最新高考数学圆锥曲线部分知识点梳理优秀名师资料.docx
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最新高考数学圆锥曲线部分知识点梳理优秀名师资料
高考数学圆锥曲线部分知识点梳理
一、方程的曲线,
在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系,
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解,
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系,若曲线C的方程是f(x,y)=0,则点P(x,y)在曲线C上f(x,y)=0,,00000点Pf(x,y)?
0。
(x,y)不在曲线C上,00000
两条曲线的交点,若曲线C,C的方程分别为f(x,y)=0,f(x,y)=0,则点P(x,y)是1212000
f(x,y),0100C,C的交点{方程组有n个不同的实数解,两条曲线就有n个不同的,12f(x,y),0200
交点,方程组没有实数解,曲线就没有交点。
二、圆,
1、定义,点集,M,,OM,=r,,其中定点O为圆心,定长r为半径.
2222、方程,
(1)标准方程,圆心在c(a,b),半径为r的圆方程是(x-a)+(y-b)=r
222圆心在坐标原点,半径为r的圆方程是x+y=r
2222
(2)一般方程,?
当D+E-4F,0时,一元二次方程x+y+Dx+Ey+F=0叫做圆的一
DE42222D,E,F般方程,圆心为(,,,)半径是。
配方,将方程x+y+Dx+Ey+F=0化222
22DEDE-4F,22为(x+)+(y+)=224
DE22?
当D+E-4F=0时,方程表示一个点(-,-);22
22?
当D+E-4F,0时,方程不表示任何图形.
3,点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x,y),则,MC,00,r点M在圆C内,,MC,=r点M在圆C上,,MC,,r点M在圆C内,,,,
22(x-a),(y-b)其中,MC,=。
00
-1-
4,直线和圆的位置关系,?
直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系,直线与圆相交有两个公共点,直线与圆相切有一个公共点,直线与圆相离没有公共,,,点。
?
直线和圆的位置关系的判定,(i)判别式法,(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0
Aa,Bb,C与半径r的大小关系来判定。
的距离d,22A,B
三、圆锥曲线的统一定义,
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e,0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。
其中定点F(c,0)称为焦点,定直线l称为准线,正常数e称为离心率。
当0,e,1时,轨迹为椭圆,当e=1时,轨迹为抛物线,当e,1时,轨迹为双曲线。
四、椭圆、双曲线、抛物线,
椭圆双曲线抛物线
1,到两定点F,F的,F的距1,到两定点F1212
距离之和为定值离之差的绝对值为定值
2a(2a>|F2a(0<2a<|FF|)的点的F|)的点的1212
与定点和直线的距离
定义轨迹轨迹
相等的点的轨迹.
2,与定点和直线的2,与定点和直线的距离
距离之比为定值e的之比为定值e的点的轨
点的轨迹.,01,
点集,({M,,
点集,{M,,MF,-,1
轨迹条MF+,MF,点集{M,,MF,=12
MF,.2
件=2a,,FF,,2a点M到直线l的距离}.12
=?
2a,,FF,,2a}.22
-2-
图形
标
方
准2222xyxy2y,2px,,1,,1(>0)(a>0,b>0)a,b2222abab方
程
程
参
,x,acosx,asec数,,2,x,2pt,,,,y,bsiny,btan(t为参数),,,y,2pt,(参数为离心角)(参数为离心角),,方
程
范围?
a,x,a,?
b,y,b|x|,a,y,Rx,0中心原点O,0,0,原点O,0,0,
(a,0),(?
a,0),
顶点(a,0),(?
a,0)(0,0)
(0,b),(0,?
b)
x轴,y轴,x轴,y轴;
对称轴x轴
长轴长2a,短轴长2b实轴长2a,虚轴长2b.
pF(,0)焦点F(c,0),F(?
c,0)F(c,0),F(?
c,0)12122
-3-
px=-22aa2x=?
x=?
cc
准线与焦点位于顶点准线准线垂直于长轴,且准线垂直于实轴,且在
两侧,且到顶点的距
在椭圆外.两顶点的内侧.
离相等.
2222焦距2c,c=,2c,c=,a,ba,b
cce,(0,e,1)e,(e,1)离心率e=1aa
【备注1】双曲线,
222x,y,,a?
等轴双曲线,双曲线称为等轴双曲线,其渐近线方程为,离心率.e,2y,,x
?
