生活中的数学.docx
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生活中的数学
检票问题
旅客在车站候车室等候检票，并且排队的旅客按照一定的速度在增加，检票速度一定，当车站开放一个检票口，需用半小时可将待检旅客全部检票进站；同时开放两个检票口，只需十分钟便可将旅客全部进站，现有一班增开列车过境载客，必须在5分钟内旅客全部检票进站，问此车站至少要同时开放几个检票口？
分析：
（1）本题是一个贴近实际的应用题，给出的数量关系具有一定的隐蔽性。
仔细阅读后发现涉及到的量为：
原排队人数，旅客按一定速度增加的人数，每个检票口检票的速度等。
（2）给分析出的量一个代表符号：
设检票开始时等候检票的旅客人数为x人，排队队伍每分钟增加y人，每个检票口每分钟检票z人，最少同时开n个检票口，就可在5分钟旅客全部进站。
（3）把本质的内容翻译成数学语言：
开放一个检票口，需半小时检完，则x+3y=z
开放两个检票口，需10分钟检完，则x+10y=2×10z
开放n个检票口，最多需5分钟检完，则x+5y≤n×5z
可解得x=15z,y=0.5z
将以上两式带入得n≥3.5z,∴n=4.
答：
需同时开放4个检票口。
运输卡车的行程
从材料工地运送电线杆到500m以外的公路一侧每隔50m埋栽一根，又知每次只能运3根，要完成运栽20根电线杆，并返回材料工地，问运输卡车共行多少m．
要完成运载20根电线杆的任务，而20=3×6+2，故必有一次运2根．若这两根是第7次运到1400m和1450m处的，则第一次往返路程是1200m,[（500+100）×2=1200]，以后5次每次比前一次增加300m,（150×2），构成等差数列．根据等差数列求和公式，前6次路程之和为：
6×1200+6×5×300=11700（m）
所以往返总路程为
11700+2×1450=14600（m）
假定运两根的这一次不是最后一次，而是第6次，那么前5次路程不变，而最后2次的路程之和比前一种方案少100米，这样，总路程为14500m，依次类推，若第一次运2根（500m和550m处），是路程为14000m，这种方案最为合理．
菠萝的价格问题
菠萝又叫凤梨，由于其美丽的金黄色果肉和独特鲜美的味道，倍受顾客的青睐。
近来，正值多产菠萝的季节，市场上随处可见出售菠萝的摊位。
众所周知，菠萝除了诱人的香气，爽口的味道外，最著名的，便是那一身顽固不化，令人望而生畏的果皮了。
为了方便顾客，商家自然会想到要提供去皮服务。
所以，有很多摊位都将菠萝分为两类来卖：
带皮的和去皮的。
然而有很多地方，在出售两类菠萝的同时，还提供免费削皮的服务。
也许是因为去皮的菠萝定价不合理，也许是因为人主观上总喜欢低价的东西，使得很多人宁可多花时间等待削皮，也不愿去过问那些已去皮的菠萝。
想要让那些去皮菠萝不会无人问律，就要定价合理，也就涉及到那些刺人的皮与菠萝质量的关系，下面是一些统计数据：
菠萝 A B C D E
去皮前：
2.28斤 1.7斤 3.56斤 2.6斤 4.l斤
去皮后：
1.5斤 1.12斤 2.3斤 1.67斤 2.68斤
经计算为34.2％；=35.3％；为35.4％；为35.77％，为34.63％；
粗略估计，菠萝皮的百分比应该大约存在一个定值．由求平均数求得为35.06％。
由此可知，一个菠萝皮的质量约占总质量的35％。
由上述可知，果肉的质量约占总质量的65％。
要求去皮菠萝的定价，即为求果肉的质量如何分担带皮时菠萝的总价，因此得出：
其中为去皮菠萝的定价，M为带皮时菠萝的质量，P为带皮时的单价。
运用此式即可在忽略人工削皮带来误差的情况下，基本合理地由带皮时菠萝的单价推算出去皮菠萝的定价。
以上仅为一种较粗略的方法，顾客也可以用此式大致估算出，去皮菠萝的售价是否合理。
作者也曾在街市上见到手捧已去皮菠萝的小贩，高声叫嚷着5元钱两个，5元钱两个。
这是不是最令人动心的价格呢？
每年菠萝销售期，处在2－5月之间，按一般商品的价格涨落规律，在刚上市或快过季时，售价较高，中间多货多销期，售价处于最低位。
以今年价格为例：
2月初刚上市时，售价高达2.5元／斤，而近期已降到1.3元／斤。
据悉，批发价已降为0.9元／斤。
按去年的涨落时间分析，在5月底，将回升为2元／斤左右。
以上所述，列表可表示为：
