二元一次方程的解法.docx
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二元一次方程的解法
二元一次方程的解法
二元一次方程的解法：
认识二元一次方程组的有关概念，会把一些简单的实际问题中的数量关系，用二元一次方程组的形式表示出来，学会用含有其中一个未知数的代数式表示另一个的方法。
下面小编整理了二元一次方程的解法，供大家参考。
代入消元
（1）概念：
将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解.这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法.
（2）代入法解二元一次方程组的步骤。
①选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数;
②将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的.）;
③解这个一元一次方程，求出未知数的值;
④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值;
⑤用{联立两个未知数的值，就是方程组的解;
⑥最后检验（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）.
例题：
{x-y=3①
{3x-8y=4②
由①得x=y+3③
③代入②得
3（y+3）-8y=4
y=1
把y=1带入③
得x=4
那么：
这个二元一次方程组的解
{x=4
{y=1
加减消元
（1）概念：
当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.[5]
（2）加减法解二元一次方程组的步骤
①利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式;
②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然后假设未知数系数相等那么用减法，假设未知数系数互为相反数，那么用加法）;
③解这个一元一次方程，求出未知数的值;
④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值;
⑤用{联立两个未知数的值，就是方程组的解;
⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）。
如：
{5x+3y=9①
{10x+5y=12②
把①扩大2倍得到③
10x+6y=18
③-②得：
10x+6y-（10x+5y）=18-12
y=6
再把y=带入①.②或③中
解之得:
{x=-1.8
{y=6
重点难点
本节重点内容是二元一次方程组的概念以及如何用代入法和加减法解二元一次方程组，难点是根据方程的具体形式选择合适的解法。
编辑本段方程的解使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的一组值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的两个公共解，叫做一组二元一次方程组的解。
二元一次方程有无数个解，除非题目中有特殊条件。
但二元一次方程组只有唯一的一组解，即x,y的值只有一个。
也有特殊的，例如无数个解：
{3X+4y=12{x-y=2
{6X+8Y=24{x+y=3
无解：
{3x+4Y=18
{4Y+3X=24
消元法
消元是解二元一次方程的基本思路。
所谓消元就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程再解出未知数。
这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
如:
5x+6y=72x+3y=4,变为5x+6y=74x+6y=8[6]
消元方法
代入消元法,（常用）
加减消元法,（常用）
顺序消元法,（这种方法不常用）
顺序是对的
例子
╭x-y=3①
╰3x-8y=4②
由①得x=y+3③
③代入②得
3（y+3）-8y=4
y=1
所以x=4
那么：
这个二元一次方程组的解
╭x=4
╰y=1
编辑本段教科书中没有的,但比较适用的几种解法:
（一）加减-代入混合使用的方法.
例1,13x+14y=41
（1）
14x+13y=40
（2）
解:
（2）-
（1）得
x-y=-1
x=y-1（3）
把（3）代入
（1）得
13（y-1）+14y=41
13y-13+14y=41
27y=54
y=2
把y=2代入（3）得
x=1
所以:
x=1,y=2
最后x=1，y=2，解出来
特点：
两方程相加减，得到单个x或单个y，适用接下来的代入消元。
（二）代入法
是二元一次方程的另一种方法，就是说把一个方程带入另一个方程中
如：
x+y=590
y+20=90%x
带入后就是：
x+90%x-20=590
例2，（x+5）+（y-4）=8
（x+5）-（y-4）=4
令x+5=m,y-4=n
原方程可写为
m+n=8
m-n=4
解得m=6,n=2
所以x+5=6,y-4=2
所以x=1,y=6
特点：
两方程中都含有相同的代数式（x+5，y-4），换元后可简化方程。
（三）另类换元
例3，x:
y=1:
4
5x+6y=29
令x=t,y=4t
方程2可写为：
5t+24t=29
29t=29
t=1
所以x=1,y=4
换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
[7]
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
比如（x+y）/2-（x-y）/3=6
3（x+y）=4（x-y）
解：
设x+y为a,x-y为b
原=a/2-b/3=6①
3a=4b②
①6得3a-2b=36③
把②代入③得2b=36b=18
把b=18代入②得a=24
所以x+y=24④
x-y=18⑤
④-⑤得2y=6y=3
把y=3代入④得x=21
x=21
是方程组的解
y=3
整体代入
比如2x+5y=15①
85-7y=2x②
解：
把②代入①得
85-7y+5y=15
-2y=-70
y=35
把y=35代入②得
x=-80
x=-80
是方程组的解
y=35
拓展解法
解题方法
二元一次方程常用解法解法一般来说有两种:
1.代入消元法:
2,加减消元法.
