xa
x
ba
a≤x≤b
F(x)f(x)dx
1,
x>b。
则称随机变量X在[a,b]上服从均匀分布,记为X~U(a,分布函数为
当a≤x1x1,x2)内的概率为
x2x1
P(x1Xx2)21
ba
指数分布
x0
x0
其中0,则称随机变量X服从参数为的指数分布。
X的分布函数为
1ex,x0,
F(x)记0,住积分公式:
0,x<0。
xnexdxn!
0
正态分布
设随机变量X的密度函数为
1(x)2
12
f(x)e222
其中、0为常数,则称随机变量X服从参数为、的正态分布或高斯
2
(Gauss)分布,记为X~N(,)。
x,
f(x)具有如下性质:
1°f(x)的图形是关于x对称的;
1
2°当x时,f()1为最大值;
2则(tX2)2的分布函数为
22dt
。
。
若X~N(1,)
F(x)2
参数0
记为
(x)
x,e
1时的正态分布称为标准正态分布,记为X~N(0,1),其密度函数
x2
e2
t2
e2dt
分布函数为
1
。
(x)21
(x)是不可求积函数,其函数值,已编制成表可供查用。
1
Φ(-x)=1-Φ(x)且Φ(0)=。
2X2
如果X~N(,),则~N(0,1)。
P(x1Xx2)
x2
2
x1
1。
离散
型
已知X的分布列为Xx1,x2,
L,xn,L
P(Xxi)p1,p2,L,pn,L
Yg(X)的分布列(yig(xi)互不相等)如下:
Y
P(Yyi)
若有某些g(xi
g(x1),g(x2),L,g(xn),L,
,则应将对应的pi相加作为g(xi)的概率。
1,
连续
型
先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)=P(g(X)≤y),再利用变上下限积
分的求导公式求出fY(y)。
第三章二维随机变量及其分布
P{(X,Y)(xi,yj)}pij(i,j1,2,)
为=(X,Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。
联合分
布有时也用下面的概率分布表来表示:
XY
y1
y2
yj
x1
p11
p12
p1j
x2
p21
p22
p2j
xi
pi1
pij
这里pij具有下面两个性质:
(1)pij≥0(i,j=1,2,,);
(2)pij1.
ij
连续型
对于二维随机向量(X,Y),如果存在非负函数
f(x,y)(x,y),使对任意一个其邻边
分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D={(X,Y)|a有
P{(X,Y)D}f(x,y)dxdy,
D
则称为连续型随机向量;并称f(x,y)为=(X,Y)的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。
分布密度f(x,y)具有下面两个性质:
(1)f(x,y)≥0;
(2)f(x,y)dxdy1.
(2)二维随机变量的本质
(Xx,Yy)(XxYy)
(3)联合分布函数
设(X,Y)为二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数
F(x,y)P{Xx,Yy}称为二维随机向量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X和Y的联合分布函数。
分布函数是一个以全平面为其定义域,以事件
{(1,2)|X
(1)x,Y
(2)y}的概率为函数值的一个实值函数。
分布函数F(x,y)具有以下的基本性质:
(1)0F(x,y)1;
(2)F(x,y)分别对x和y是非减的,即
当x2>x1时,有F(x2,y)≥F(x1,y);当y2>y1时,有F(x,y2)≥F(x,y1);
(3)F(x,y)分别对x和y是右连续的,即
F(x,y)F(x0,y),F(x,y)F(x,y0);
(4)F(,)F(,y)F(x,)0,F(,)1.
(5)对于x1x2,y1y2,
F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)F(x1,y1)0.
(4)离散型与连续型的关系
P(Xx,Yy)P(xXxdx,yYydy)f(x,y)dxdy
(5)边缘分布
离散型
X的边缘分布为
PiP(Xxi)pij(i,j1,2,);
j
Y的边缘分布为
PjP(Yyj)pij(i,j1,2,)。
i
连续型
X的边缘分布密度为fX(x)f(x,y)dy;
Y的边缘分布密度为fY(y)f(x,y)dx.
(6)条件分布
离散型
在已知X=xi的条件下,Y取值的条件分布为pij
P(Yyj|Xxi)ij;
pi
在已知Y=yj的条件下,X取值的条件分布为pij
P(Xxi|Yyj)ij,
pj
连续型
在已知Y=y的条件下,X的条件分布密度为
f(x|y)ff(x(,yy));
fY(y)
在已知X=x的条件下,Y的条件分布密度为f(y|x)ff(x(,xy))fX(x)
(7)独立性
一般型
F(X,Y)=FX(x)FY(y)
离散型
pijpipj
有零不独立
连续型
f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断,充要条件:
①可分离变量②正概率密度区间为矩形
二维正态分布
1x122(x1)(y2)y22
12(12)1122
f(x,y)2e1122,21212
=0
随机变量的函数
若X1,X2,,Xm,Xm+1,,Xn相互独立,h,g为连续函数,则:
h(X1,X2,,Xm)和g(Xm+1,,Xn)相互独立。
特例:
若X与Y独立,则:
h(X)和g(Y)独立。
例如:
若X与Y独立,则:
3X+1和5Y-2独立。
(8)二维均匀分布
服从
(x,y)D
其他
D上的均匀分布,记为(
X,Y)
(9)二维正态分布
设随机向量(X,Y)的分布密度函数为
1x122(x1)(y2)y22
12(12)1122
f(x,y)2e,
21212
其中1,2,10,20,||1是5个参数,则称(X,Y)服从二维正态分布,
记为(X,Y)~N(1,2,12,22,).由边缘密度的计算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布,
即X~N(1,12),Y~N(2,22).