2月第一
个10天
第二个
10天
第三个
8天
3月第一
个10天
统计至今
2.5元/斤
2.3元/斤
2.1元/斤
1.8元/斤
1.3元/斤
（以上数据来自对一个商场菠萝售价在10天内的平均售价可能偶有不合理性）
设两个菠萝的质量和为3斤，第一期：
；第二期：
；第三期：
；第四期：
；第五期：
。
表面来看，刚才所说的5元2个菠萝是一个很诱人的价格，但不可忽略的是菠萝的质量。
以上所提供的结果，都是在两个质量和为3斤的基础上计算。
可菠萝的密度，中间大，四周小，体积又很不规则，从表面很难看出菠萝的实际重量是多少。
于是想到在研究菠萝体积的手量法。
一个成人，（男）拳头的宽度约为10cm，大拇指宽度大约为2.5cm，食指宽度大约为2cm；（女）拳头的宽度约为9.5cm，大拇指宽度约为2cm，食指宽度大约为1.5cm（拇指宽度为拇指第一关节的宽度）。
人的柞长基本相同，最大约为20cm。
一个2斤的菠萝，从底部质量，约为一拳宽加上一拇指宽，果肉纯高，约为柞长即20cm左右。
一个一斤的菠萝，从底部度量，约为一拳宽，果肉纯高，约为15cm大约是从食指到小指的距离。
由以上即可估算出个数出卖菠萝的大小，大约了解到其价格是否合理。
值得注意的是，不能以眼为度（除非有极富经验）国为菠萝基本为圆柱形，看上去很大，有时质量很小
足球联赛的理论保级分数
所谓理论保级分数，就是指一般来讲，一个参赛球队只要达到了这个分数，无论别的球队的成绩如何，都能保证自己不会降级。
这个分数无疑能给那些成绩不佳的球队的一个有效的参考，帮助他们调整策略。
当然，不仅是我国的足球联赛，其它各个国家的足球联赛，都会有保级分数的问题。
那么这个理论保级分数应该如何计算呢？
怎样找到一种普遍适用于各国足球联赛的计算理论保级分数的方法呢？
下面，我们建立一个数学模型解决这个问题。
模型建立与分析
要想研究理论保级分数，就必须研究每支球队在每场比赛中的成绩。
通过观察各大联赛的比赛情况，我们可以知道，球队的实力对比赛结果有很大的影响。
比如，实力差距比较大的两支球队比赛，实力强的一方获胜的希望比较大。
所以，如果讨论联赛的积分情况，就不能回避球队实力的差异问题。
但是球队的实力是一个很抽象的事物，不易计算和比较，为了能用数学语言描述它，可以为每个球队引入一个参数，能够较好的描述球队的实力称它为这个球队的实力数，我们可以定义随机变量X为一支球队在某一场比赛中的结果。
它可能有三种情况，即胜（积3分）、平（积1分）、负（积0分〕。
我们可以统计出每场比赛中两队的胜、平、负的频率（可近似地看成每种情况出现的概率）P，通过公式
求出一支球队在每场比赛中的数学期望。
将所有比赛的数学期望值相加，就可以求出理论上这支球队的最后积分。
另外，应该注意到主客场的差异对比赛结果的影响。
所以，如果主客场情况不同，相应的胜、负、平频率也不同，数学期望值也就不同。
一、模型假设
1．假设参加某一联赛的所有球队的实力数由小（实力强）到大（实大弱）可构成一个等差数列。
并且认为等差数列的首项为1，公差为1。
由此，一个联赛中的各个球队可以分别用一个数字代替，即，将所有n支参赛球队按实力由强到弱排列,则依次1,2,3,4，...,n。
这样每场比赛就有一个对应的实力数之差。
如实力数为3和7的两支球队之间的比赛，实力差是4。
2．假设任何不可预知的因素与比赛结果无关。
即比赛结果只与两支球队的实力差和主客场因素有关。
如认为球队3主场与球队8的比赛，和球队1主场与球队6的比赛没有任何区别。
3．假设统得出的每个实力差值对应的比胜、负、平的频率等于在理论上这些情况出现的频率。
二、定义变量
：
一支球队在一场比赛中的数学期望值。
：
一支球队i在所有比赛中的数学期望值之和。
n:
参加联赛的球队总数。
m：
联赛结束后将要降级的球队数目。
s：
一场比赛中实力较强的球队获胜的概率。
p：
一场比赛中实力较强的球队战平的概率。
f：
一场比赛中实力较强的球队失败的概率。
解决问题
一、统计随机变量X的分布
我们选取了英格兰足球超级联赛、德国足球甲级联赛、意大利足球甲级联赛、中国的甲级联赛中1999～2000赛季的详细情况，并根据这些数据统计了当实力数差分别为1,2,3,...，19时，较强的一方获胜、战平、战败的频率。
如下表：
（单位：
％）
实力差
主场
客场
胜
平
