八年级下册第十九章.docx
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八年级下册第十九章
《义务教育教科书·数学》八年级下册简介
《义务教育教科书·数学》八年级下册包括二次根式，勾股定理，平行四边形，一次函数，数据的分析等五章内容，学习内容涉及到了《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准》）中“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”全部四个领域。
其中对于“综合与实践”领域的内容，本册书在第十九章、第二十章分别安排了一个课题学习，并在每一章的最后安排了两个数学活动，通过这些课题学习和数学活动落实“综合与实践”的要求。
本书供义务教育八年级下学期使用，全书共需约62课时，具体分配如下：
第十六章 二次根式 约9课时
第十七章 勾股定理 约9课时
第十八章 平行四边形 约15课时
第十九章 一次函数 约17课时
第二十章 数据的分析 约12课时
一、教科书内容概述
第16章“二次根式”主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、减、乘、除运算。
通过本章学习，学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知识结构，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习做好准备。
第16.1节研究二次根式的概念和性质。
教材通过几个具体问题，引导学生根据已学的平方根和算术平方根的知识写出结果，并概括它们的共同特点，引出二次根式的概念。
接着，教科书采用从具体到抽象的方法，归纳出二次根式的性质
和
。
实际上，可以根据算术平方根的定义的出这两条性质。
二次根式的运算中，乘除运算比加减运算更容易，并且是加减运算的基础，因此教材先安排二次根式的乘除。
显然，运算法则是运算的依据，因此教材通过“探究”栏目，引导学生利用二次根式的性质，从具体数字的运算中发现规律，进而归纳得出二次根式的乘法法则、除法法则。
最简二次根式的概念是加减运算的基础，实际上也是对二次根式运算结果的一种要求，同时也为二次根式的运算明确了方向。
第16.3节是二次根式的加减运算。
将二次根式化为最简二次根式后，二次根式的加减运算实际上就是对被开方数相同的二次根式作“合并同类项”。
由于“在有理数范围内成立的运算律在实数范围内仍然成立”，因此二次根式的加减运算实际上是利用了分配律。
教科书按照这样的思路，采用归纳的方法，从特殊到一般，引导学生概括了二次根式加减运算法则，并通过几个二次根式混合运算的例题，引导学生认识二次根式的性质、运算法则与整式的性质、运算法则之间的一致性。
第17章“勾股定理”主要研究勾股定理和勾股定理的逆定理，包括它们的发现、证明和应用。
第17．1节“勾股定理”，教科书安排了对于勾股定理的观察、计算、猜想、证明及简单应用的过程。
教科书从毕达哥拉斯观察地面发现勾股定理的传说谈起，让学生通过观察计算一些以直角三角形两条直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理，这时教科书以命题1的形式呈现了勾股定理。
关于勾股定理的证明方法有很多，教科书正文中介绍了我国古人赵爽的证法。
之后，教科书相应安排了两个例题和一个“探究”栏目，让学生学习运用勾股定理解决实际问题和解决数学问题（画出长度是无理数的线段等）问题，并运用定理证明了斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
第17．2节“勾股定理的逆定理”，教科书首先让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而作出猜想：
如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
