傅里叶变换在图像处理中的应用研究.doc
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学科分类号：
___________
湖南人文科技学院
本科生毕业论文
题目（中文）：
傅里叶变换在图像处理中的应用研
（英文）：
TheApplicationofFourierTransformInImageProcessing
学生姓名：
学号
系部：
专业年级：
指导教师：
职称：
______________________
目录
摘要…………………………………………………………………………1
关键词……………………………………………………………………………1
Abstract………………………………………………………………1
Keywords………………………………………………………………………1
1.引言………………………………………………………………………………2
1.1本文的研究背景…………………………………………………………2
1.2研究现状和前景…………………………………………………………2
1.3本文研究的思路及内容安排……………………………………………2
2.傅里叶变换和图像处理技术……………………………………………………3
2.1傅里叶变换概述…………………………………………………………4
2.1.1连续傅里叶变换…………………………………………………4
2.1.2离散傅里叶变换…………………………………………………4
2.1.3二维离散傅里叶变换……………………………………………4
2.1.4二维傅立叶变换的性质及其在图像中的表现…………………4
2.2图像处理技术概述………………………………………………………4
2.2.1模拟图像处理……………………………………………………4
2.2.2数字图像处理……………………………………………………4
2.3图像傅里叶变换…………………………………………………………4
2.3.1图像傅里叶变换的物理意义……………………………………4
2.3.2傅里叶变换在图像处理中的作用………………………………4
2.3.3傅里叶变换在图像压缩中的原理………………………………4
2.3.4傅里叶变换在图像压缩中的实现………………………………4
3.图像傅里叶变换快速算法………………………………………………………6
3.1离散傅里叶变换运算量估计……………………………………………7
3.2离散傅里叶变换的快速算法……………………………………………7
3.3FFT算法的基本思想……………………………………………………7
3.4FFT的几种经典算法……………………………………………………7
3.5几种算法的比较…………………………………………………………7
3.6算法的改进………………………………………………………………7
3.6.1算法的改进原理…………………………………………………4
3.6.2算法中有待探讨的问题…………………………………………4
4.基于MATLAB的图像离散傅立叶变换的研究…………………………………6
4.1MATLAB软件概述…………………………………………………………7
4.2MATLAB实现图像离散傅里叶变换………………………………………7
4.3MATLAB实现图像压缩……………………………………………………7
参考文献………………………………………………………………………………8
致谢……………………………………………………………………………………8
附录…………………………………………………………………………………lO
原创性声明…………………………………………………………………………11
傅里叶变换在图象处理中的应用研究
摘要：
傅立叶变换研究是应用数学的一个重要方向，一个多世纪以来，傅立叶变换作为数学工具被迅速的应用到图像和语音分析等众多领域。
傅立叶变换（FT）作为数字图像处理技术的基础，通过在时空域和频率域来回切换图像，对图像的信息特征进行提取和分析，简化计算工作量，被誉为描述图像信息的第二种语言。
本文试图基于MATLAB数学分析工具环境下从工程和实验角度出发，较为直观地探讨了傅立叶变换在图像处理中的应用。
同时，引用了一种改进的快速傅立叶变换（FFT）算法,为傅立叶变换在图像压缩中的实现提供了更为有利的条件。
关键词：
傅立叶变换；FFT；MATLAB；图像处理；图象压缩
TheApplicationofFourierTransformInImageProcessing
Abstract：
TheresearchofFouriertransformisanimportantdirectionoftheappliedmathematics.Beingusedasthemathematicstool,theFouriertransformhasbeenquicklyappliedtoanalyzetheimageandspeech.Etc.Fouriertransform（FT）,knownasthesecondlanguagetodescribetheimage,isthefoundationofimageprocessing,whichselectsandanalyzestheinformationfeaturesbychangingtheimagefromtimespacedomainandfrequencydomain.Meanwhile,itcansimplifiedthecalculation.FromtheangleoftheengineeringandexperimentationintheMATLAB,thepaperhasdiscussedtheapplicationofimageCompressionbasedontheFouriertransform.Atthesametime,thearticleputforwardanewalgorithmofFFT.