这两种解法在初中数学教科书中有详细表达这里就不在说了,
我们来看一下教科书中没有的,但比较适用的几种解法
（一）加减-代入混合使用的方法.
例1,13x+14y=41
（1）
14x+13y=40
（2）
解:
（2）-
（1）得
x-y=-1
x=y-1（3）
把（3）代入
（1）得
13（y-1）+14y=41
13y-13+14y=41
27y=54
y=2
把y=2代入（3）得
x=1
所以:
x=1,y=2
特点:
两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.
（二）换元法
例2，（x+5）+（y-4）=8
（x+5）-（y-4）=4
令x+5=m,y-4=n
原方程可写为
m+n=8
m-n=4
解得m=6,n=2
所以x+5=6,y-4=2
所以x=1,y=6
特点：
两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。
（3）另类换元
例3，x:
y=1:
4
5x+6y=29
令x=t,y=4t
方程2可写为：
5t+6*4t=29
29t=29
t=1
所以x=1,y=4
方法总结
1.二元一次方程与一元一次方程有很多类似的地方，学习时可运用类比的思想方法，比较二元一次方程与一元一次方程有关概念的相同点和不同点.这样，不但能加深对概念的理解，提高对元和次的认识，而且能够逐步培养类比分析和归纳、概括的能力。
一般说来，〝教师〞概念之形成经历了十分漫长的历史。
杨士勋〔唐初学者，四门博士〕«春秋谷梁传疏»曰：
〝师者教人以不及，故谓师为师资也〞。
这儿的〝师资〞，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。
«韩非子»也有云：
〝今有不才之子……师长教之弗为变〞其〝师长〞当然也指教师。
这儿的〝师资〞和〝师长〞可称为〝教师〞概念的雏形，但仍说不上是名副其实的〝教师〞，因为〝教师〞必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。
观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原那么，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。
我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。
看得清才能说得正确。
在观察过程中指导。
我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：
乌云像大海的波浪。
有的孩子说〝乌云跑得飞快。
〞我加以肯定说〝这是乌云滚滚。
〞当幼儿看到闪电时，我告诉他〝这叫电光闪闪。
〞接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：
〝这就是雷声隆隆。
〞一会儿下起了大雨，我问：
〝雨下得怎样?
〞幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握〝倾盆大雨〞这个词。
雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：
〝蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。
〞这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。
我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。
如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。
通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。
2.方程组中的两个未知数一般是不能同时求出来的，必须先想办法消去一个未知数，把解方程组的问题转化为解一元一次方程的问题，这种思想方法就叫做消元法.解二元一次方程组的基本思想方法就是通过消元将二元转化为一元.代入法、加减法是解二元一次方程组的基本方法，必须灵活运用。
与当今〝教师〞一称最接近的〝老师〞概念，最早也要追溯至宋元时期。
金代元好问«示侄孙伯安»诗云：
〝伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。
〞于是看，宋元时期小学教师被称为〝老师〞有案可稽。
清代称主考官也为〝老师〞，而一般学堂里的先生那么称为〝教师〞或〝教习〞。
可见，〝教师〞一说是比较晚的事了。
如今体会，〝教师〞的含义比之〝老师〞一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。
辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称〝教师〞为〝教员〞。
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