教科书借助于勾股定理和判定全等三角形的定理（SSS）证明了这个猜想，得到了勾股定理的逆定理。
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形的一种重要依据。
教科书安排了两个例题，让学生学习会运用这个定理。
本节结合勾股定理的逆定理的内容的展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立。
第18章“平行四边形”主要研究一般平行四边形的概念、性质和判定，还研究了矩形、菱形和正方形等几种特殊的平行四边形。
第18.1节主要研究一般平行四边形的概念、性质和判定。
教科书从实际生活中的图形出发，抽象概括出平行四边形的概念，通过一系列的探究活动，得出平行四边形的性质和判定方法，并对所得结论进行适当的推理证明。
作为平行四边形性质定理的应用，教科书介绍了两条平行线间距离的概念；作为平行四边形判定定理的应用，教科书探究并证明了三角形中位线定理。
第18．2节主要研究矩形、菱形、正方形的概念、性质和判定，本节是在前一节的基础上，进一步研究这几种特殊的平行四边形。
教科书首先研究了矩形和菱形，它们都是有一个特殊条件的平行四边形，矩形是有一个角是直角的平行四边形，菱形是有一组邻边相等的特殊的平行四边形。
在此基础上，教科书研究了同时具有两个特殊条件的平行四边形，即正方形，它是有一个角是直角的特殊菱形，又是有一组邻边相等的特殊矩形。
第19章是“一次函数”，其主要内容包括：
常量与变量的意义，函数的概念，函数的三种表示法，一次函数的概念、图象、性质和应用举例，一次函数与二元一次方程等内容的关系，以及以建立一次函数模型来选择最优方案为素材的课题学习。
19．1 节是全章的基础部分，内含2个小节。
19.1.1小节“变量与函数”结合简单的实际问题，对事物的运动变化进行数量化讨论，先引出常量和变量的意义，再从描述变量之间对应关系的角度刻画了一般函数的基本特征，从而初步建立函数的概念，并给出函数的解析式的意义。
19.1.2小节“函数的图象”在本章之前已有直角坐标系内容的基础上，以具体函数为例，介绍能形象化地表示函数的重要工具——函数的图象，并归纳表示函数的三种方法（解析式法、列表法和图象法），为今后继续研究各类具体的函数进行必要的准备。
19.2节是全章的重点内容，内含3个小节。
19.2.1小节“正比例函数”以火车运行中“路程=平均速度×时间”为问题情境，引出正比例函数的概念、图象和增减变化规律。
19.2.2小节“一次函数”以登山中气温随海拔而变化为问题情境，引出一次函数的概念，并对比正比例函数，研究一次函数的图象和增减变化规律。
一次函数是一种最基本的初等函数，对它的讨论中函数解析式与函数图象的相互联系与转化能发挥重要作用。
这是“数形结合”的思想方法的体现，它对今后进一步研究其他类型的函数具有启示作用。
19.2.3小节“一次函数与方程、不等式”从一次函数的角度，对一次方程和不等式进行再认识，揭示函数与以前学习的方程等内容之间的联系。
19.3节是全章的拓展提高部分，作为探究性学习的内容，它以课题学习的形式呈现，通过对“怎样选取上网收费方式”和“怎样租车”两个典型问题的讨论，探求解决实际问题的最优方案，展示函数的应用价值，突出建立数学模型的思想方法和实际意义。
第20章“数据的分析”主要研究平均数（主要是加权平均数）、中位数、众数以及方差等统计量的统计意义，学习如何利用这些统计量分析数据的集中趋势和离散情况，并通过研究如何用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差，进一步体会用样本估计总体的思想。
第20.1节，教科书分两小节研究了加权平均数，中位数和众数。
20.1.1小节，教科书研究了加权平均数，包括权的意义、作用和不同的形式。
首先，教科书设计了以招聘英文翻译为背景的实际问题，根据不同的招聘要求，各项成绩的“重要程度”不同，从而平均成绩不同，由此引入加权平均数的概念。