KeyWords：
FourierTransform;FFT;Algorithm;ImageProcessing;ImageCompression
1引言
傅立叶变换是信号处理中最重要，应用最广泛的变换。
从某种意义上来说,傅立叶变换就是函数的第二种描述语言。
傅里叶变换理论及其物理解释两者的结合，对图像处理领域诸多问题的解决提供了有利的思路，它让我们从事物的另一侧面来考虑问题，这样在分析某一问题时就会从空域和频域两个角度来考虑问题并来回切换，可以在空域或频域中思考的问题，利用频域中特有的性质，可以使图像处理过程简单，有效，对于迂回解决图像处理中的难题非常有帮助，被广泛应用于数字图像处理中。
1.1本文的研究背景
图像信息是人类认识世界的重要源泉。
数字图像的数据量尤其巨大，同时由于受到通讯带宽和存储空间的限制，所以图像处理技术在数字电视、网络多媒体通信、会议电视、可视电话、遥感图像传输、图像数据库、自动指纹识别系统的指纹存储等应用中起着重要的作用。
如果图像不经过处理就进行存储或者在网络上进行传输，将占用非常大的存储空间和网络带宽，必将限制数字图像在众多领域中的广泛应用。
因此，图像处理技术的发展，对现代科学研究有深远影响。
1.2研究现状和前景
傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用。
尤其在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。
随着傅里叶变换在不同领域不同范围内的延伸以及涉及的范围之广，其发展趋势也愈显“数字化”，更是与计算机技术密不可分，目前，在信号处理与通讯领域里，使用最活跃的当属MATLAB其在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指，而当前傅里叶变换在通信领域中的应用又是基于这一数学软件上，做快速傅里叶变换，并且除了数字信号处理之外，出色的图形处理功能使其在数字图像处理技术上解决了傅里叶变换在这些应用领域内的特定类型的问题，使傅里叶变换在通信中得以更号的应用与发展。
1.3本文研究的思路及内容安排
主要研究傅立叶变换在边缘增强，图像压缩，去噪声，纹理分析等图像处理和分析中的重要作用。
基于MATLAB数学分析工具环境下从工程和实验角度出发，直观地探讨傅立叶变换在图像压缩、边缘增强、图像去噪中的应用。
同时，引用了一种改进的快速傅立叶变换算法,为傅立叶变换在图像压缩的实现提供了更为有利的条件。
图像压缩：
傅立叶变换会使图像信号能量在空间重新分布，其中低频成分占据能量的绝大部分，而高频成分所占比重很小，能量分布集中，这就是数字图像在频率域压缩编码的理论依据。
图像增强与图像去噪：
绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声；边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘。
本文先从傅立叶变换的理论出发，找到了图像傅立叶变换的优势所在，以傅里叶变换在图像压缩中的原理及应用为例做具体研究说明。
利用MATLAB实现基于傅里叶变换的图像压缩技术。
2傅里叶变换和图像处理技术
傅立叶变换作为一种强大的数学工具被广泛的应用于图像和运动识别等领域中。
傅立叶变换与傅立叶级数技术用于分析连续信号，然而在许多应用场合，信号本身就己经是离散的，在这种情况下需要利用傅立叶变换的离散形式来分析离散信号，即离散傅立叶变换（DFT）。
DFT很重要，是因为其实质是有限长序列傅立叶变换的有限点离散采样，从而开辟了频域离散化的道路，使数字信号处理可以在频域采用数字运算的方法进行，增加了数字信号处理的灵活性。
更重要的是DFT有多种快速算法，从而使信号的实时处理和设备的简化得以实现，使图像处理技术成为可能，这一章对傅立叶变换作简单的描述，同时给出离散傅立叶变换的定义，并引出傅立叶变换在图像处理中应用。
2.1傅里叶变换概述
