初中数学之图形折叠练习题.doc

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初中数学之图形折叠

一．填空题（共9小题）

1．（2003•昆明）已知：

如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O，写出一组相等的线段　_________　（不包括AB=CD和AD=BC）．

2．（2006•荆门）如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD，M、N分别是AD、BC边的中点，将C点折叠至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连接PQ，则PQ=　_________　．

3．有一张矩形纸片ABCD，AB=5，AD=3，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则CF的长为　_________　．

4．（2004•荆州）如图一张长方形纸片ABCD，其长AD为a，宽AB为b（a＞b），在BC边上选取一点M，将△ABM沿AM翻折后B至B′的位置，若B′为长方形纸片ABCD的对称中心，则的值为　_________　．

5．如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，AD=12，AC=13，BC=14．则AB=　_________　．

6．如图所示，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，已知AB=6、BC=8，则BF=　_____

7．如图，取一张长方形纸片，它的长AB=10cm，宽BC=cm，然后以虚线CE（E点在

AD上）为折痕，使D点落在AB边上，则AE=　_________　cm，∠DCE=　_________　．

8．（2008•莆田）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B=　_________　度．

9．一张长方形的纸片如图示折了一角，测得AD=30cm，BE=20cm，∠BEG=60°，则折痕EF的长为　_________　．

二．选择题（共9小题）

10．如图，明明折叠一张长方形纸片，翻折AD，使点D落在BC边的点F处，量得AB=8cm，BC=10cm，则EC=（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

11．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，D是BC上一点，AD=DB，DE⊥AB，垂足为E，CD等于（　　）cm．

A． B． C． D．

12．有一张矩形纸片ABCD，AB=2.5，AD=1.5，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF的长为（　　）

A．1 B．1 C． D．

13．如图，一张四边形纸片ABCD，AD∥BC，将∠ABC对折使BC落在AB上，点C落在AB上点F处，此时我们可得到△BCE≌△BFE，再将纸片沿AE对折，D点刚好也落在点F上，由此我们又可得到一些结论，下述结论你认为正确的有（　　）

①AD=AF；②DE=EF=EC；③AD+BC=AB；④EF∥BC∥AD；⑤∠AEB=90°；⑥S四边形ABCD=AE•BE

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

14．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，BC交AD于O．给出下列结论：

①BC平分∠ABD；②△ABO≌△CDO；③∠AOC=120°；④△BOD是等腰三角形．其中正确的结论有（　　）

A．①③ B．②④ C．①② D．③④

15．如图，一张平行四边形纸片，AB＞BC，点E是AB上一点，且EF∥BC，若沿EF剪开，能得到两张菱形纸片，则AB与BC间的数量关系为（　　）

A．AB=2BC B．AB=3BC C．AB=4BC D．不能确定

16．如图，把一张长方形纸片ABCD沿BD对折，使点C落在E处，BE与AD相交于点F，有下列几个说法：

①∠BED=∠BCD；②∠DBF=∠BDF；③BE=BC；④AB=DE．其中正确的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

17．如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，AD=BC．将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平行四边形，则得到的四边形是（　　）

A．只能是平行四边形 B．只能为菱形 C．只能为梯形 D．可能是矩形

18．如图，直角梯形纸片ABCD中，∠DCB=90°，AD∥BC，将纸片折叠，使顶点B与顶点D重合，折痕为CF．

若AD=2，BC=5，则AF：

FB的值为（　　）

A． B． C． D．

三．解答题（共9小题）

19．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E点，试判断重叠部分的三角形BED的形状，并证明你的结论．

20．（综合探究题）有一张矩形纸片ABCD中，其中AD=4cm，上面有一个以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，如图

（1），将它沿DE折叠，使A点落在BC上，如图

（2）所示，这时，半圆露在外面的面积是多少？

21．已知：

如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE，AE=10．在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC•AP？