“权”的重要性在于它能够反映数据的相对“重要程度”，为了更好地说明这一点，教科书设置“思考”栏目和例1，从不同方面体现“权”的作用，使学生更好地理解加权平均数，体会“权”的意义和作用。
求加权平均数的问题形式多样，教科书在问题1和例1之后，又介绍了两种：
一是在求n个数的算术平均数时，有时会遇到重复数据较多的情况，这时可以将求算术平均数的公式进行简化，比如可以写成
，此时
可以看成是
的权，只是这里“权”的意义并不是很突出；二是通过一个探究栏目，研究了对于区间分组的数据如何求加权平均数的问题，这类问题是统计中常见的。
通过不同形式的问题，教科书希望学生能对加权平均数有一个全面的认识。
最后，教科书结合例3，介绍了如何利用样本平均数估计总体平均数的问题，使学生对抽样的必要性、样本的代表性和用样本估计总体的思想有了更深的体会。
20.1.2小节，教科书研究了中位数和众数。
中位数是一个反映数据集中趋势的位置代表值，能够表明一组数据排序最中间的统计量，可以提供这组数据中，约有一半的数据大于（或小于）中位数。
众数是表明一组数据出现次数最多的统计量，当一组数据有较多的重复数据时，众数往往是人们所关心的一个统计量，它提供了哪个（些）数据出现的次数最多。
对于中位数和众数的作用，教科书安排了层层递进的几个问题来研究。
问题2是一个典型的员工收入问题，其情境蕴含了引入中位数和众数的必要性，并由此引入中位数和众数；例4和例5分别利用体育比赛问题和销售量问题说明了中位数和众数的作用；例6是一个综合利用平均数、中位数和众数解决问题的例子，在这个例子中，涉及到根据具体问题的的需要选择适当的统计量来刻画数据的集中趋势的问题，在解决问题的过程中，也让学生经历一个对数据适当分组、用表格整理数据、用统计图描述数据，分析统计图表和计算平均数、中位数、众数来分析数据的一个数据处理的基本过程。
在本节最后，教科书利用一个归纳的栏目，对平均数、中位数和众数这三种刻画数据集中趋势的统计量进行了概括总结，突出了它们各自的统计意义和各自的特征。
第20.2节，教科书研究了刻画数据波动程度的统计量。
统计中刻画数据波动程度的统计量常有极差、方差、标准差、平均差、四分位差等，根据《标准》的要求，本章只研究方差，它是统计中常用的一种刻画数据波动程度的统计量。
教科书根据农科院选择甜玉米种子的背景提出问题，从统计上看，这个问题是要计算两组数据的平均数和比较它们的波动情况。
通过计算可知两组数据的平均数是相同的，这一点有利于学生理解数据的波动情况。
为了直观看出数据的波动情况，教科书画出了两个散点图，通过观察散点图，可以比较两组数据的波动情况。
这两个散点图使学生对数据偏离平均数的情况有一个直观的认识。
在此基础上，教科书引进了利用方差刻画数据离散程度的方法，介绍了方差的公式，并从方差公式的结构上分析了方差是如何刻画数据的波动的，即方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小。
将利用方差刻画数据的波动和利用散点图显示数据的波动结合起来，更有利于学生理解方差的意义。
第20.3节，教科书安排了一个具有一定综合性和活动性的“课题学习”。
这个“课题学习”选用了与学生生活联系密切的体质健康问题。
由于本章是统计部分的最后一章，因此这个课题学习的综合性比前一章统计中的课题学习更强。
为了便于教学操作，教科书根据《中学生体质健康登记表》提供了一个样例，样例中涉及到选择样本收集数据、用统计表图整理和描述数据，通过计算平均数、中位数、众数和方差等分析数据得出结论的统计过程。
二、编写时考虑的几个问题
1．加强知识之间的相互联系
本书作为七～九年级的六册数学教科书的第四册，编写时特别重视与前面已学知识的联系，使学生的学习形成正迁移。
例如，在第16章“二次根式”中，教科书注意从算术平方根的意义得到与二次根式有关的结论，注意二次根式的加减与整式的加减，以及二次根式的混合运算与多项式乘法的类比，帮助学生掌握新内容。