1804年，法国科学家J.-B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，开始从事热流动的研究。
他在题为《热的解析理论》一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解。
在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。
他的这种思想，虽然缺乏严格的论证，但对近代数学以及物理、工程技术却都产生了深远影响，成为傅里叶变换的起源。
傅立叶变换是十九世纪数学界和工程界最辉煌的成果之一，它本质上提出了一种与空间思维不同的频域思维方法，一直是信号处理领域最完美，应用最广泛的一种分析手段，它也是线性系统分析的有利工具，特别是被广泛的应用于数字图像处理中。
在传统的数字图像处理中，傅立叶变换能够定量的分析诸如数字化系统，采样点，电子放大器，卷积滤波器，噪声，显示点等的作用，它在图像平滑，边缘增强，图像压缩，去噪声，纹理分析等图像处理和分析中有重要作用。
随着图像处理和识别技术的发展，傅立叶变换又被应用于数字水印和特征提取及运动状态识别中。
所谓的傅立叶变换就是以时间为自变量的“信号”和以频率为自变量的“频谱“函数之间的某种变换关系。
这种变换同样可以用在其他有关数学和物理的各种问题之中，并可以采用其他形式的变量。
当自变量“时间”或“频率”取连续时间形式和离散时间形式的不同组合，就可以形成各种不同的傅立叶变换对。
傅立叶变换家族中的变换很多，主要包括：
连续傅立叶变换，拉普拉斯变换，离散傅立叶变换，序列傅立叶变换，Z变换和离散傅立叶变换。
连续傅立叶变换，连续傅立叶级数变换，连续拉普拉斯变换适用于连续时间信号的情形。
离散傅立叶级数变换，序列傅立叶变换，Z变换和离散傅立叶变换适用于离散时间信号的情形。
2.1.1连续傅里叶变换
函数f（x）的傅里叶变换存在的条件是满足狄里赫莱条件，即：
具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。
一维连续傅里叶变换及反变换：
单变量连续函数f（x）的傅里叶变换F（u）定义为：
其中，x称为时域变量，u为频率变量。
当给定F（u），通过傅里叶反变换可以得到f（x）
二维连续傅里叶变换及反变换：
二维连续函数f（x,y）的傅里叶变换F（u,v）定义为：
其中x,y为时域变量，u,v为频域变量。
当给定F（u,v），通过傅里叶反变换可以得到f（x,y）：
2.1.2离散傅里叶变换
离散时间信号x（n）的连续傅立叶变换定义为
（2.1）
其反变换为：
（2.2）
在此，我们用数字域频率来表示变换对，并且式（2.2）是在的一个周期内求积分的。
取样频率与取样周期T的关系是=1/T ;取样的角频率为取样数字频率为。
式中是一个连续函数，不能直接在计算机上做数字运算。
为了在计算机上实现频谱分析，必须对的频谱作离散近似。
有限长离散信号，n=0,1,…,N-1的离散傅立叶变换（DFT）定义为
，k=0,1,2,…,N-1（2.3）
的离散傅立叶逆变换IDFT（inversediscreteFouriertransform）为：
，n=0,1,…,N-1（2.4）
式中，，N称为DFT变换区间的长度，N>=M. 通常称式（2.3）和（2.4）为傅立叶变换对，的离散傅立叶变换与变换区间长度N的取值有关。
将DFT变换的定义式写成矩阵形式，得到其中DFT的变换矩阵A为
（2.5）
2.1.3二维离散傅里叶变换
如果二维函数是连续可积的，并且是可积的，则Fourier变换对：
（2.6）
和（2.7）
对二维连续傅立叶变换在二维坐标上进行采样，对空域的取样间隔为和，对频域的取样间隔为，它们的关系为：
和
式中N是在图像一个维上的取样总数。
那么，二维离散傅立叶变换对由式（2.8）和（2.9）给出：
（2.8）
和（2.9）
式中。
2.1.4二维离散傅里叶变换的性质及其在图像中的表现
离散傅立叶变换之所以在图像处理中被广泛使用，成为图像处理的有利工具，就是因为它有良好的性质。