若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

22．矩形折叠问题：

如图所示，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形，试说明理由．

（1）若AB=4，BC=8，求AF．

（2）若对折使C在AD上，AB=6，BC=10，求AE，DF的长．

23．（2011•深圳）如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G．

（1）求证：

AG=C′G；

（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长．

24．一张长方形纸片宽AB=8cm，长BC=10cm，现将纸片折叠，使顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），求EC的长．

25．在如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE．

（1）求证：

四边形AFCE是菱形；

（2）过E作EP⊥AD交AC于P，求证：

2AE2=AC•AP；

（3）若AE=8cm，△ABF的面积为9cm2，求△ABF的周长．

26．（2010•凉山州）有一张矩形纸片ABCD，E、F分别是BC、AD上的点（但不与顶点重合），若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB=m，AD=n，BE=x．

（1）求证：

AF=EC；

（2）用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作EE′B′C．当x：

n为何值时，直线E′E经过原矩形的顶点D．

27．（2011•兰州）已知：

如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE．

（1）求证：

四边形AFCE是菱形；

（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；

（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC•AP？

若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

一．选择题（共9小题）

1．如图，ABCD是一张矩形纸片，点O为矩形对角线的交点，直线MN经过点O交AD于M，交BC于N．

操作：

先沿直线MN剪开，并将直角梯形MNCD绕O点旋转180°后，恰好与直角梯形NMAB完全重合，再将重合后的直角梯形MNCD以直线MN为轴翻转180°后所得的图形可能是（　　）

A． B． C． D．

2．如图所示，梯形纸片ABCD，∠B=60°，AD∥BC，AB=AD=2，BC=6，将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为AE，则CE的长度为（　　）

A．2 B．2 C．3 D．4

3．如图，已知一张纸片▱ABCD，∠B＞90°，点E是AB的中点，点G是BC上的一个动点，沿EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点F处，连接AF，则下列各角中与∠BEG不一定相等的是（　　）

A．∠FEG B．∠AEF C．∠EAF D．∠EFA

4．如图，已知长方形纸片ABCD，AB=1．以点A所在直线为折痕折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于点E；再以点E所在直线为折痕折叠纸片，使点A落在射线BC上，若折痕恰好经过点D，则长方形纸片ABCD的面积约为（　　）

A．1.4 B．1.5 C．1.6 D．1.7

5．小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，若AB：

BC=4：

5，则cos∠DFC的值为（　　）

A． B． C． D．

6．如图矩形ABCD纸片，我们按如下步骤操作：

（1）以过点A的直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于点E；

（2）将纸片展开后，再次折叠纸片，以过点E所在的直线为折痕，使点A落在BC或BC的延长线上，折痕EF交直线AD或直线AB于F，则∠AFE的值为（　　）

A．22.5° B．67.5° C．22.5°或67.5° D．45°或135°

7．（2010•钦州）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（　　）

A．4cm B．5cm C．6cm D．10cm

8．如图①，一张四边形纸片ABCD，∠A=50°，∠C=150°．若将其按照图②所示方式折叠后，恰好MD′∥AB，ND′∥BC，则∠D的度数为（　　）

A．70° B．75° C．80° D．85°

9．如图：

将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，ED′的延长线与BC交于点G．若∠EFG=55°，则∠1=（　　）

A．100° B．110° C．120° D．125°

二．解答题（共11小题）

10．（2011•威海）如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．

（1）若∠1=70°，求∠MKN的度数；

（2）△MNK的面积能否小于？

若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由；

（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？

请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值．

11．有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，AD=5，把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交AB于M，交AD于N．

（1）已知BC上的点E，试画出折痕MN的位置，并保留作图痕迹．

（2）若BE=，试求出AM的长．

（3）当点E在BC上运动时，设BE=x，AN=y，试求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．

（4）连接DE，是否存在这样的点E，使△AME与△DNE相似？

若存在，请求出这时BE的长，若不存在，请说明理由．

12．（2005•江西）将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如下图的形式，使点B、F、C、D在同一条直线上．

（1）求证：

AB⊥ED；

（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明

13．（2006•聊城）如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，使AB落在AD边上，然后打开，折痕为AE，顶点B的落点为F．你认为四边形ABEF是什么特殊四边形？