共轭双曲线,以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲
2222yyxx线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线,,,,,,,,2222abab
22yx,,0.22ab
2222yxyx,,,(,,0),,0?
共渐近线的双曲线系方程,的渐近线方程为如果双曲线的2222abab
22yxyx渐近线为时,它的双曲线方程可设为,,,(,,0).,,022abab
【备注2】抛物线,
pp2y,1,抛物线=2px(p>0)的焦点坐标是(,0),准线方程x=-,开口向右,抛物线22
pp22y=-2px(p>0)的焦点坐标是(-,0),准线方程x=,开口向左,抛物线x=2py(p>0)22
pp的焦点坐标是(0,),准线方程y=-,开口向上,22
pp2抛物线x=-2py,p>0,的焦点坐标是,0,-,,准线方程y=,开口向下.22
p2y,2,抛物线=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离,抛物线MF,x,02
-4-
p2y=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离MF,,x02
p2y,3,设抛物线的标准方程为=2px(p>0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为,2
p顶点到准线的距离,焦点到准线的距离为p.2
2y4,已知过抛物线=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点,则线段AB称为,
2px,x焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长=+p或AB,(α为直线AB的倾AB122sin,
2pp2,yy,,p斜角),,(叫做焦半径).xx,AF,x,AF1211242
五、坐标的变换,
1,坐标变换,在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.
2,坐标轴的平移,坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴。
3,坐标轴的平移公式,设平面内任意一点M,它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y),
''(x,y)在新坐标系x′O′y′中的坐标是.设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标
x,x',hx',x,h是(h,k),则或y,y',ky',y,k
叫做平移(或移轴)公式.
4,中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表,
方程焦点焦线对称轴
x=h222(x-h)(y-k)a+=1x=?
+h(?
c+h,k)22caby=k
椭圆
x=h222(x-h)(y-k)a+=1y=?
+k(h,?
c+k)22cbay=k
-5-
x=h222(x-h)(y-k)a-=1x=?
+k(?
c+h,k)22caby=k
双曲线
x=h222(y-k)(x-h)a-=1y=?
+k(h,?
c+h)22caby=k
pp2+h,k)x=-+h((y-k)=2p(x-h)y=k22
pp2+h,k)x=+h(-(y-k)=-2p(x-h)y=k22
抛物线
pp2+k)y=-+k(h,(x-h)=2p(y-k)x=h22
pp2+k)y=+k(h,-(x-h)=-2p(y-k)x=h22六、椭圆的常用结论,
1.点P处的切线PT平分?
PF1F2在点P处的外角.2.PT平分?
PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以
长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
22xyxxyy00Pxy(,)P,,15.若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是,,1.00002222abab
22xyPxy(,)P,,16.若在椭圆外,则过作椭圆的两条切线切点为P、P,则切点12000022ab
xxyy00弦P,,1P的直线方程是.1222ab
22xy,,17.椭圆(a,b,0)的左右焦点分别为F,F,点P为椭圆上任意一点1222ab
2,,FPF,Sb,tan,则椭圆的焦点角形的面积为.12,FPF122
-6-
22xy,,18.椭圆,a,b,0,的焦半径公式22ab
||MFaex,,||MFaex,,Fc(,0),Fc(,0)Mxy(,),(,).10201200
9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结
AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF?
NF.
Q,A、A为椭圆长轴上的顶点,10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、12AP和AQ交于点M,AP和AQ交于点N,则MF?
NF.1221
22xy(x,y),,111.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则0022ab
22bxb0kk,,,,即。
K,,OMABAB22aay0
22xyPxy(,),,112.若在椭圆内,则被Po所平分的中点弦的方程是00022ab
22xxyyxy0000,,,,2222abab
【推论】,
2222xxyyxyxy00Pxy(,),,1,,,1、若在椭圆内,则过Po的弦中点的轨迹方程是。
000222222ababab
22xyAa(,0),Aa(,0),,1椭圆,a,b,o,的两个顶点为,,与y轴平行的直线交椭圆1222ab
22xy,,1于PP时AP与AP交点的轨迹方程是.1、2112222ab
22xyAxy(,),,12、过椭圆(a,0,b,0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭0022ab
2bx0圆于B,C两点,则直线BC有定向且,常数,.k,BC2ay0
22xy,,13、若P为椭圆,a,b,0,上异于长轴端点的任一点,F,F是焦点,1222ab
ac,,,,,PFF,,,PFF,tantco,,则.,1221ac22,
22xy,,14、设椭圆,a,b,0,的两个焦点为F、F,P,异于长轴端点,为椭圆上1222ab
-7-
sin,c,,e,,FPF,,,PFF,,,FFP,任意一点,在?
