（1）x+y<.
（2）xy=<.
23.设P（）=0.3,P（B）=0.4,P（A）=0.5，求P（B｜A∪）
【解】
24.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.
【解】设Ai={第一次取出的3个球中有i个新球}，i=0,1,2,3.B={第二次取出的3球均为新球}
由全概率公式，有
25.按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：
（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？
（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？
【解】设A={被调查学生是努力学习的}，则={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P（A）=0.8，P（）=0.2，又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P（B|A）=0.9，P（|）=0.9，故由贝叶斯公式知
（1）
即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%
（2）
即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.
26.将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？
【解】设A={原发信息是A}，则={原发信息是B}
C={收到信息是A}，则={收到信息是B}
由贝叶斯公式，得
27.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）
【解】设Ai={箱中原有i个白球}（i=0,1,2），由题设条件知P（Ai）=,i=0,1,2.又设B={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知
28.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.
【解】设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品}
由贝叶斯公式得
29.某保险公司把被保险人分为三类：
“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？
【解】设A={该客户是“谨慎的”}，B={该客户是“一般的”}，
C={该客户是“冒失的”}，D={该客户在一年内出了事故}
则由贝叶斯公式得
30.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.
【解】设Ai={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）.
31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?
【解】设必须进行n次独立射击.
即为
故n≥11
至少必须进行11次独立射击.
32.证明：
若P（A｜B）=P（A｜），则A，B相互独立.
【证】即
亦即
因此
故A与B相互独立.
33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为，，，求将此密码破译出的概率.
【解】设Ai={第i人能破译}（i=1,2,3），则
34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：
飞机被击落的概率.
【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3
由全概率公式，得
=（0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7）0.2+
（0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7）0.6+0.4×0.5×0.7
=0.458
35.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：
（1）虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.
（2）新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.
【解】
（1）
（2）
36.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：
（1）A=“某指定的一层有两位乘客离开”；
（2）B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；
（3）C=“恰有两位乘客在同一层离开”；
（4）D=“至少有两位乘客在同一层离开”.
【解】由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.
（1），也可由6重贝努里模型：
（2）6个人在十层中任意六层离开，故
（3）由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：
①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有种可能结果；②4人同时离开，有种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有种可能结果，故
（4）D=.故
37.n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：
（1）甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；
（2）甲、乙、丙三人坐在一起的概率；
（3）如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.
【解】
（1）
（2）
（3）
38.将线段[0，a]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率
【解】设这三段长分别为x,y,a-x-y.则基本事件集为由
0构成的图形，即
如图阴影部分所示，故所求概率为.
39.某人有n把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k次（k=1,2,…,n）才能把门打开的概率与k无关.
【证】
40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i面涂有颜色的概率P（Ai）（i=0,1,2,3）.
【解】设Ai={小立方体有i面涂有颜色}，i=0,1,2,3.
在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000-（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为
.
41.对任意的随机事件A，B，C，试证
P（AB）+P（AC）-P（BC）≤P（A）.
【证】
42.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率.
【解】设={杯中球的最大个数为i},i=1,2,3.
将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故
而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故
因此
或
43.将一枚均匀硬币掷2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率.
【解】掷2n次硬币，可能出现：
A={正面次数多于反面次数}，B={正面次数少于反面次数}，C={正面次数等于反面次数}，A，B，C两两互斥.
可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P（A）=P（B）.所以
由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为
故
44.掷n次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.
【解】设A={出现正面次数多于反面次数}，B={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P（A）=P（B）
（1）当n为奇数时，正、反面次数不会相等.由P（A）+P（B）=1得P（A）=P（B）=0.5
（2）当n为偶数时，由上题知
45.设甲掷均匀硬币n+1次，乙掷n次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.
【解】令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.
乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数.
显然有
=（甲正≤乙正）=（n+1-甲反≤n-乙反）
=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）
由对称性知P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反）
因此P（甲正>乙正）=
46.证明“确定的原则”（Sure-thing）：
若P（A|C）≥P（B|C）,P（A|）≥P（B|），则P（A）≥P（B）.
【证】由P（A|C）≥P（B|C）,得
即有
同理由
得
故
47.一列火车共有n节车厢，有k（k≥n）个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.
【解】设Ai={第i节车厢是空的}，（i=1,…,n）,则
其中i1,i2,…,in-1是1，2，…，n中的任n-1个.
显然n节车厢全空的概率是零，于是
故所求概率为
48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε>0.试证明：
不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1.
【证】
在前n次试验中，A至少出现一次的概率为
49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？
【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽}
B={这只硬币为正品}
由题知
则由贝叶斯公式知
50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：
某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？
第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？
【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有.
（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r根，说明已取了2n-r次，设n次取自B1盒（已空），n-r次取自B2盒，第2n-r+1次拿起B1，发现已空。
把取2n-r次火柴视作2n-r重贝努里试验，则所求概率为
式中2反映B1与B2盒的对称性（即也可以是B2盒先取空）.
（2）前2n-r-1次取火柴，有n-1次取自B1盒，n-r次取自B2盒，第2n-r次取自B1盒，故概率为
51.求n重贝努里试验中A出现奇数次的概率.
【解】设在一次试验中A出现的概率为p.则由
以上两式相减得所求概率为
若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得
.
52.设A，B是任意两个随机事件，求P{（+B）（A+B）（+）（A+）}的值.
【解】因为（A∪B）∩（∪）=A∪B
（∪B）∩（A∪）=AB∪
所求
故所求值为0.
53.设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件：
ABC=F，P（A）=P（B）=P（C）<1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）.
【解】由
故或,按题设P（A）<,故P（A）=.
54.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P（A）.
【解】①
②
故
故③
由A,B的独立性，及①、③式有
故
故或（舍去）
即P（A）=.
55.随机地向半圆0
【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为πa2.阴影部分面积为
故所求概率为
56.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.
【解】设A={两件中至少有一件是不合格品}，B={另一件也是不合格品}
57.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.
（1）求先抽到的一份是女生表的概率p；
（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q.
【解】设Ai={报名表是取自第i区的考生}，i=1,2,3.
Bj={第j次取出的是女生表}，j=1,2.
则
（1）
（2）
而
故
58.设A，B为随机事件，且P（B）>0,P（A|B）=1,试比较P（A∪B）与P（A）的大小.（2006研考）
解：
因为
所以.
习题二
1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.
【解】
故所求分布律为
X
3
4
5
P
0.1
0.3
0.6
2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求：
（1）X的分布律；
（2）X的分布函数并作图；
（3）
.
【解】
故X的分布律为
X
0
1
2
P
（2）当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0
当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P（X=0）=
当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P（X=0）+P（X=
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