请说出你的理由．

14．如图，把一张矩形的纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．

（1）线段BF与DF相等吗？

请说明理由．

（2）若将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点G正好重合，连接DG，试判断四边形BGDF的形状，并说明理由．

（3）若AB=4，AD=8，在

（1）、

（2）的条件下，求线段DG的长．

15．有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，AD=5．把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交AB于M，交AD于N．

（1）若BE=，试画出折痕MN的位置，并求这时AM的长；

（2）点E在BC上运动时，设BE=x，AN=y，试求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；

（3）连接DE，是否存在这样的点E，使得△AME与△DNE相似？

若存在，请求出这时BE的长；若不存在，请说明理由．

16．有一张矩形纸片ABCD，E、F、分别是BC、AD上的点（但不与顶点重合），若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB=a，AD=b，BE=x．

（1）求证：

AF=EC；

（2）用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作EE'B'C．

①当x：

b为何值时，直线E'E经过原矩形的一个顶点？

②在直线E'E经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE'，直线BE'与EF是否平行？

你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，试探究当a与b有何种数量关系时，它们就垂直？

17．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合，若其长BC为a，宽AB为b，则折叠后不重合部分的面积是多少？

18．如图所示，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置上，ED′的延长线与BC的交点为G，若∠EFG=50°，求∠1，∠2的度数．

19．如图所示，把一张矩形纸片沿对角线折叠．

（1）重合部分是什么图形？

试说明理由；

（2）若CD=1，BC=，求△FED的面积．

20．将一张矩形纸片按如图所示的方法折叠：

回答下列问题：

（1）图中∠AEF是多少度？

为什么？

（2）若，求这张矩形纸片的面积．

三．填空题（共10小题）

21．（2005•威海）如图，梯形纸片ABCD，∠B=60°，AD∥BC，AB=AD=2，BC=6，将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为AE，则CE=　_________　．

22．如图，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′处，第二次过A′，再折叠，使折痕DE∥BC，若AB=2，AC=3，则梯形BDEC的面积为　_________　．

23．如图，ABCD是一张矩形纸片，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在BC上，折痕交AB于点E，若BC=2AB，则∠A′EB=　_________　．

24．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C﹑D分别落在点C′、D′的位置上，EC′交AD于点G．已知∠EFG=55°，那么∠BEG=　_________　度．

25．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在点C′，D′的位置上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=50°，那么∠BEG的度数为　_________　．

26．如图，把一张平行四边形纸片ABCD沿BD对折，使点C落在E处，BE与AD相交于点O，若∠DBC=15°，则∠BOD等于　_________　．

27．如图，一张矩形纸片ABCD的长AD=8cm，宽AB=4cm，现将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则折痕EF的长是　_________　cm．

28．如图，将一张长方形纸片沿对角线AC折叠后，点D落在点E处，与BC交于点F，图中全等三角形（包含△ADC）对数有　_________　对．

29．如图：

一张短边BC是10cm的长方形纸片，将按图所示的方法折叠，使得一顶点C恰好落在AB上，则折痕DE的长度（用θ表示）是　_________　cm．

30．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=3，BC=4，将直角三角形纸片ABC折叠，使直角边AC落在斜边AB上，折痕为AD，则BD=　_________　．

一．填空题（共13小题）

1．如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N=　_________　．

2．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使A点落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN，过N作NH⊥BC于Q，则∠NBC的度数是　_________　．

3．现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB=4cm，BC=6cm，点E是BC的中点．将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点B'．则线段B'C=　_________　．

4．（2008•包头）如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC=6cm，高AD=4cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，要使矩形EGFH的面积最大，EG的长应为　_________　cm．

5．（2011•青海）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是　_________　mm．

6．如图：

梯形纸片ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，沿对角线BD将其折叠，点A落在DC上，记为A′，AD=7，AB=13，则A′C=　_________　．

7．如图，已知一张三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，BC=3cm，AB=6cm，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则CE的长度为　_________　cm．