负
胜
平
负
1
53.03
21.21
25.76
24.63
36.92
38.46
2
47.54
21.31
31.15
26.23
39.34
34.43
3
42.63
19.30
28.07
22.22
39.34
34.43
4
60.38
16.98
22.64
37.25
31.37
31.37
5
38.00
22.00
10.00
38.00
26.00
36.00
6
38.00
12.00
20.00
34.00
28.00
38.00
7
60.95
14.63
24.39
36.59
36.59
26.83
8
71.05
10.53
18.42
34.29
34.29
31.43
9
72.73
15.15
1212
41.18
26.47
32.35
10
73.33
3.37
20.00
40.00
30.00
30.00
11
88.00
0.00
12.00
12.31
30.77
26.92
12
86.36
1.55
9.09
40.91
13.64
45.45
13
88.24
0.00
11.76
31.11
11.11
27.78
14
85.71
0.00
14.29
71.13
21.43
7.14
15
90.91
0.00
9.09
54.55
36.36
9.09
16
75.00
12.50
12.50
70.00
10.00
20.00
17
60.00
40.00
0.00
60.00
0.00
40.00
18
100.00
0.00
0.00
100.00
0.00
0.00
19
100.00
0.00
0.00
100.00
0.00
0.00
二、计算各队的理论积分
有了这些数据之后，我们可以根据求随机变量的数学期望的公式：
求出一支球队在同比自己实力弱的球队的比赛里的教学期望。
即
当一支球队和比自己实力强的球队比赛时，实力较强球队的战败概率就是实力较弱的球队的获胜概率。
即
这样一来，所有比赛的数学期望都能求出。
也就是说，对于每一支球队，其所有比赛数学期望值的和也能求出，我们用表示实力数i的球队的所有数学期望值的和（理论积分）。
然后，将1～n这支球队对应的指从大到小依次排列成数列{}，因为在世界各国的足球联赛中对降级球队数目的规定不同，有的是2支球以，有的是3支球队。
根据不同的情况，只要求出数列中相应的项（保级球队中的最低分数）就是待求的理论保级分数值了。
根据这种思路，我们使用VisualBasic6.0编制一个程序来计算理论保级分数。
算法简要说明
1.输入数据：
将计算所需的变量n、m通过文本框Textl、Text2输入程序中。
2.定义数组：
将统计得出的s、p、f各概率值定义为三个数组s（）、p（）、以便赋值。
再定义数列{}为一个一维数组T（20）。
3．对概率赋值：
将统计得的概率数据赋至各个数组中。
4．通过循环嵌套，计算最后每支球队的理论积分，即各个数学期望之和。
5．将恰好保级的一支球队的分数输出之文本框Text3中。
具体源代码及说明（略）
运行源程序，得出下表数据：
参赛球队数
12
14
18
20
4
降级球队数
3
2
3
2
2
理论保级分数
26.257
58.5259
34.5975
35.0691
8.1738
这样，一般的足球联赛都能通过这个程序求出理论保级分数。
验证模型
以上，给出了足球联赛中的理论保级分数的一种计算方法，这种方法是否理想？
得出的结论能否令人满意？
下面，我们通过计算值与实际值的对比，来验证这个模型。
首先，我们看2000年的甲A联赛。
下表是该赛季最终的排名情况。
排名
1
2
3
4
5
6
7
积分
56
50
44
41
40
35
34
排名
8
9
10
11
12
13
14
积分
32
32
31
29
29
23
17
去掉两个降级球队的分数，保级分数是29分。
经过上述算法，将n=14，m=2代入，计算得来的理论保级分数是28.5259分，可见，与实际保级分数相差不大。
再看看上赛季意大利足球甲级联赛,去掉3个降级的球队,实际保级分数是36分。
将n=18,m=3代入，计算的理论保级分数是34.5975分，与实际情况也相差不大。
虽然用这个程序计算的保级分数有时会与实际分数有一点差距，但在大多数情况下，这个程序能够较好地估计保级分数。
