概率论与数理统计试题及答案+考前必备公式大全.doc
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考研数学冲刺·概率论与数理统计
一、基本概念总结
1、概念网络图
2、最重要的5个概念
（1）古典概型（由比例引入概率）
例1：
3男生，3女生，从中挑出4个，问男女相等的概率？
例2：
有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问其中至少有1个是黑色的概率？
（2）随机变量与随机事件的等价（将事件数字化）
例3：
已知甲、乙两箱中装有两种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。
从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：
乙箱中次品件数X的数学期望。
从乙箱中任取一件产品是次品的概率。
例4：
将一枚均匀硬币连掷三次，以X表示三次试验中出现正面的次数，Y表示出现正面的次数与出现反面的次数的差的绝对值，求（X，Y）的联合分布律。
（3）分布函数（将概率与函数联系起来）
（4）离散与连续的关系例5：
见“数字特征”的公式。
（5）简单随机样本（将概率和统计联系在一起）
样本是由n个同总体分布的个体组成的，相当于n个同分布的随机变量的组合（n维随机变量）。
例6：
样本的是已知的，个体（总体）的未知，矩估计：
，完成了一个从样本到总体的推断过程。
二、做题的18个口诀（概率15个，统计3个）
1、概率
（1）题干中出现“如果”、“当”、“已知”的，是条件概率。
例7：
5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问第二次打开的概率？
（2）时间上分两个阶段的，用“全概公式”或者“贝叶斯公式”。
例8：
玻璃杯成箱出售，每箱20只，设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8,0.1和0.1。
一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4只；若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。
试求：
（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；
（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。
（3）“只知次数，不知位置”是“二项分布”。
例9：
抛5次硬币，其中有3次正面朝上的概率？
例10：
1对夫妇生4个孩子，2男2女的概率？
（4）“先后不放回取”≡“任取”，是“超几何分布”。
例11：
5个球，3红2白，先后不放回取2个，2红的概率？
例12：
5个球，3红2白，任取2个，2红的概率？
（5）“先后放回取”是“二项分布”。
例13：
5个球，3红2白，先后放回取5个，2红的概率？
（6）求随机变量函数的分布密度，从分布函数的定义入手。
例14：
设X的分布函数F（x）是连续函数，证明随机变量Y=F（X）在区间（0，1）上服从均匀分布。
（7）二维随机变量的概率分布从两个事件相交的本质入手。
，。
（8）二维连续型随机变量的边缘分布由画线决定积分的上下限。
例15：
设二维连续型随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中求X的边缘密度。
（9）求二维连续型随机变量的函数分布或者某个区域内的概率，由画图计算相交部分（正概率区间和所求区域的交集）的积分。
例16：
设随机变量（X，Y）的分布密度为试求U=X-Y的分布密度。
（10）均匀分布用“几何概型”计算。
例17：
设随机变量（X，Y）的分布密度为：
，试求P（X+Y>1）。
（11）关于独立性：
对于离散型随机变量，有零不独立；对于连续型随机变量，密度函数可分离变量并且正概率密度区间为矩形。
（12）二维随机变量的期望E（X）、E（Y）和方差D（X）、D（Y），由边缘分布来求。
例19：
设，为两个随机事件,且,,,令
求（Ⅰ）二维随机变量的概率分布;（Ⅱ）与的相关系数;（Ⅲ）的概率分布.