8．（2009•吉林）将一张矩形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC=　_________　度．

9．（2004•衢州）如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD、BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ=　_________　度．

10．（2011•葫芦岛）两个全等的梯形纸片如图

（1）摆放，将梯形纸片ABCD沿上底AD方向向右平移得到图

（2）．已知AD=4，BC=8，若阴影部分的面积是四边形A′B′CD的面积的，则图

（2）中平移距离A′A=　_________　．

11．如图2，将矩形纸片ABCD（图1）按如下步骤操作：

（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E（如图2）；

（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F（如图3）；（3）将纸片收展平，那么∠AEF的度数为　_________　．

12．（2007•钦州）动手折一折：

将一张正方形纸片按下列图示对折3次得到图④，在AC边上取点D，使AD=AB，沿虚线BD剪开，展开△ABD所在部分得到一个多边形，则这个多边形的一个内角的度数是　_________　度．

13．锐角三角形ABC中，高AD和BE交于点H，且BH=AC，则∠ABC=　_________　度．

二．解答题（共13小题）

14．如图，ABCD是一张矩形纸片，点O为矩形对角线的交点．直线MN经过点O交AD于M，交BC于N．操作：

先沿直线MN剪开，并将直角梯形MNCD绕点O旋转　_________　度后（填入一个你认为正确的序号：

①90°；②180°；③270°；④360°），恰与直角梯形NMAB完全重合；再将重合后的直角梯形MNCD以直线MN为轴翻转180°后所得到的图形是下列中的　_________　．（填写正确图形的代号）

15．如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=5，AD=4．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．

（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2），请你求出△ABF的面积；

（2）在

（1）的条件下，小明先将三角形的边EG和矩形边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式，并求当重叠部分面积为10时，平移距离x的值（如图3）；

（3）在

（2）的操作中，小明发现在平移过程中，虽然有时平移的距离不等，但两纸片重叠的面积却是相等的；而有时候平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．请探索这两种情况下重叠部分面积y的范围（直接写出结果）．

16．（2006•重庆）如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图所示）．将纸片△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A，D1，D2，B始终在同一直线上），当点D1于点B重合时，停止平移．在平移过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P．

（1）当△AC1D1平移到如图3所示的位置时，猜想图中的D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想；

（2）设平移距离D2D1为x，△AC1D1与△BC2D2重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；

（3）对于

（2）中的结论是否存在这样的x的值使得y=S△ABC；若不存在，请说明理由．

17．在一张长方形ABCD纸片中，AD=25cm，AB=20cm，现将这张纸片按下列图示方式折叠，请分别求折痕的长．

（1）如图1，折痕为AE，点B的对应点F在AD上；

（2）如图2，P，Q分别为AB，CD的中点，B的对应点G在PQ上，折痕为AE；

（3）如图3，点B与点D重合，折痕为EF．

18．（2003•苏州）OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6．

（1）如图1，在OA上选取一点G，将△COG沿CG翻折，使点O落在BC边上，记为E，求折痕y1所在直线的解析式；

（2）如图2，在OC上选取一点D，将△AOD沿AD翻折，使点O落在BC边上，记为E'．

①求折痕AD所在直线的解析式；

②再作E'F∥AB，交AD于点F．若抛物线y=﹣x2+h过点F，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AD的交点的个数．

（3）如图3，一般地，在OC、OA上选取适当的点D'、G'，使纸片沿D'G'翻折后，点O落在BC边上，记为E''．请你猜想：

折痕D'G'所在直线与②中的抛物线会有什么关系？

用

（1）中的情形验证你的猜想．

19．小红手里有一张长方形的纸片ABCD，她连接对角线AC，BD，交点为O，分成四个三角形．请你画出△AOB平移后的图形，其平移方向为射线AD的方向，平移距离为线段AD的长．

20．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，其中BC=12cm，高AD=8cm，现在要把它裁成一块正方形材料备用，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，问这块正方形材料的边长是多少？

21．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC=80cm，高AD=60cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？

22．如图，