现在对离散傅立叶变换的若干性质作一简单阐述。
（1）变换域的周期性
（2.10）
因此，一个有界图像函数必须是周期性的。
在有些情况下，需对x,y或u,v进行延拓,使图像达到一个周期N。
（2）可分性
Fourier变换核是可分的，对称的，即
这个性质可使二维傅立叶变换依次进行两次一维傅立叶变换来实现。
这样，对于任何可分离性函数，则有
（2.11）
因此，如果一个二维图像函数可被分为两个一维分量函数，则它的频谱可被分解为两个一分量函数。
）对于图像处理来说，就是先对“行”进行变换，再对“列”进行变换（或者先对“列”进行变换，再对“行”进行变换）
（3）缩放性
傅立叶变换的缩放性表明，对于两个标量和，有
（2.12）
式中，两边的函数为对应的变换函数。
式（3.9）说明，空域比例尺度的展开相应于频域尺度的压缩，其幅值也相应的减少为原来的。
特别是当a,b=-1时，有
（2.13）
上式表明，离散傅立叶变换具有符号改变对应性。
（4）位移性
傅立叶变换对的位移定理由下式给出
（2.14）
（2.15）
上面两式表明，当空域图像原点平移到，其对应的频谱要乘上，频域中原点位移到时，其对应的要乘上。
通常，图像频谱中心在点，为了便于观察，多将频谱的中心移至频域的中心。
为此，令，于是，
得到
，（2.16）
即将图像阵元乘以因子后进行傅立叶变换，其频谱中心变移位到了。
（5）180度旋转
可以证明，只需对一幅图像连续做两次傅立叶变换，图像就成倒置的了，即
（2.17）
（6）平均值
二维离散函数的平均值定义为，另外，在二维傅立叶变换定义式中，令，得
，（2.18）
根据该性质可知，在原始情况下，直流分量位于谱矩阵的左上角。
在实际图像处理过程中，为了便于使频率项的排列形式更便于分析，更直观，应对谱矩阵重新排列，使零频率直流分量位于矩阵的中心，这样，从中心向矩阵的边缘，空间频率逐渐增加。
2.2图像处理技术概述
20世纪20年代，图像处理首次得到应用。
20世纪60年代中期，随电子计算机的发展得到普遍应用。
60年代末，图像处理技术不断完善，逐渐成为一个新兴的学科。
2.2.1模拟图像处理
模拟图像处理（Analogimageprocessing）
模拟处理包括：
光学处理（利用透镜）和电子处理，如：
照相、遥感图像处理、电视信号处理等，电视图像是模拟信号处理的典型例子，它处理的是活动图像，25帧/秒。
优点：
模拟图像处理的特点是速度快，一般为实时处理，理论上讲可达到光的速度，并可同时并行处理。
缺点：
模拟图像处理的缺点是精度较差，灵活性差，很难有判断能力和非线性处理能力。
2.2.2数字图像处理
数字图像处理一般都用计算机处理，因此也称之谓计算机图像处理（ComputerImageprocessing）
优点：
处理精度高，处理内容丰富，可进行复杂的非线性处理，有灵活的变通能力，一般来说只要改变软件就可以改变处理内容。
缺点：
处理速度还是一个问题，特别是进行复杂的处理更是如此。
其次是分辨率及精度尚有一定限制。
数字图像处理的主要方法
A、空域法：
这种方法是把图像看作是平面中各个像素组成的集合，然后直接对这一二维函数进行相应的处理。
空域处理法主要有两大类：
B、变换域法：
数字图像处理的变换域处理方法是首先对图像进行正交变换，得到变换域系数阵列，然后再施行各种处理，处理后再反变换到空间域，得到处理结果。
这类处理包括：
滤波、数据压缩、特征提取等处理
2.3图像傅里叶变换
一般来说，进行图像处理的目的在于提高图像质量，使模糊的图像变得清晰；提取图像的有效特征，以便进行模式识别；通过图像变换和有效编码来压缩其频带或数据，以便传输和存储。
对图像进行傅里叶变换，是将图像信号变换到频域进行分析，它不仅反映图像的灰度结构特征，而且能使许多算法易于实现。
这种变换域分析在图像处理中是一种重要有效的分析手段，这可从下列两点看出：
1）有些处理方法直接和滤波概念相联系，因而就需借助傅里叶变换把空间域信号映射到频率域上来分析。
2）借用傅里叶变换，可简化计算或作某种特殊应用（如特征提取、数据压缩等）。
2.3.1图像傅里叶变换的物理意义