（13）相关系数中的E（XY），对于离散型随机变量，根据XY的一维分布来求；对于连续型随机变量，按照函数的期望来求。
例20：
连续型随机变量：
E（XY）＝
（14）应用题：
设Y为题干中要求期望的随机变量，a为最后题目所求，然后找Y与X的函数关系，再求E（Y）。
例21：
市场上对商品需求量为X～U（2000，4000），每售出1吨可得3万元，若售不出而囤积在仓库中则每吨需保养费1万元，问需要组织多少货源，才能使收益的期望最大？
（15）切比雪夫大数定律要求“方差有界”，辛钦大数定律要求“同分布”。
2、统计
（1）似然函数是联合密度或者联合分布律。
连续型：
离散型：
例22：
设总体X的概率分别为
其中θ（0<θ<）是未知参数，利用总体X的如下样本值：
3，1，3，0，3，1，2，3求θ的矩估计值和最大似然估计值。
（2）“无偏”求期望，“有效”求方差，“一致”不管它。
（3）例23：
设是总体的一个样本，试证
（1）
（2）
（3）都是总体均值u的无偏估计，并比较有效性。
（3）标准正态、分布区间估计和假设检验取关于y轴对称的分位数，、分布取面积对称的分位数。
三、选择题常考的5个混淆概念
1、乘法公式和条件概率例24：
100个学生，60个男生，40个女生，棕色头发30个，棕色头发的男生10个，任取一个学生，是棕色头发的男生的概率？
已知取了一个男生，是棕色头发的概率？
2、独立和互斥设A≠ø,B≠ø，则A和B相互独立与A和B互斥矛盾。
例25：
对于任意二事件A和B，
若AB=Φ，则A，B一定不独立.若AB=Φ，则A，B一定独立。
若AB≠Φ，则A，B一定独立。
（D）若AB≠Φ，则A，B有可能独立。
3、独立和不相关独立是不相关的充分条件。
（X,Y）为二维正态分布时，独立和不相关互为充分必要条件。
4、X，Y分别为正态分布，不能推出（X，Y）为二维正态分布；也不能推出X+Y为一维正态分布。
例26：
已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数，设
（1）求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）；
（2）求X与Z的相关系数；（3）问X与Z是否相互独立？
为什么？
例27：
设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则
（A）X与Y一定独立。
（B）（X，Y）服从二维正态分布。
（C）X与Y未必独立。
（D）X+Y服从一维正态分布。
5、几个大数定律的区别切比雪夫大数定律要求“方差有界”，辛钦大数定律要求“同分布”。
例28：
设{X1,X2,……Xn，……}是相互独立的随机变量序列，Xn服从参数为n的指数分布（n=1,2,……），则随机变量序列{X1,22X2,……n2Xn，……}：
（A）服从切比雪夫大数定律。
（B）服从辛钦大数定律。
（C）同时服从切比雪夫大数定律和辛钦大数定律。
（D）既不服从切比雪夫大数定律，也不服从辛钦大数定律。
四、解答题常考的6个题型
1、全概和贝叶斯公式例29：
在电源电压不超过200V、在200～240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1、0.001和0.2，设电源电压X～N（220，252），试求该电子元件损坏的概率α；该电子元件损坏时，电源电压在200～240V的概率β。
表中Φ（x）是标准正态分布函数。
2、二项分布例30：
设测量误差X~N（0，102）。
试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α，并用泊松分布求出α的近似值（要求小数点后取两位有效数字）。
[附表]：
3、二维随机变量例31：
设二维随机变量（X，Y）的概率分布为
Y
X0 1
0 0.4 a
1 b 0.1
若随机事件{X=0}与{X+Y=1}互相独立，则 A、a=0.2,b=0.3 B、a=0.1,b= C、a=0.3,b=0.2 D、a=0.4,b=0.1
例32：
设随机变量在区间上服从均匀分布，在的条件下，随机变量在区间上服从均匀分布，求（Ⅰ）随机变量和的联合概率密度；（Ⅱ）的概率密度；（Ⅲ）概率．
4、数字特征
例33：
一辆送客汽车，载有m位乘客从起点站开出，沿途有n个车站可以下车，若到达一个车站，没有乘客下车就不停车。
设每位乘客在每一个车站下车是等可能的，试求汽车平均停车次数。
例34：
今有两封信欲投入编号为I、II、III的3个邮筒，设X，Y分别表示投入第I号和第II号邮箱的信的数目，试求
（1）（X，Y）的联合分布；
（2）X与Y是否独立；（3）令U=max（X,Y）,V=min（X,Y），求E（U）和E（V）。
例35：
设为独立同分布的随机变量，且均服从N（0，1）。
记
求：
（I） （II）（III）
5、应用题
例36：
设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（μ，1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品。
销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。
已知销售利润T（单元：
元）与销售零件的内径X有如下关系。
，问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？
6、最大似然估计
例37：
设随机变量的分布函数为，其中参数.设为来自总体的简单随机样本，（Ⅰ）当时,求未知参数的矩估计量；（Ⅱ）当时,求未知参数的最大似然估计量；
Ⅲ）当时,求未知参数的最大似然估计量。
五、考试的2个技巧
1、填空题和选择题的答题技巧例38：
设随机变量独立同分布，则行列式
，的数学期望＝ 。
例39：
将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：
={掷第一次出现正面}，={掷第二次出现正面}，={正、反面各出现一次}
={正面出现两次}，则事件（A）相互独立。
（B）相互独立。
（C）两两独立。
（D）两两独立。
自测题（第一章）一、选择题（毎小题3分,共15分）：
1.在某学校学生中任选一名学生，设事件表示“选出的学生是男生”，表示“选出的学生是三年级学生”，表示“选出的学生是篮球运动员”，则的含义是（ ）.
