倒立摆系统的控制器设计.doc
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自动控制理论课程设计
倒立摆系统的控制器设计
学生姓名：
李可达
指导教师：
黄建明
班级：
自动化6班
学号：
20105107
重庆大学自动化学院
二O一二年十二月
课程设计指导教师评定成绩表
项目
分值
优秀
（100>x≥90）
良好
（90>x≥80）
中等
（80>x≥70）
及格
（70>x≥60）
不及格（x<60）
评分
参考标准
参考标准
参考标准
参考标准
参考标准
学习态度
15
学习态度认真，科学作风严谨，严格保证设计时间并按任务书中规定的进度开展各项工作
学习态度比较认真，科学作风良好，能按期圆满完成任务书规定的任务
学习态度尚好，遵守组织纪律，基本保证设计时间，按期完成各项工作
学习态度尚可，能遵守组织纪律，能按期完成任务
学习马虎，纪律涣散，工作作风不严谨,不能保证设计时间和进度
技术水平与实际能力
25
设计合理、理论分析与计算正确，实验数据准确，有很强的实际动手能力、经济分析能力和计算机应用能力，文献查阅能力强、引用合理、调查调研非常合理、可信
设计合理、理论分析与计算正确，实验数据比较准确，有较强的实际动手能力、经济分析能力和计算机应用能力，文献引用、调查调研比较合理、可信
设计合理，理论分析与计算基本正确，实验数据比较准确，有一定的实际动手能力，主要文献引用、调查调研比较可信
设计基本合理，理论分析与计算无大错，实验数据无大错
设计不合理，理论分析与计算有原则错误，实验数据不可靠，实际动手能力差，文献引用、调查调研有较大的问题
创新
10
有重大改进或独特见解，有一定实用价值
有较大改进或新颖的见解，实用性尚可
有一定改进或新的见解
有一定见解
观念陈旧
论文（计算书、图纸）撰写质量
50
结构严谨，逻辑性强，层次清晰，语言准确，文字流畅，完全符合规范化要求，书写工整或用计算机打印成文；图纸非常工整、清晰
结构合理，符合逻辑，文章层次分明，语言准确，文字流畅，符合规范化要求，书写工整或用计算机打印成文；图纸工整、清晰
结构合理，层次较为分明，文理通顺，基本达到规范化要求，书写比较工整；图纸比较工整、清晰
结构基本合理，逻辑基本清楚，文字尚通顺，勉强达到规范化要求；图纸比较工整
内容空泛，结构混乱，文字表达不清，错别字较多，达不到规范化要求；图纸不工整或不清晰
指导教师评定成绩：
指导教师签名：
年月日
课程设计题目
倒立摆系统的控制器设计
学院
自动化学院
专业
自动化
年级
2010级
1、已知参数和设计要求：
M：
小车质量 1.096kg
m：
摆杆质量 0.109kg
b：
小车摩擦系数 0.1N/sec
l：
摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25m
I：
摆杆惯量 0.0034kgm2
建立以小车加速度为系统输入，以摆杆角度为系统输出的被控对象数学模型。
分别用根轨迹法、频率特性法设计控制器使闭环系统满足要求的性能指标；调整PID控制器参数，使闭环系统满足要求的性能指标。
2、利用根轨迹法设计控制器，使得校正后系统的性能指标满足：
调整时间
最大超调量
3、利用频率特性法设计控制器，使得校正后系统的性能指标满足：
（1）系统的静态位置误差常数为10；
（2）相位裕量为50°；
（3）增益裕量等于或大于10dB。
4、设计或调整PID控制器参数，使得校正后系统的性能指标满足：
调整时间
最大超调量
学生应完成的工作：
1、利用设计指示书中的实际参数，通过机理推导，建立倒立摆系统的实际数学模型。
2、进行开环系统的时域分析。
3、利用根轨迹法设计控制器，进行闭环系统的仿真分析。
4、利用频域法设计控制器，进行闭环系统的仿真分析。
5、设计或调整PID控制器参数，进行闭环系统的仿真分析。
6、将所设计的控制器在倒立摆系统上进行实时控制实验。
7、完成课程设计报告。
参考资料：
1、固高科技有限公司.直线倒立摆安装与使用手册R1.0，2005
2、固高科技有限公司.固高MATLAB实时控制软件用户手册，2005
3、Matlab/Simulink相关资料
4、谢昭莉，李良筑，杨欣.自动控制原理.北京：
机械工业出版社，2012
5、胡寿松.自动控制原理（第五版）.北京：
科学出版社，2007
6、KatsuhikoOgata.现代控制工程.北京：
电子工业出版社，2003
课程设计的工作计划：
1、布置课程设计任务；消化课程设计内容，查阅并参考相关资料，进行初步设计（3天）；
2、按课程设计的要求进行详细设计（3天）；
3、进行实时控制实验，并按课程设计的规范要求撰写设计报告（3天）；
4、课程设计答辩，实时控制验证（1天）。
任务下达日期2012年12月24日
