最新整理高中数学必修2第二章同步练习与单元检测合集Word文件下载.docx
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A*A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β
B*M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN
C*A∈α，A∈β⇒α∩β＝A
D*A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合
5*空间中可以确定一个平面的条件是（ ）
A*两条直线B*一点和一直线
C*一个三角形D*三个点
6*空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有（ ）
A*2个或3个B*4个或3个
C*1个或3个D*1个或4个
二、填空题
7*把下列符号叙述所对应的图形（如图）的序号填在题后横线上*
（1）A
α，a⊂α________*
（2）α∩β＝a，PD/∈α且P
β________*
（3）a⊄α，a∩α＝A________*
（4）α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________*
8*已知α∩β＝M，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线M与A的位置关系用集合符号表示为________*
9*下列四个命题：
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；
②经过空间任意三点有且只有一个平面；
③过两平行直线有且只有一个平面；
④在空间两两相交的三条直线必共面*
其中正确命题的序号是________*
三、解答题
10*如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>
CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由*
11*如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD（或延长线）分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：
E，F，G，H必在同一直线上*
能力提升
12*空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明此三条直线必相交于一点*
13*如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点*
求证：
（1）C1、O、M三点共线；
（2）E、C、D1、F四点共面；
（3）CE、D1F、DA三线共点*
1*证明几点共线的方法：
先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点*或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上*
2*证明点线共面的方法：
先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点（或线）在这个平面内；
或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合*注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用*
3*证明几线共点的方法：
先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线*
2*1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2*1*1 平 面
答案
知识梳理
1*两点 这条直线 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α
2*不在一条直线上 有且只有
3*一个 一条 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
4*
（1）A∈α，A∉β
（2）A∈α，B∉α且A∈l，B∈l （3）l⊂α且l⊂β （4）M⊂α，n⊂α且M∩n＝A
作业设计
1*A [由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确，故选A*]
2*B 3*D
4*C [∵A∈α，A∈β，
∴A∈α∩β*
由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A*
故α∩β＝A的写法错误*]
5*C
6*D [四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面*]
7*
（1）C
（2）D （3）A （4）B
8*A∈M
解析 因为α∩β＝M，A∈a⊂α，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线M上*
9*③
10*解 很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>
CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示*
∵E∈AC，AC⊂平面SAC，
∴E∈平面SAC*
同理，可证E∈平面SBD*
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，
直线SE是平面SBD和平面SAC的交线*
11*证明 因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上*同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上*
12*证明
∵l1⊂β，l2⊂β，l1
l2，
∴l1∩l2交于一点，记交点为P*
∵P∈l1⊂β，P∈l2⊂γ，
∴P∈β∩γ＝l3，
∴l1，l2，l3交于一点*
13*证明
（1）∵C1、O、M∈平面BDC1，
又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，
∴C1、O、M三点共线*
（2）∵E，F分别是AB，A1A的中点，
∴EF∥A1B*
∵A1B∥CD1，
∴EF∥CD1*
∴E、C、D1、F四点共面*
（3）由
（2）可知：
四点E、C、D1、F共面*
又∵EF＝
A1B*
∴D1F，CE为相交直线，记交点为P*
则P∈D1F⊂平面ADD1A1，P∈CE⊂平面ADCB*
∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD*
∴CE、D1F、DA三线共点*
2 空间中直线与直线之间的位置关系
【课时目标】 1*会判断空间两直线的位置关系*2*理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角*3*能用公理4解决一些简单的相关问题*
1*空间两条直线的位置关系有且只有三种：
______________、________________、________________*
2*异面直线的定义
________________________________的两条直线叫做异面直线*
3*公理4：
平行于同一条直线的两条直线____________*
4*等角定理：
空间中如果两个角的两边分别对应________，那么这两个角________或________*
5*异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使________，________，我们把a′与b′所成的______________叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）*
如果两条直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，两条异面直线所成的角的取值范围是________*
1*分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）
A*异面B*平行
C*相交D*以上都有可能
2*若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（ ）
A*异面或平行B*异面或相交
C*异面D*相交、平行或异面
3*分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（ ）
A*一定平行B*一定相交
C*一定异面D*相交或异面
4*空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是（ ）
A*空间四边形B*矩形
C*菱形D*正方形
5*给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线*
其中假命题的个数是（ ）
6*如图所示，已知三棱锥A－BCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列结论正确的是（ ）
A*MN≥
（AC＋BD）
B*MN≤
C*MN＝
D*MN<
（AC＋BD）
7*空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°
，则β为________*
8*已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：