图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。
如最大面积的沙漠在一片灰度变化缓慢的区域，对应的频域值很低；而对于地表属性变化剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值很高。
傅立叶变化在实际中有非常明显的物理意义，设是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示的谱。
从纯粹的数学意义来看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。
从物理效果来看，傅立叶变换是将图像从空间域变换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。
换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度函数分布变换为频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。
傅立叶变换可以得出信号在各个频率点上的强度。
2.3.2傅里叶变换在图像处理中的作用
1.图像增强与图像去噪
绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声；边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘；
2.图像分割之边缘检测
提取图像高频分量；
3.图像特征提取
形状特征：
傅里叶描述子
纹理特征：
直接通过傅里叶系数来计算纹理特征
其他特征：
将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性；
4.图像压缩
可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换。
2.3.3傅里叶变换在图像压缩中的原理
傅立叶变换用于图像压缩技术和其它的变换图像压缩编码技术一样也可以分为三个步骤。
如图2-1所示。
原始图像首先经过傅立叶变换得到变换系数。
变换系数经过量化，输出量化区间的索引符号流。
量化操作是不可逆的，因此会导致信息损失.实际上如果不考虑信道噪声等的影响，则所有的信息损失均发生在量化器。
量化得到的符号流经过熵编码得到更为紧凑的比特流。
熵编码是一种以信息论为基础的无损压缩，如Huffman编码、LZW编码与算术编码。
解压与压缩相似，只是执行相反的操作。
2-1基于傅立叶变换的图像压缩框架
原始图像经傅立叶变换会使图像信号能量在空间重新分布，其中低频成分占据能量的绝大部分，而高频成分所占比重很小，根据统计编码的原理，能量分布集中，熵值最小，可实现平均码长最短，这就为数字图像在频率域的压缩编码提供了理论依据。
这样，傅立叶变换用于图像压缩的基本原理不妨这样阐述：
将原来在空域描述的图像信号，变换到另外一些正交空间----频域中去，用变换系数即傅立叶系数来表示原始图像，并对系数进行编码。
一般来说在变换域里描述要比在空域简单，因为图像的相关性明显下降。
尽管变换本身并不带来数据压缩，但由于变换图像的能量大部分只集中于少数几个变换系数上，采用量化和熵编码则可以有效地压缩图像的编码比特率。
变换后图像能量更加集中，在量化和编码时，结合人类视觉心理因素等，采用"区域取样"或"阈值取样"等方法，保留傅立叶变换系数中幅值较大的元素，进行量化编码，而大多数幅值小或某些特定区域的傅立叶变换系数将全部当作零处理。
2.3.4傅里叶变换在图像压缩中的实现
下面将要介绍的就是用离散傅立叶变换压缩信号的例子.考虑由以下函数产生的图像信号，如图2-2所示，
其中,首先在上把信号离散化为个等间隔的样值点，然后对采样点作离散傅立叶变换得,k = 0,1,…,255，其中较小的
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