完成日期2013年1月6日
指导教师（签名）
学生（签名）
目录
1倒立摆系统概述 1
1.1倒立摆系统简介 1
1.2倒立摆系统研究的重要工程背景 1
1.3倒立摆的研究意义 2
1.4Googol倒立摆平台 3
1.5倒立摆的控制目标 4
1.6控制器的设计方法 4
2数学模型的建立 4
3开环响应分析 7
4根轨迹法设计 8
4.1根轨迹法控制的基本要求 8
4.2利用根轨迹法分析系统稳定性 8
4.3根轨迹法校正 9
4.5利用MATLAB/SIMULINK进行验证 14
5频域分析法设计 15
5.1频域分析法的基本要求 15
5.2利用频域法分析系统稳定性 16
5.3频域法校正 17
5.5利用MATALB/SIMULINK进行验证 21
6PID法设计 22
6.1PID法校正概述 22
6.2校正前的输出阶跃响应 23
6.3PID校正初值设置 24
6.3PID校正调整 24
7实物调试 25
7.1根轨迹法实物调试 25
7.2频域法实物调试 25
7.3PID法实物调试 25
8课程设计总结与心得 26
9参考文献 26
李可达：
倒立摆系统的控制器设计
倒立摆系统的控制器设计
摘要：
倒立摆系统是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合。
本论文通过对直线一级倒立摆系统进行时域、根轨迹和频域分析，以根轨迹法、频域法、PID法对系统控制器进行设计，使其满足倒立摆系统稳态和动态响应要求。
在设计过程中，运用MATLAB/SISOTOOL模块进行分析和调试，运用SIMULINK模块进行验证，仿真达到要求后利用GoogolMATLAB实时控制软件在实物一级倒立摆系统上进行实时控制。
关键词：
直线一级倒立摆MATLABSISOTOOLSIMULINKGoogol
1倒立摆系统概述
1.1倒立摆系统简介
倒立摆的种类有悬挂式、直线、环形、平面倒立摆等。
一级、二级、三级、四级乃至多级倒立摆。
倒立摆系统由倒立摆本体，电控箱以及控制平台（包括运动控制卡和PC机）三大部分组成。
图1Googol摆硬件组成
图2倒立摆系统组成
1.2倒立摆系统研究的重要工程背景
倒立摆系统有着极其重要的研究工程背景，是一些控制中重要研究环节，以下为列举的几个例子：
（1）机器人的站立与行走类似双倒立摆系统。
尽管第一台机器人在美国问世至今已有三十年的历史，机器人的关键技术机器人的行走控制仍未能很好解决。
（2）在火箭等飞行器的飞行过程中为了保持其正确的姿态要不断进行实时控制。
（3）通信卫星在预先计算好的轨道和确定的位置上运行的同时要保持其稳定的姿态使卫星天线一直指向地球使它的太阳能电池板一直指向太阳。
（4）侦察卫星中摄像机的轻微抖动会对摄像的图像质量产生很大的影响为了提高摄像的质量必须能自动地保持伺服云台的稳定消除震动。
（5）为防止单级火箭在拐弯时断裂而诞生的柔性火箭（多级火箭）其飞行姿态的控制也可以用多级倒立摆系统进行研究。
由于倒立摆系统与双足机器人火箭飞行控制和各类伺服云台稳定有很大相似性因此对倒立摆控制机理的研究具有重要的理论和实践意义。
1.3倒立摆的研究意义
在控制理论发展的过程中，某一理论的正确性及实际应用中的可行性需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证。
倒立摆就是这样一个被控制对象。
倒立摆系统是一个多变量、快速、非线性和自然不稳定系统。
在控制过程中能有效地反映控制中的许多关键问题，如非线性问题系统的鲁棒性问题，随动问题镇定问题，及跟踪问题等。
倒立摆系统作为一个实验装置形象直观结构简单，构件组成参数和形状易于改变，成本低廉，倒立摆系统的控制效果可以通过其稳定性直观地体现，也可以通过摆杆角度小车位移和稳定时间直接度量，其实验效果直观显著，当新的控制理论与方法出现后，可以用倒立摆对其正确性和实用性加以物理验证，并对各种方法进行快捷有效生动的比较。
在现实生活中，摆的应用是非常广泛的。
从实物的钟摆到火箭到人物的芭蕾舞演员的脚尖到杂技演员的过人技艺。
那么什么叫倒立摆，其可定义如下：
支点在下，重心在上，恒不稳定的系统或装置的叫倒立摆。
相反，支点在上而重心在下的则称为顺摆。
倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、分线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。
对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：
如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。
通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。