在第17章“勾股定理”中，教科书引导学生利用勾股定理在数轴上做出表示形如
等无理数的点，进一步提高学生对“实数与数轴上的点一一对应”的认识；运用勾股定理证明了八年级上册中通过画图得出的结论：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
在第18章“平行四边形”中，利用学生在前三册教科书中，已经学习的几何知识和方法，探索并证明平行四边形的性质定理和判定定理，进一步体会研究图形几何性质的思想方法，即通过观察、类比、特殊化等发现图形的几何性质，再通过逻辑推理证明性质。
在第19章“一次函数”中，专门安排“一次函数与方程、不等式”，从函数的角度对前面学习过的二元一次方程组以及一元一次方程、一元一次不等式等重新进行分析，用函数的观点把互相联系的方程（组）、不等式、函数统一起来，既加深对方程（组）与不等式等数学对象的理解，又加大对已经学过的相关内容之间的联系的认识。
对于刻画数据集中趋势的统计量：
平均数、中位数和众数，学生在前两个学段已经学习，在第20章“数据的分析”中，教科书是在学生已有经验的基础上，在研究数据集中趋势的大环境下提高对这些统计量的认识的。
一次函数的教学中，应体现出“从特殊到一般”地认识问题是学习的一种有效途径。
在讨论函数解析式、图象、性质等问题时，应引导学生注意比较函数
和
的异同，考虑前者如何转化为后者以及由此产生的图象变化。
从而利用两者之间的联系，将正比例函数作为一次函数的特殊形式来认识，再将已获得的结论扩充到对一般的一次函数的讨论之中。
教学中应注意教科书的前后联系，使学生认识分析解决问题时“先从特殊对象切入，再扩展推广到一般对象”的策略。
综上分析，教学时可以结合学生的实际情况，进行适当复习，加强知识间的相互联系与综合，在学生已有经验的基础上进行教学，使学生的学生形成正迁移。
2．密切联系实际，体现模型思想
我们生活在一个丰富多彩的世界，其中存在大量问题涉及用数学知识去解决，这也为我们提供了大量的现实素材。
在教科书的编写时，我们力求贯彻理论联系实际的原则，概念的产生，力求从实际需要出发，内容素材的选取，力求贴近学生的生活实际和社会现实，并注意把所学的数学知识应用到解决实际问题的过程中去，体现模型这一基本思想。
例如，二次根式的概念、二次根式的加减都是从实际问题引出的，体现了式在表示数量关系上的作用。
在“勾股定理”一章中，对于勾股定理及其逆定理的发现是结合实际生活展开的，同时也编写了这两个定理在解决实际问题中的应用。
在“平行四边形”一章中，充分体现了平行四边形、矩形、菱形、正方形等与生活的密切联系。
由于统计与现实生活的联系是非常紧密的，在“数据的分析”一章中，注意发挥典型案例的作用，对于加权平均数、中位数、众数、方差等统计量的学习，都是在分析实际案例的过程中展开的，在解决实际问题的过程中理解统计的概念和原理。
函数作为研究运动变化的重要数学模型，它来源于客观实际又服务于客观实际。
在“一次函数”中，实际问题贯穿于始终，它们中有些是作为认识函数概念的实际背景，为降低学习抽象概念的难度服务的。
例如，在引入一般函数的概念时，教科书通过对一系列实际问题中变量间关系的分析与描述，归纳出其中共有的一般规律，得出函数的定义。
这样的过程是由具体到抽象，由特殊到一般的过程，是以将实际问题抽象为数学模型为线索的展现过程。
有些实际问题是作为应用举例体现函数的广泛的应用性，为培养应用数学解决实际问题的意识和能力服务的。
例如，19.3节中的问题1问题2都是具有实际背景的选择最优方案的问题。
要解决这些问题，需要先确定问题中起关键作用的变量，再列出函数解析式，然后分析这些函数解析式或相应的图象，找出问题中要考虑的最小（大）值。
在分析和解决问题的过程中，把这些实际问题中的数量关系用一次函数来表示，是解决问题的关键，一次函数作为数学模型发挥了重要作用。
通过对这些问题的探究，进一步加强对数学建模的作用的认识。
3．加强研究思路与学习方法的引导，渗透数学思想方法
数学教学的最主要任务是使学生学会思考，培养学生的思维能力，这是由数学的学科性质决定的。