PFF中,记,,,则有.12121212,sinsina,,
22xy,,15、若椭圆,a,b,0,的左、右焦点分别为F、F,左准线为L,则当01222ab
e?
时,可在椭圆上求一点P,使得PF是P到对应准线距离d与PF的比例21,12
中项.
22xy,,16、P为椭圆,a,b,0,上任一点,F,F为二焦点,A为椭圆内一定点,则1222ab
2||||||2||aAFPAPFaAF,,,,,AFP,,,当且仅当三点共线时,等号成立.2112
22()()xxyy,,00,,1与直线有公共点的充要条件是7、椭圆AxByC,,,022ab
22222AaBbAxByC,,,,().00
22xy,,18、已知椭圆,a,b,0,,O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且OPOQ,.22ab
2211114ab22S,,,,1,;,2,|OP|+|OQ|的最大值为;,3,的最小值,OPQ222222ab,||||OPOQab
22ab是.22ab,
22xy,,19、过椭圆,a,b,0,的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦22ab
||PFe,MN的垂直平分线交x轴于P,则.||2MN
22xy,,110、已知椭圆,a,b,0,,A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分22ab
2222abab,,Px(,0),,,x线与x轴相交于点,则.00aa
22xy,,111、设P点是椭圆,a,b,0,上异于长轴端点的任一点,F、F为其焦点1222ab
22b,2,,FPF,,||||PFPFSb,tan,则
(1).
(2).记1212,PFF12,1cos,2
22xy,,112、设A、B是椭圆,a,b,0,的长轴两端点,P是椭圆上的一点,,,,PAB,22ab
-8-
22|cos|ab,,,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有
(1).
(2),,PBA,,,BPA,,||PA222,accos,
222ab2tantan1,,,,eS,cot,.(3).,PAB22,ba
22xy,,113、已知椭圆,a,b,0,的右准线与x轴相交于点,过椭圆右焦点EFl22ab
的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上,且轴,则直线AC经过线ClBCx,
段EF的中点.
14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
注:
在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.,17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.七、双曲线的常用结论,
1、点P处的切线PT平分?
PFF在点P处的内角.12
2、PT平分?
PFF在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长12
轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4、以焦点半径PF为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.,内切,P在右支,外切,1
P在左支,
22xyPxy(,)P,,15、若在双曲线,a,0,b,0,上,则过的双曲线的切线方程是000022ab
xxyy00,,1.22ab
-9-
22xyPxy(,),,16、若在双曲线,a,0,b,0,外,则过Po作双曲线的两条切线切00022ab
xxyy00点为P、P,则切点弦PP的直线方程是.,,1121222ab
22xy,,17、双曲线,a,0,b,o,的左右焦点分别为F,F,点P为双曲线上任意1222ab
2,,FPF,一点,则双曲线的焦点角形的面积为.Sbco,t12,FPF122
22xyFc(,0),Fc(,0)Mxy(,),,18、双曲线,a,0,b,o,的焦半径公式,(,,当在120022ab
||MFexa,,||MFexa,,Mxy(,)右支上时,,,当在左支上时,102000
||MFexa,,,||MFexa,,,,。
1020
9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,
连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MF?
NF.
10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A、A为双曲线实轴上的12顶点,AP和AQ交于点M,AP和AQ交于点N,则MF?