（A）选出的学生是三年级男生；（B）选出的学生是三年级男子篮球运动员；（C）选出的学生是男子篮球运动员；
（D）选出的学生是三年级篮球运动员；
2.在随机事件中，和两事件至少有一个发生而事件不发生的随机事件可表示为（ ）.
（A） （B）（C） （D）
3．甲乙两人下棋，甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，设为甲胜，为乙胜，则甲胜乙输的概率为（ ）.
（A）（B） （C） （D）0.6
4．下列正确的是（ ）.（A）若，则 （B）若，则
（C）若，则（D）若10次试验中发生了2次，则
5．设、互为对立事件，且，则下列各式中错误的是（ ）.
（A）（B）（C） （D）
解：
1.由交集的定义可知，应选（B）2.由事件间的关系及运算知，可选（A）
3.基本事件总数为，设A表示“恰有3个白球”的事件，A所包含的基本事件数为=5，故P（A）=，故应选（D）。
4.由题可知A1、A2互斥，又0故应选（C）。
5.因为A、B互为对立事件，所以P（A+B）=1，P（AB）=0，又P（A），P（B）>0，所以=A，因而P（|A）=P（A|A）=1，故选（A）
二、填空题（毎小题3分,共15分）：
1．、、代表三件事，事件“、、至少有二个发生”可表示为．
2．已知，则=．
3．、二个事件互不相容，，则．
4．对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为，则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为．
5．设、、两两相互独立，满足，且已知，则．
解：
1.AB+BC+AC2.∵A、B相互独立，∴P（AB）=P（A）P（B）∴P（A∪B）=P（A）+P（B）–P（AB）=0.2+0.5–0.1=0.6
3.A、B互不相容，则P（AB）=0，P（A–B）=P（A）–P（AB）=0.8
4.设A、B、C分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中恰有一次击中目标可表示为，即有P（）=P（A）=0.36
5.甲产品滞销或乙产品畅销。
四、（6分）从1,1,2,3,3,3,4,4,5,6这10个数中随机取6个数，求取到的最大数是4的概率．
解：
设A表示事件“12名中国人彼此不同属相”，每个人的属相有12种可能，把观察每个人的属相看作一次试验，由乘法原理，这12个属相的所有可能排列数为1212，而事件A所包含的形式有种，则=0.000054。
五、（6分）3人独立地去破译一个密码，他们能破译的概率分别为若让他们共同破译的概率是多少？
解：
设Ai表示“第i人能译出密码”，i=1,2,3，A1，A2，A3相互独立，A表示“密码译出”，则
∴P（A）=1–P（
六、（10分）已知一批产品的次品率为4%，今有一种简化的检验方法，检验时正品被误认为是次品的概率为0.02，而次品被误认为是正品的概率为0.05，求通过这种检验认为是正品的一个产品确实是正品的概率．
解：
设A表示通过检验认为该产品为正品，B表示该产品确为正品依题意有
七、（10分）假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件，30件和40件，而一等品分别有20件，12件及24件.现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件（第一次取到的零件不放回），试求先取出的零件是一等品的概率；并计算两次都取出一等品的概率．
解：
设B1、B2、B3分别表示选出的其中装有一等品为20，12，24件的箱子，A1、A2分别表示第一、二次选出的为一等品，依题意，有
P（A1）=P（B1）P（|B1）+P（B2）P（A1|B2）+P（B3）P（A1|B3）==0.467
P（）==0.220
八、（10分）设．
1.若，求；2.若，求；3.若，求．
解：
1.P（B）=P（B）–P（AB）因为A，B互斥，故P（AB）=0，而由已知P（B）=∴P（B）=P（B）=
2.∵P（A）=，由AB知：