用什么方式引导学生的数学思维活动，使学生在掌握知识的过程中学习数学思考方法，从学会思考逐步走向学会学习，积累数学活动经验，是教科书编写中需要认真思考和落实的主要任务。
例如，在第18章“平行四边形”中，沿用平行线、三角形的研究套路，先研究平行四边形的边、角、对角线等组成要素的关系，得到平行四边形的性质定理；再研究平行四边形的性质定理的逆命题，得出得到平行四边形的判定定理。
在第16章“二次根式”中，体现代数学的基本思想和基本方法，采用如下思路展开：
二次根式的概念（定义研究对象）——二次根式的性质——二次根式的运算（运算法则和运算律的应用）。
本书各章注重以知识的发生发展过程为载体，努力为学生构建一个“观察、实验、比较、归纳、猜想、推理、反思”的数学思维活动过程，通过不同栏目引导学生的思考、探究活动，让学生体会从特殊到一般，从具体到抽象的研究过程和方法，使他们既学会发现，又学会归纳、概括，从而逐步提高学生的思考力，培养用数学的思想和方法来思考和处理问题的习惯。
数学教学不应仅仅是单纯的知识传授，更应注意对其中所蕴含的数学思想方法提炼和总结，使之逐步被学生掌握并对他们发挥指导作用，能更好地理解数学的本质。
因此各章内容展开时注意对数学思想方法的体现。
前面已经说过，在本册教科书的知识内容中蕴含着许多基本的数学思想方法。
例如，将实际问题抽象为数学问题，利用数学问题解决实际问题的模型化思想；函数的表示法之一是图象法，即通过坐标系中的曲线上点的坐标反映变量之间的对应关系。
这种表示方法的产生，将数量关系直观化、形象化，提供了数形结合地研究问题的重要方法，这在数学发展中具有重要地位。
“一次函数”中充分运用数形结合的思想方法研究函数问题。
人们认识事物往往经历“从特殊到一般”的过程，教科书对重点内容的安排正是按照这样的过程展现的。
例如，教科书在展开一次函数时，首先从讨论正比例函数开始，正比例函数是特殊的一次函数，即
中
的类型。
对正比例函数的定义、图象和性质的讨论，可以为讨论一般的一次函数奠定基础。
具体地，在讨论一次函数的图象时，教科书先对比函数
和
在解析式上的区别，由此自然地引出对直线
作平移变换可得到直线
，这就确定了一次函数图象的形状。
在此基础上，教科书又讨论由两点确定直线
的一般方法，并引出如何确定一次函数的解析表达式，得出关于一次函数的一般性结论。
这个过程展示了解决问题的一种基本策略，即“先特殊化、简单化，再一般化、复杂化”的做法。
对数学思想方法的介绍，要注意学生的接受能力，对于初中学生来说，我们主要是以渗透的方式安排的。
4．注重体现科学进步，关注数学文化
本套教科书力求能够成为反映科学发展和文化进步的一面镜子，既体现数学的科学性和应用性，又体现数学科学中蕴涵的文化。
本册书不仅涉及数学与实际的关系，渗透建模、数形结合、统计思想等重要的数学思想，而且涉及勾股定理的发现等重大史实。
对于勾股定理，我国古代有许多重要成就，不仅发现了勾股定理，而且使用了许多巧妙的方法进行了证明，尤其在勾股定理的应用方面，对其他国家的影响很大，这些都是我国人民对人类的重要贡献。
在“勾股定理”一章，教科书结合具体内容，介绍了我国古算书《周髀算经》关于“勾三、股四、弦五”的记载，介绍了赵爽弦图，以及赵爽利用弦图证明勾股定理的思路。
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。
正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的世界数学家大会的会徽。
另外，在“阅读与思考勾股定理的证明”中还介绍了国外几种证明勾股定理的方法，在“阅读与思考 费马大定理”中则进一步介绍了与勾股定理有一定关系的费马大定理的研究进展。
由此使学生逐步认识数学的科学价值和人文价值，激发他们的学习兴趣，提高他们的科学文化素养。
三、对教学的几个建议
1．把握好教学要求