误差分析
这个模型中可能产生误差的地方有如下几处：
一、在模型假设中，假设各球队的实力数构成等差数列。
这种假设与实际情况有一定差距。
二、在统计概率过程中，随着n值不断增大，能找到的比赛数量越来越少。
所以在n较大时，统计出的频率与理论上的频率的偏差也就比较大。
三、在实际比赛中，很多其它因索，如天气等都有可能影响比赛的结果。
这个模型并没有考虑这些因素，所以无法避免由此产生的误差。
由于以上几种可能产生误差的原因，这个模型计算的结果与实际保级分数有大约6分以下的差距。
由于一般情况下这个模型计算的结果比较合适，所以认为这样的误差在可以接受的范围内
探讨温州市出租车司机的生意经
一、问题的提出
改革开放二十年来，温州经济得到了迅速发展，老百姓的生活水平有了很大的提高，外出乘车“打的”已是相当普通的现象，出租车业的迅速发展，也从一个侧面证明温州经济的腾飞。
车型从80年代的菲亚特、90年代奥拓，到现在的富康车；数量上从无到有，从少到多，到现在市区约有的4000多辆；起步价从原来5元（每四公里5元）到现在的10元，可以说出租车行业经历了一个健康、快速的发展过程。
温州人离不开出租车，但温州市区面积仅计三十几平方公里（现市区范围的规划正拓宽），加上道路狭窄，出租车司机常感叹生意难做。
在市内营运时，为了避开乘车高峰期，司机们有时都要绕道而行，跳长途时，个别司机为了节省10元钱道路建设费，不惜被曝光、罚款的代价，想方设法“逃票”。
面临如此窘境，作为业外人士我常想，到底如何营运才能使出租车司机获得最佳经济效益呢？
二、问题的调查与分析
（一）出租站点接客和跑车接客的比较
温州现有出租车约4000辆，部分出租车愿意在机场，车站、码头、宾馆等固定的出租点接客，他们认为这样比在路上跑车接客相对轻松并且效益好些。
为了提高出租车单车的运营效益。
假设每辆车是24小时运营，司机可以轮换。
经过调查，这些司机平均每天可接到四趟远途客，每次120元，总共花时约4小时，总收人为480元，在剩余的20小时，在市内出租点营业，平均每次等客5分钟，送客20分钟，返回15分钟，合计每40分钟做一次市内生意，一次市内生意为10元，则在固定站接客一天总收入为：
120×4＋20（小时）×1．5次／小时×10元／次=780元。
出租车跑的路程：
长途返回每次平均为60km。
市内返回每次为8km，
所以总营运里程为60×4＋30×8—480km。
假如全部在市内跑车接客，调查结果为空载跑车5分钟，接送客15分钟，平均每20分钟做一次市内生意，合计一天营业额为：
24（小时）×3次／小时×10元－720元。
出租车在市内跑平均每次5km，一天跑
24×3—72次，则一天总营运里程为72×5km=360km。
由此可以看出，大部分司机在申请到出租站点停车的条件下，总是愿意在出租站点接客，除了每天多赚钱14元外，另外每小时比跑车接客还可以多休息20分钟。
另一方面，由于出租车站点接客和跑车接客路程不同，油费也不同，现列表加以说明
一天毛收入
油费等合计
停车费
净收入
出租点接客
780元
480公里×03元/公里=144元
10元
626元
跑车接客
720元
360公里×03元/公里=108元
0
612元
（二）不同时段选择最佳的线路
温州没有实行计时收费，这也是许多出租车司机所抱怨的，因为对出租车司机来讲，“时间就是金钱”。
但从交通管理的宏观角度来分析，在目前交通路阻较为严重的情况下，特别是在上下班高峰时间，正因为没有实行计时收费，许多聪明的司机总是选择最佳的线路完成。
营运任务，无形中缓解了交通高峰期的压力。
举例来讲，从将军桥乘出租车到医学院，有两条线路可选择，一条是经过人民路，另一条是经过马鞍池路，根据计程结果，营运里程和营运时间等列表加以比较。
时段
线路
里程
时间
收入
油费等
净收入
每分钟收入
一般
时间
人民路
3.5km
10分
10元
1元
9元
0.9元/分
马鞍池路
4.5km
13分
11.4元
1.3元
10.1元
0.78元/分
高峰
时间
人民路
3.5km
20分
10元
1元
9元
0.45元/分
马鞍池路
4.5km
18分
11.4元
1.3元
10.1元
0.56元/分
司机的生意经虽然是经过长期的经验积累得出的，但经过上表的分析结果，可以证实，一般时间司机选择走人民路，高峰时间则选择走马鞍池路，归根到底就是时间效益