对于课程设计中的要求，相对较简单，其过程化成线性后在予以分析，从而完成控制环节的参数设计。
此次设计采用googol的倒立摆。
1.4Googol倒立摆平台
图3Googol倒立摆
由于采用了运动控制器和伺服电机进行实时运动控制，以及齿型带传动，固高公司的倒立摆系统还是一个典型的机电一体化教学实验平台，可以用来进行各种电机拖动、定位和速度跟踪控制实验，让学生理解和掌握机电一体化产品的部件特征和系统集成方法。
我们的设计重点就是完成其控制器的设计以使系统能够达到稳定的状态。
图4控制器的设计模块
1.5倒立摆的控制目标
倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。
当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。
1.6控制器的设计方法
控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一个绝对不稳定的系统，为使其保持稳定并且可以承受一定的干扰，需要给系统设计控制器，目前典型的控制器设计理论有：
PID控制、根轨迹以及频率响应法、状态空间法、最优控制理论、模糊控制理论、神经网络控制、拟人智能控制、鲁棒控制方法、自适应控制，以及这些控制理论的相互结合组成更加强大的控制算法。
由于所学知识有限，本论文只针对根轨迹法、频率响应法、PID控制法展开设计。
2数学模型的建立
在机理建模和实验建模中，由于倒立摆系统是的不稳定系统，所以在实验上建模具有很大的困难，在分析过程中采用了机理建模，即是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学等学科的知识和数学手段建立起系统内部变量、输入变量以及输出变量之间的数学关系。
首先可查阅系统的各项参数，由googol公司给出个各项参数及意义如下表：
符号
数值
意义
M
1.096Kg
小车质量
m
0.109Kg
摆杆质量
b
0.1N/m/sec
小车摩擦系数
l
0.25m
摆杆转动轴心到杆质心长度
I
0.0034kgm2
摆杆惯量
F
加在小车上的力
x
小车位置
φ
摆杆与垂直向上方向的夹角
θ
摆杆与垂直向下方向的夹角（摆杆初始位置为竖直向下）
表1直线一级倒立摆的参数符号数值和含义
各个参数在系统的位置和关系如图5，可由此关系导出各个参数之间的关系试以进行进一步分析。
图5直线一级倒立摆模型
设定N和P为小车与摆杆与小车之间的相互作用力和水平方向的分量和垂直方向的分量。
由图6可知道：
小车水平方向的合力：
⑴
摆杆水平方向的合力：
⑵
水平方向的运动方程：
⑶
图6小车及摆杆受力分析
对摆杆垂直方向上的受力进行分析，可得垂直方向的运动方程：
⑷
用u来代表被控对象的输入力F，线性化后，两个运动方程如下：
（其中：
）
⑹
⑸
为了便于分析，在此令，对其进行拉普拉斯变换后可得到摆杆角度和小车位移的传递函数如下：
⑺
摆杆角度和小车加速度之间的传递函数如下：
⑻
摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：
令：
⑼
⑽
再将前面给出的实际参数带入后，可得系统的实际模型如下：
（各参数如下：
M=1.096Kg、m=0.109Kg、b=0.1N/m/sec、l=0.25m、I=0.0034kg·m2）
⑾
⑿
⒀
由以上的三个关系式可分析加以校正装置，调节以使其达到稳定，这也是课程设计的核心部分。
由于在控制中控制的量是线性的，在此需进行开环的分析。
3开环响应分析
在分析开环响应时，分析的是角度和加速度之间的关系，所以分析包括摆杆角度的单位脉冲响应、摆杆角度的单位阶跃响应、小车位置的单位脉冲响应和下车位置的单位阶跃响应。
其在SIMULINK中所设置的环节如下图所示：
图7开环响应结构图
输入程序1：
x=0.02725;
y=[0.01021250-0.26705];
t=0:
0.05:
5;
impulse（x,y,t）
axis（[01060]）
编程可得其响应曲线如下：
图8开环响应曲线
可以看出，在单位阶跃响应作用下，小车位置和摆杆角度都是发散的，系统不稳定。
需要设置相应的控制参数使其达到稳定，并满足响应的条件。
4根轨迹法设计
闭环系统瞬态响应的基本特性与闭环极点的位置紧密相关，如果系统具有可变的环路增益，则闭环极点的位置取决于所选择的环路增益，从设计的观点来看，对于有些系统，通过简单的增益调节就可以将闭环极点移到需要的位置，如果只调节增益不能满足所需要的性能时，就需要设计校正器，常见的校正器有超前校正、滞后校正以及超前滞后校正等。
在此也可用SISOTOOL对求出的参数进行调节使其满足要求。
4.1根轨迹法控制的基本要求