对于二次根式，《义务教育数学课程标准（2011年版）》对本章的内容和要求规定为“了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算”，这样就把本章的学习对象限定在了“根号下为数的二次根式”，但这是最低要求。
为了使学生更全面地了解二次根式的运算，提高学生的运算能力，也为今后高中阶段的数学学习打下必要的基础，教材在正文中设置了“选学例题”，采用举例的方式，教学中应让那些学有余力的学生能够学到“根号下为字母的二次根式”的运算。
函数是数量化地表达变化与对应现象的数学工具，某些变化规律表现为变量之间满足单值对应的关系，函数就是通过数或形定量地描述这种对应关系的数学工具。
对函数概念的核心“变化与对应”的观点认识，需要分阶段地完成，逐步深化认识程度。
本套教科书将对代数函数的学习分三章安排，即八年级下学期学习第19章“一次函数”，九年级上学期学习第22章“二次函数”，九年级下学期学习第26章“反比例函数”。
在学习这些内容之前，教科书已分别安排了一次方程（组）、一元二次方程及分式方程等内容。
从教科书的整体框架上看，在“数与代数”分支中，运算类型的变化是重要的发展线索。
根据“一次”“二次”等代数式运算类型，将各种函数作为与其相关的方程的后续发展。
一元一次方程、二元一次方程组和一元一次不等式等都是以一次（线性）运算为基础的数学模型，第19章“一次函数“在学生对它们已有一定认识的基础上，继续讨论一次函数，从变化和对应的角度对一次运算进行更深入的讨论。
教科书在进入专门对一次函数的讨论之前，安排学生先了解函数的一般概念。
19.1节中，首先，从几个实际问题情境入手，引导学生通过填表和列式表示问题中相关的量，从中认识常量和变量的主要特征，学会区别它们。
接着，教科书通过“归纳”栏目总结出这些问题中变量之间关系的共同特点，即“问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一变量就有唯一确定的值与其对应。
”教科书又继续用心电图、人口统计表等问题对这种变化与对应关系进行了补充和强化，这也为后面归纳多种函数表示法写下伏笔。
在此基础上，教科书第一次给出了函数的一般概念以及自变量、函数值等概念。
教科书中给出的函数定义是突出变化与对应的，其中主要有两层意思：
（1）两个变量互相联系，一个变量变化时另一个变量也发生变化；
（2）函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的。
以上两点是关于函数的最基本、最朴素的刻画，也是教科书关于函数概念的论述中力求能使学生认识的重点内容。
对于统计中一些重要的思想方法，本套教科书采用螺旋上升的编排方式。
例如，关于用样本估计总体的思想，在本学段要求“体会样本与总体的关系，知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数和总体方差”等。
对于这个要求，教科书在第10章“数据的收集、整理与描述”和第20章“数据的分析”都有安排，但在要求上有不同的层次。
第10章从收集数据的角度研究抽样调查，要求初步感受抽样调查的必要性，初步体会用样本估计总体的思想；第20章要求通过较多实例，从不同的方面进一步感受抽样的必要性，并初步感受样本的代表性，体会不同的抽样可能得到不同的结果，能够用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差等。
教学时，要注意把握教学要求。
2．加强基础知识和基本技能，提高基本能力
由于本册书的内容涉及《义务教育数学课程标准（2011年版）》的所有四个领域，应更加重视基础知识和基本技能，提高学生的基本能力。
作为函数的起始章，“一次函数”中函数的基本概念，函数的一般表示法和一次函数的概念、解析式、图象、性质等是基础知识；会画一次函数（包括正比例函数）的图象，能结合图象讨论这些函数的增减性质等是基本技能；能利用一次
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