容相当有意思.可能有些地方没有柯斯特里金丰富（如重线性代数和射影空间）但是可读性和翻译水平要比柯斯特里金的后两本强一些（当然在对每章前后引用的名言部分的翻译还是有很多值得商榷的地方）.当然习题有难有易,有兴趣的同学可以做一做（总共大概有一千五百道）.当然可能对考试没有太大帮助,但对于提高对代数的认识,和审美却又极大的好处.传说Artin在MIT讲课的时候连窗户上都坐满了听课者.另外,作者与芒福德和广中平佑都是扎拉司机在哈佛时的学生.按广中的说法,芒福德和阿廷更偏向几何,而他更偏向代数.传说格罗滕迪克和阿廷家关系不错.传说有一段时间广中,格罗滕迪克等人常到阿廷家聚会,传说直到到半夜十二点才结束.J.J.Rotman抽象代数基础教程可读性可能比M.Artin强一些,作者叙述比较平易近人,并且穿插了不少名词来历和小故事.读起来让人情趣盎然,但内容没有Artin丰富.对于初学者是极合适的书.S.AxlerLinerAlgebraDoneRight书相对来讲不难,但是更强调用线性变换的语言.G.Birkhoff&S.MacLaneAsurveyofmodernalgebra引用J.Derbyshire在’代数的历史’一书中的评论:

”20世纪后期,最受数学本科生欢迎的教科书是G.Birkhoff和S.MacLane的Asurveyofmodernalgebra.这本书第一次出版于1941年,它把20世纪中期代数的所有关键概念都非常清晰的整理到了一起,同时还为学生准备了数以百计的练习题磨练他们的智慧.数,多项式,群,环,域,向量空间,矩阵以及行列式在这本书里都有介绍.我自己就是从G.Birkhoff和S.MacLane