但是若X~N(1,12),Y~N(2,22),(X,Y)未必是二维正态分布。
(10)函数分布
Z=X+Y
根据定义计算:
FZ(z)P(Zz)P(XYz)
对于连续型,fZ(z)=f(x,zx)dx两个独立的正态分布的和仍为正态分布(12,1222)。
n个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布。
Cii,2Ci2i2
ii
Z=max,min(X1,X2,,Xn)
若X1,X2Xn相互独立,其分布函数分别为Fx1(x),Fx2(x)Fxn(x),则Z=max,min(X1,X2,,Xn)的分布函数为:
Fmax(x)Fx1(x)Fx2(x)Fxn(x)
Fmin(x)1[1Fx1(x)][1Fx2(x)][1Fxn(x)]
布,可以证明它们的平方和
n
2
WXi2
i1
2分布满足可加性:
设
Yi2(ni),
则
k
ZYi~2(n1n2nk).
i1
X~N(0,1),Y~2(n),
可以证明函数
TX
Y/n
的概率密度为
我们称随机变量T服从自由度为n的t分布,记为T~t(n)。
t1(n)t(n)
F分布
设X~2(n1),Y~2(n2),且X与Y独立,可以证明
X/n1
F1的概率密度函数为
Y/n2
f(y)
n1n2
2
n1n1n2n222
n1
2n211
y2
n1
n2
n1n2
2
y0
我们称随机变量的F分布,记为
0,y0
F服从第一个自由度为n1,第二个自由度为n2F~f(n1,n2).
F1(n1,n2)
1
F(n2,n1)
第四章随机变量的数字特征
(1)
离散型
连续型
一维
期望
设X是离散型随机变量,其分布
设X是连续型随机变量,其概率密
随机
期望就是平均值
度为f(x),
变量
律为P(Xxk)=pk,
的数
k=1,2,,,n,
E(X)xf(x)dx
字特
n
征
E(X)xkpk
(要求绝对收敛)
k1
(要求绝对收敛)
函数的期望
Y=g(X)
Y=g(X)
n
E(Y)g(xk)pk
E(Y)g(x)f(x)dx
k1
方差
2
D(X)=E[X-E(X)]2,
D(X)[xkE(X)]2pk
D(X)[xE(X)]2f(x)dx
标准差
k
(X)D(X),
矩
①对于正整数k,称随机变量X
①对于正整数k,称随机变量X的
的k次幂的数学期望为X的k
k次幂的数学期望为X的k阶原点
阶原点矩,记为vk,即
矩
,记为vk,即
νk=E(Xk)=xikpi,
i
ν
kk
k=E(X)=xkf(x)dx,
k=1,2,,.
k=1,2,,.
②对于正整数k,称随机变量X
②对于正整数k,称随机变量X与
与E(X)差的k次幂的数学期
E(X)差的k次幂的数学期望为X
望为X的k阶中心矩,记为k,
的
k阶中心矩,记为k,即
即
k
kE(XE(X))k
kE(XE(X))k
=(xiE(X))kpi,i
k
=(xE(X))kf(x)dx,
k=1,2,,.
k=1,2,,.
切比雪夫不等式
设随机变量X具有数学期望E(X)
=μ,方差D(X)=σ2,则对于
任意正数ε,有下列切比雪夫不等式
2
P(X)2
切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下,对概率
P(X
)
的一种估计,它在理论上有重要意义。
(2)
(1)
E(C)=C
期
望
(2)
E(CX)=CE(X)
的
性
nn
质
(3)
E(X+Y)=E(X)+E(Y),
E(CiXi)CiE(Xi)
i1i1
(4)
E(XY)=E(X)E(Y),
充分条件:
X和Y独立;充要条件:
X和Y不相关。
(3)
(1)
D(C)=0;E(C)=C
方
差
(2)
2
D(aX)=a2D(X);E(aX)=aE(X)
的
性
(3)
2
D(aX+b)=a2D(X);
E(aX+b)=aE(X)+b
质
(4)
22
D(X)=E(X2)-E2(X)
(5)
D(X±Y)=D(X)+D(Y),充分条件:
X和Y独立;
充要条件:
X和Y不相关。
D(X
±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))],无条件成立。
而E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。
(4)
期望
方差
常分
见布
0-1
分布B(1,p)
p
p(1p)
的望
期和
二项分布B(n,p)
np
np(1p)
方差
泊松分布P()
几何分布G(p)
1
1p
2
p
p2
超几何分布H(n,M,N)
nM
nM1MNn
1
N
NNN1
均匀分布U(a,b)
ab
(ba)2
2
12
指数分布e()
1
1
2
正态分布N(,2)
2
2分布
n
2n
t分布
0
n
(n>2)
n2
(5)
期望
n
二
维
E(X)xipi
E(X)xfX(x)dx
随
机
i1
变
量
n
的
数
E(Y)yjpj
E(Y)yfY(y)dy
字
特
j1
征
函数的期望
E[G(X,Y)]=
E[G(X,Y)]=
G(xi,yj)pij
ij
G(x,y)f(x,y)dxdy
--
方差
D(X)[xiE(X)]2pi
D(X)[xE(X)]2fX(x)dx
i
D(Y)[xjE(Y)]2pj
j
D(Y)[yE(Y)]2fY(y)dy