P（AB）=P（A）=∴P（B）=P（B）–P（AB）=–=
3.P（AB）=∴P（B）=P（B）–P（AB）=–=
九、（10分）一批产品10件，出厂时经两道检验，第一道检验质量，随机取2件进行测试，若合格，则进入第二道检验，否则认为这批产品不合格，不准出厂；第二道检验包装，随机取1件，若合格，则认为包装合格，准予出厂．两道检验中，1件合格品被认为不合格的概率为0.05，一件不合格品被认为合格的概率为0.01，已知这批产品中质量和包装均有2件不合格，求这批产品能出厂的概率．
解：
设表示报名表是第i个地区考生的（i=1,2,3），Aj表示第j次抽到的报名表是男生表（j=1,2），则
P（H1）=P（H2）=P（H3）=P（A|）=；P（A|H）=；P（A1|H3）=
（1）=P（）=
（2）由全概率公式得P（A2|H1）=，P（A2|H2）=，P（A2|H3）=P（A2|H1）=，P（A|H2）=，P（A2|H3）=
P（A2）=P（A2）=
因此，
十、（8分）设，试证事件与相互独立．
证明：
∵0又∵P（A|B）+P=1∴
化简，得：
P（AB）=P（A）P（B）∴事件A、B相互独立
自测题（第二章）一、选择题（每小题3分,共15分）:
1．设随机变量的分布律为，则（ ）.
（A），且（B），且（C），且（D），且
2．设随机变量的密度函数为，则（ ）.（A） （B）（C） （D）
3．设随机变量的概率密度和分布函数分别是和，且，则对任意实数，有（ ）.
（A）（B）（C） （D）
4．设相互独立的随机变量具有同一分布，且都服从区间[0，1]上的均匀分布，则在区间或区域上服从均匀分布的随机变量是（ ）.（A）（） （B） （C） （D）
5．设与分别为随机变量与的分布函数,为使是某随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）.（A） （B）C）（D）
1解∵∴故选（C）
2解∵即：
=1∴b=-a又∵f（x）=aebx≥0∴a>0故选（D）
3解∵X～N∴f（x）=由4个结论验得（B）为正确答案
4解∵=故选（D）
5解因为F（x）必须满足条件0≤F（x）≤1，而只有取时，才会使0≤F（x）≤1满足,故选（A）
二、填空题（每小题3分,共15分）:
1．二维随机变量（）的联合分布律为:
1
2
1
0.2
2
0.3
则与应满足的条件是，当相互独立时，=．
2．二维随机变量（）的联合密度为：
，则的边缘概率密度为．
3．连续型随机变量的概率密度为，则常数．
4．设，已知（2.5）=0.9938，则．
5．设是相互独立的随机变量，，且，则=．
1解∵=1∴=1即有=0.5
当X，Y相互独立∴P（X=1,Y=1）=P（X=1）P（Y=1）∴=（+0.2）（+）∴=0.2
2解∵（x）==
3解∵∴=1∴k=3
4解∵X～N（10,0.022）∴P{9.95≤X<10.05}=P
=2
5解∵X,Y相到独立∴f（x,y）=fX（x）fY（y）
三、（12分）随机变量的概率密度为，试求
（1）系数；
（2）的分布函数；（3）落在内的概率．解
（1）∵=1,即=1∴
（2）当x<-时,F（x）=0当|x|≤时，
当x≥时，=1∴
（3）
四、（12分）假设一设备开机后无故障工作的时间服从参数为的指数分布．设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2h便关机，试求设备每次开机无故障工作的时间的分布函数．
解：
（1）∵X可能的取值为0,1,2,3
设Ai={第i个元件出故障）i=1,2,3∴=（1-0.2）（1-0.3）（1-0.5）=0.28
=
=0.2×0.7×0.5+0.8×0.3×0.5+0.8×0.7×0.5=0.47
同理P（X=2）=P（=0.22=0.03
∴X的分布律：
X
0
1
2
3
P
0.28
0.47
0.22
0.03
（2）由
（1）及分布函数的定义知
当x<0时，F（x）=0当0≤x<1时，F（x）=P（X=0）=0.28当1≤x<2时，F（x）=P（X=0）+P（X=1）=0.75