设置控制器，使得校正后的系统的性能指标满足：
（1）最大超调量:
（2）调整时间:
加入调整环节后,
系统的结构图如下：
图9根轨迹法控制系统结构图
4.2利用根轨迹法分析系统稳定性
由于实际系统的开环传递函数为：
⑿
在MATALB中输入程序2:
x=[0.02725];
y=[0.01021250-0.26705];
rlocus（x,y）
z=roots（x）;
p=roots（y）;
得到直线一级倒立摆开环根轨迹图如下：
图10校正前的系统根轨迹
并得到结果为p=5.1136、-5.1136
有方程式和图形分析可得到，系统中是没有零点的，有两个极点而且关于竖轴对称，可以看出闭环传递函数的一个极点位于右半平面，并且有一条根轨迹起始于该极点，并沿着实轴向左跑到位于原点的零点处，这意味着无论增益如何变化，这条根轨迹总是位于右半平面，即系总是不稳定的，必须加控制环节对其进行调整。
4.3根轨迹法校正
（1）确定闭环期望极点的位置，这个参数可有最大超调量求出：
⒁
ξ=0.59，可取其为ξ=0.6。
又由ξ=cosθ可得θ=0.938306，其中θ为位于第二象限的极点和o点的连线与实轴负方向的夹角。
图11性能指标与根轨迹的关系
又由：
⒂
可得到：
ωn=13.53，于是可以得到期望的闭环极点。
（2）未校正系统的根轨迹在实轴和虚轴上，不通过闭环期望极点，因此需要对系统进行超前校正，设控制器为：
⒃
（3）计算超前校正装置应提供的相角，已知期望的闭环主导极点和系统原来的极点的相角和为：
Gs=-4.28
由此可导出φ=-3.14-（-4.28）=1.13517
（4）设计超前校正装置，已知：
θ=0.938306
（5）对于最大的a值的γ角度可由下式计算得到：
⒄
所以有：
图12根轨迹计算图
按最佳确定法作图规则，在上图中画出相应的直线，求出超前校正装置的零点和极点，分别为：
=-6.922；=-26.457
则校正后系统的开环传递函数为：
⒅
（5）由幅值条件为1，并设置反馈为单位反馈，所以有k=141.14；
（6）于是我们得到系统控制器：
⒆
4.4利用MATLAB/SISOTOOL进行分析
在MATLAB中输入程序3：
x=[0.02725];
y=[0.01021250-0.26705];
g=tf（x,y）;
sisotool（g）
得到如下图像：
图13用SISOTOOL调整根轨迹（校正前）
再在此基础上输入所求出的调节零点、极点和开环增益：
图14用SISOTOOL调整根轨迹的参数设置
可得校正后的图形：
图15校正后的系统根轨迹
得其相应的阶跃响应曲线：
图16校正后的系统阶跃响应
由图形可知其超调量太大，满足不了实验要求，所以必须对其进行相应的调节已达到具体的要求。
由于SISOTOOL可以动态调节同时观察其阶跃响应的数值变化，所以很方便的调节出所要的参数。
通过调节可得：
Zc=-5.86；Zp=-100；K=928.5
其所得到的图形如下：
图17调整开环零、极点，增益后的根轨迹
图18调整开环零、极点，增益后的阶跃响应
4.5利用MATLAB/SIMULINK进行验证
用SIMULINK对以上得到的校正后的系统进行仿真验证，结构图如下：
图19实际根轨迹法控制系统结构图
有图形可知超调量为3.25%，调节时间为0.301，满足设计的要求。
通过SIMULINK的验证是满足要求的。
输出阶跃响应如下：
图20实际根轨迹法控制系统校正后输出阶跃响应
5频域分析法设计
系统对正弦输入信号的响应，称为频率响应。
在频率响应方法中，我们在一定范围内改变输入信号的频率，研究其产生的响应。
频率响应可以采用以下三种比较方便的方法进行分析，一种为伯德图或对数坐标图，波特图采用两幅分离的图来表示，一幅表示幅值和频率的关系，一幅表示相角和频率的关系；一种是极坐标图，极坐标图表示的是当ω从0变化到无穷大时，向量|G|的轨迹，极坐标图也常称为奈奎斯特图，奈奎斯特稳定判据使我们有可能根据系统的开环频率响应特性信息，研究线性闭环系统的绝的稳定性和相对稳定性。
在此我任然通过计算出的参数用MATLAB中的SISOTOOL进行调节得到合适的参数。
5.1频域分析法的基本要求
设计控制器，使得校正后系统的性能指标满足：
（1）系统的静态位置误差常数为10；
（2）相位裕量为50º；
（3）增益裕量等于或大于10分贝。
5.2利用频域法分析系统稳定性
由前面得到一级倒立摆的物理模型，实际系统的开环传递函数为：
⑿
其中输入为小车的加速度Vs，输出为摆杆的角度Φs，编程观察其Bode图
输入程序4如下：
x=[0.02725];
y=[0.01021250-0.26705];
z=roots（x）;
p=roots（
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