NF.1221
22xy(x,y),,111、AB是双曲线,a,0,b,0,的不平行于对称轴的弦,M为AB的0022ab
22bxbx00中点,则,即。
KKK,,,OMABAB22ayay00
22xyPxy(,),,112、若在双曲线,a,0,b,0,内,则被Po所平分的中点弦的方程00022ab
22xxyyxy0000,,,是.2222abab
22xyPxy(,),,113、若在双曲线,a,0,b,0,内,则过Po的弦中点的轨迹方程是00022ab
22xxyyxy00,,,.2222abab
【推论】,
22xy,,1Aa(,0),Aa(,0)1、双曲线,a,0,b,0,的两个顶点为,,与y轴平行的直线1222ab
-10-
22xy,,1交双曲线于PP时AP与AP交点的轨迹方程是.1、2112222ab
22xyAxy(,),,12、过双曲线,a,0,b,o,上任一点任意作两条倾斜角互补的直线0022ab
2bx0交双曲线于B,C两点,则直线BC有定向且,常数,.k,,BC2ay0
22xy,,13、若P为双曲线,a,0,b,0,右,或左,支上除顶点外的任一点,F,F1222ab
caca,,,,,,,,PFF,,,PFF,是焦点,,,则,或,.tantcotantco,,1221ca22ca22,,
22xy,,14、设双曲线,a,0,b,0,的两个焦点为F、F,P,异于长轴端点,为双1222ab
,,FPF,,,PFF,,,FFP,曲线上任意一点,在?
PFF中,记,,,则有12121212
sin,c,,e.,,(sinsin)a,,
22xy,,1,a,0,b,0,的左、右焦点分别为F、F,左准线为L,则5、若双曲线1222ab
当1,e?
21,时,可在双曲线上求一点P,使得PF是P到对应准线距离d与PF12
的比例中项.
22xy,,16、P为双曲线,a,0,b,0,上任一点,F,F为二焦点,A为双曲线内一定1222ab
||2||||AFaPAPF,,,AFP,,AF,点,则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时,等号P2122成立.
22xy,,1AxByC,,,07、双曲线,a,0,b,0,与直线有公共点的充要条件是22ab
22222AaBbC,,.
22xy,,18、已知双曲线,b,a,0,,O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,22ab
OPOQ,且.
2211114ab22S,,,,1,;,2,|OP|+|OQ|的最小值为;,3,的最小值,OPQ222222ba,||||OPOQab
-11-
22ab是.22ba,
22xy,,19、过双曲线,a,0,b,0,的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两22ab
||PFe,.点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则||2MN
22xy,,110、已知双曲线,a,0,b,0,,A、B是双曲线上的两点,线段AB的垂直22ab
2222ab,ab,Px(,0)x,x,,平分线与x轴相交于点,则或.000aa
22xy,,111、设P点是双曲线,a,0,b,0,上异于实轴端点的任一点,F、F为其1222ab
22b,2,,FPF,,||||PFPF焦点记,则
(1).
(2).Sb,cot1212,PFF12,1cos,2
22xy,,112、设A、B是双曲线,a,0,b,0,的长轴两端点,P是双曲线上的一点,22ab
④同心圆:
圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆。
,,PBA,,,,BPA,,c、e分别是双曲线的半焦距离心率,则有,,PAB,
22|cos|ab,
(1).,||PA222,|s|acco,
222ab2tantan1,,,,eS,cot,
(2).(3).,PAB22,ba
22xy,,113、已知双曲线,a,0,b,0,的右准线与x轴相交于点,过双曲线右El22ab
焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上,且轴,则直线ACFClBCx,经过线段EF的中点.
14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交
点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连
即;线必与焦半径互相垂直.
16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数
=0<===>抛物线与x轴有1个交点;e(离心率).
-12-
(1)如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.(圆心向弦作垂线)(注:
在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.八、抛物线的常用结论,
(2)抛物线的描述:
开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高(或最低)点、抛物线与x轴的交点。
2ac,bb42?
顶点.ay,by,c,x,()aa42
22PP?
y,2px(p,0)则焦点半径;x,2py(p,0)则焦点半径为.PF,x,PF,y,22?
通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.
30o45o60o2x,2pt,,x,2pt22ty,2pxx,2py?
或,的参数方程为,或,,为参数,.,,2y,2pty,2pt,,
2222y,2pxy,,2pxx,2pyx,,2py
(3)当>0时,设抛物线与x轴的两个交点为A、B,则这两个点之间的距离:
?
?
yy?
?
yy
xxx图形xOOOO
(1)定义:
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形,这个圆叫做该正多边形的外接圆.ppppF(,0)F(,,0)F(0,)F(0,,)焦点2222
ppppx,,y,,y,x,准线2222
的图象可以由y=ax2的图象平移得到:
(利用顶点坐标)x,0,y,Rx,0,y,Rx,R,y,0x,R,y,0范围
x对称轴轴轴y
顶点,0,0,
e,1离心率
ppppPF,,xPF,,xPF,,yPF,,y焦点11112222
(一)教学重点-13-