当2≤x<3时，F（x）=P（X=0）+P（X=1）+P（X=2）=0.97当x≥3时，F（x）=P（X=0）+P（X=1）+PX=2）+P（X=3）=1
∴其图为
五、（10分）随机变量的概率密度为；求的概率密度．
、解：
分别记X，Y的分布函数为FX（x），FY（y）由于y=x2≥0，故当y≤0时，FY（y）=0
当y=x2>0时,有FY（y）=P（Y≤y）=P（X2≤y）=P（-≤X≤）=
将FY（y）关于y求导数，即得y的概率密度为∴
六、（12分）随机变量和均服从区间[0，1]上的均匀分布且相互独立．
1．写出二维随机变量（）的边缘概率密度和联合概率密度．2．求．
解：
（1）由题意得：
又∵X,Y相互独立∴f（x,y）=fX（x）fY（y）=
（2）==
七、（12分）已知随机变量的分布律为:
-1
0
1
1/4
1/2
1/4
0
1
1/2
1/2
且已知．
（1）求（）的联合分布律；
（2）是否相互独立？
为什么？
解：
（1）由P（XY=0）=1，可见P{X=-1,Y=1}=P{X=1,Y=1}=0易见
=0
于是，得X和Y的联合分布：
X
Y
-1
0
1
0
0
1
0
0
（2）∵P（X=0,Y=0）=0而P（X=0）P（Y=0）=∴P（X=0）P（Y=0）≠P（X=0,Y≠0）∴X,Y不独立
八、（12分）设是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为:
求随机变量的概率密度函数．设Z的密度函数为fZ（z），则由卷积公式得
a）当z<0时，f（t）=0，∴f（z）=0b）当0≤z<1时，z-1<0，z≥0
c）当z≥1时，z-1≥0综述：
自测题（第三章）一、选择题（毎小题3分,共6分）:
1.对目标进行3次独立射击，每次射击的命中率相同，如果击中次数的方差为0.72，则每次射击的命中率等于（ ）.
（A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4
2．若，则（）.（A）与独立（B）（C）（D）与不相关
1.选（D）；由题意知：
X～B（3,p），而D（X）=3·p·（1–p）=0.72∴p=0.4。
2.选（B）；∵E（X）=，而被积函数为对称区间上的奇函数，∴E（X）=0。
三、填空题（每空2分,共22分）:
1．设二维随机变量（,）的联合分布律为：
1
2
1
1/4
1/2
0
1/4
则=，=，=，=，=，．
2．设连续型随机变量概率密度为，且，则常数．
3．设随机变量的数学期望，且，则．
4．对圆的直径作近似测量，测量近似值均匀分布于区间内，则圆面积的数学期望是．
5．设随机变量与相互独立，且．令，则．
6．设随机变量（）在区域内服从均匀分布，则．
1.E（X）=1×=；D（X）=E（X2）–[E（X）]2==；
E（Y）==；D（Y）=E（Y2）–[E（Y）]2==；
cov（X,Y）=E（XY）–E（X）E（Y）==；
；
2.∵E（X）=∴a=–2。
3.∵|x|f（x）为奇函数，收敛，∴E（X）=0。
4.设Y=表示圆面积，∵X～U[–a,a]，E（X）=0，D（X）=，
E（Y）=E=。
5.∵X与Y相互独立，∴D（Z）=D（–Y+2X+3）=D（–Y）+D（2X+3）=（–1）2D（Y）+4D（X）=1+4×2=9。
6.D（Y）=D（2X–3）=4D（X）=4{E（X2）–[E（X）]2}=4（4–12）=12。
四、（10分）设随机变量（）的概率密度为：
求数学期望及，方差及，协方差及相关系数．
、解：
E（X）=；
E（Y）=；
∵E（X2）=，
∴D（X）=E（X2）–[E（X）]2=；
又∵E（Y2）==
∴D（Y）=E（Y2）–[E（Y）]2=；
又∵E（XY）=，
∴cov（X,Y）=E（XY）–E（X）·E（Y）=；。
五、（10分）设有甲、乙两种投资证券，其收益分别为随机变量，已知均值分别为，风险分别为，相关系数为，现有资金总额为（设为1个单位）．怎样组合资金才可使风险最小？
解：
E（X）=
=…=；
∵E（X2）=
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