（三）“买路钱”和逃票现象
从温州市区到郊区或临近县，一般都设有收费站，如温州──永强。
必须走机场大道，经过机场大道收费站要收“买路钱”10元。
但在收费站附近有一条经过蒲州镇的叉路，一些司机为了节省10元，在征得顾客同意后，宁愿走叉路多走3公里，现在列表加以分析，是否合算，冒这个风险值不值得？
线路
里程
时间
收入
油费等
净收入
每分钟收入
机场大道
收费站
25km
25分
70元
7.5元
63.5元
2.54元/分
叉路
28km
28分
80元
8.4元
71.6元
2.56元/分
由上表分析得，经过收费站和走叉路这段时间内的经济效益相当接近，但由于在市内做20分钟生意才赚10元，效益为0．5元／分钟，而逃票的效益为2．56元／分钟，同市内比较经济效益，远远超过，所以司机们非常乐意走长途且个别司机总想冒险绕道而行“争取”逃票，其实经过计算，经收费站点和经叉路为10元钱逃票，经济效益相差无几，每分钟仅相差0.02元，为何胆颤心惊，转弯抹角行驶呢？
三、结论
由上面的分析可知，出租车司机要灵活营运，能够申请到站点停车证，经济效益最佳；在市内营业，最好避开高峰期的拥挤线路，虽行驶路程远些，但经济效益要高些；若遇到跑长途的顾客，经济效益也不错，但不必为了眼前10元钱利益而绕道行驶。
四、建议
为了能给忙碌、高效的温州人带来更大的方便和实惠，进一步提高温州市出租车行业的经济效益。
优化服务与管理水平，我对出租车行业今后的发展提出以下几点建议。
1．发展出租车集中站点。
在集中站点，出租车在等满4个乘客后，司机再开车──即乘客合伙搭乘。
如温州──永强，乘公交车虽只需5元，但一站站的停靠总行程需1．5小时，如在温州市区设立几个固定出租车站点，直达永强镇中，总行程只需0．5小时，每个顾客花钱15元左右，出租车一趟也有50～60元收入，这即方便了顾客，也大大提高出租车司机的经济效益，这种经营方式极适合温州人生活节奏，也充分体现出租车的优势──快捷性和时间价值。
2.设立出租车指挥中心。
在每辆出租车内设立无线呼叫系统，顾客在等车时可通过出租车指挥中心，指挥中心通过无线呼叫系统，把信息传达给司机们，这不仅给顾客带来方便，还可以减少司机们盲目跑空车，提高了时间和经济效益，同时增大了司机们的安全系数，在应急情况下，可以呼救。
3.出租车内安装微型电脑。
通过各主要路口的自动摄像，分析路况，自动选择最优营运方案，能够很好地提高司机们经济效益，对于路线不很熟悉的司机，又可以起到指引、导向作用。
出租车的网络化管理将把温州市出租车业的发展推抽一个新的台阶
巧用数学看现实
在现实生活中，人们的生活越来越趋向于经济化，合理化．但怎样才能达到这样的目的呢？
在数学活动组里，我就遇到了这样一道实际生活中的问题：
某报纸上报道了两则广告，甲商厦实行有奖销售：
特等奖10000元1名，一等奖1000元2名，二等奖100元10名，三等奖5元200名，乙商厦则实行九五折优惠销售。
请你想一想；哪一种销售方式更吸引人？
哪一家商厦提供给销费者的实惠大？
面对问题我们并不能一目了然。
于是我们首先作了一个随机调查。
把全组的16名学员作为调查对象，其中8人愿意去甲家，6人喜欢去乙家，还有两人则认为去两家都可以。
调查结果表明：
甲商厦的销售方式更吸引人，但事实是否如此呢？
在实际问题中，甲商厚每组设奖销售的营业额和参加抽奖的人数都没有限制。
所以我们认为这个问题应该有几种答案。
一、苦甲商厦确定每组设奖，当参加人数较少时，少于213（1十2＋10＋200=213人）人，人们会认为获奖机率较大，则甲商厦的销售方式更吸引顾客。
二、若甲商厦的每组营业额较多时，它给顾客的优惠幅度就相应的小。
因为甲商厦提供的优惠金额是固定的，共14000元（10000＋2000＋1000＋1000=14000）。
假设两商厦提供的优惠都是14000元，则可求乙商厦的营业额为280000元（14000÷5％=280000）。
所以由此可得：
（l）当两商厦的营业额都为280000元时，两家商厦所提供的优惠同样多。
（2）当两商厦的营业额都不足280000元时，乙商厦的优惠则小于14000元，所以这时甲商厦提供的优惠仍是
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