（1）BC′与CD′所成的角为________；
（2）AD与BC′所成的角为________*
9*一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°
；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD*
以上结论中正确结论的序号为________*
10*空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°
，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小*
11*已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点*
（1）四边形MNA1C1是梯形；
（2）∠DNM＝∠D1A1C1*
12*如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________（填序号）*
13*正方体AC1中，E、F分别是面A1B1C1D1和AA1DD1的中心，则EF和CD所成的角是（ ）
A*60°
B*45°
C*30°
D*90°
1*判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义*很多情况下，定义就是一种常用的判定方法*另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具*
2*在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角*将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径*需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为（0°
，90°
]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小*
作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：
①直接平移法（可利用图中已有的平行线）；
②中位线平移法；
③补形平移法（在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线）*
2*1*2 空间中直线与直线之间的位置关系答案
1*相交直线 平行直线 异面直线
2*不同在任何一个平面内
3*互相平行
4*平行 相等 互补
5*a′∥a b′∥b 锐角（或直角） 直角 （0°
]
1*D
2*D [异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示*]
3*D
4*B [
易证四边形EFGH为平行四边形*
又∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF∥AC，
又FG∥BD，
∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角*
而AC与BD所成的角为90°
，
∴∠EFG＝90°
故四边形EFGH为矩形*]
5*B [①④均为假命题*①可举反例，如a、b、c三线两两垂直*
④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面，一定不会平行；
当点A在直线a上运动（其余三点不动），会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交*
6*D
[如图所示，取BC的中点E，连接ME、NE，则ME＝
AC，
NE＝
BD，
所以ME＋NE＝
（AC＋BD）*
在△MNE中，有ME＋NE>
MN，
所以MN<
（AC＋BD）*]
7*60°
或120°
8*
（1）60°
（2）45°
解析
连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角*
由△A′BC′为正三角形，
知∠A′BC′＝60°
由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC*
易知∠C′BC＝45°
*
9*①③
解析 把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确*
10*解 取AC的中点G，
连接EG、FG，
则EG∥AB，GF∥CD，
且由AB＝CD知EG＝FG，
∴∠GEF（或它的补角）为EF与AB所成的角，∠EGF（或它的补角）为AB与CD所成的角*
∵AB与CD所成的角为30°
∴∠EGF＝30°
或150°
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°
时，∠GEF＝75°
当∠EGF＝150°
时，∠GEF＝15°
故EF与AB所成的角为15°
或75°
11*证明
（1）如图，连接AC，
在△ACD中，
∵M、N分别是CD、AD的中点，
∴MN是三角形的中位线，
∴MN∥AC，MN＝
AC*
由正方体的性质得：
AC∥A1C1，AC＝A1C1*
∴MN∥A1C1，且MN＝
A1C1，即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形*
（2）由
（1）可知MN∥A1C1，又因为ND∥A1D1，
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补*
而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，
∴∠DNM＝∠D1A1C1*
12*②④
解析 ①中HG∥MN*③中GM∥HN且GM≠HN，
∴HG、MN必相交*
13*B [
连接B1D1，则E为B1D1中点，
连接AB1，EF∥AB1，
又CD∥AB，∴∠B1AB为异面直线EF与CD所成的角，即∠B1AB＝45°
*]
3 空间中直线与平面之间的位置关系
4 平面与平面之间的位置关系
【课时目标】 1*会对直线和平面的位置关系进行分类*2*会对平面和平面之间的位置关系进行分类*3*会用符号或图形把直线和平面、平面和平面的位置关系正确地表示出来*
1*一条直线a和一个平面α有且仅有________________________三种位置关系*（用符号语言表示）
2*两平面α与β有且仅有________和________两种位置关系（用符号语言表示）*
1*已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是（ ）
A*相交B*平行
C*异面D*平行或异面
2*若有两条直线a，b，平面α满足a∥b，a∥α，则b与α的位置关系是（ ）
A*相交B*b∥α
C*b⊂αD*b∥α或b⊂α
3*若直线M不平行于平面α，且M⊄α，则下列结论成立的是（ ）
A*α内的所有直线与M异面
B*α内不存在与M平行的直线
C*α内存在唯一的直线与M平行
D*α内的直线与M都相交
4*三个互不重合的平面把空间分成6部分时，它们的交线有（ ）
A*1条B*2条
C*3条D*1条或2条
5*平面α∥β，且a⊂α，下列四个结论：
①a和β内的所有直线平行；
②a和β内的无数条直线平行；
③a和β内的任何直线都不平行；
④a和β无公共点*
其中正确的个数为（ ）
A*0B*1C*2D*3
6*教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线（ ）
A*异面B*相交C*平行D*垂直
7*正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AA1和BB1的中点，则该正方体的六个表面中与EF平行的有______个*
8*若a、b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是__________________*
9*三个不重合的平面，能把空间分成n部分，则n的所有可能值为______________*
10*指出图中的图形画法是否正确，如不正确，请改正*
（1）如图，直线a在平面α内*
（2）如图，直线a和平面α相交*
（3）如图，直线a和平面α平行*
11*如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论*
12*若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A、B、CD/∈α，则面ABC与面α的位置关系为__________*
13*正方体ABCD—A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A、Q、B1三点的截面图形的形状*
1*解决本节问题首先要搞清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析*
在选择题中常用排除法解题*
2*正方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找正方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映*因而人们给它以“百宝箱”之称*
2*1*3 空间中直线与平面之间的位置关系
2*1*4 平面与平面之间的位置关系
1*a⊂α，a∩α＝A或a∥α
2*α∥β α∩β＝l
1*D 2*D 3*B 4*D 5*C
6*D [若尺子与地面相交，则C不正确；
若尺子平行于地面，则B不正确；
若尺子放在地面上，则A不正确*所以选D*]
7*3 8*b⊂α，b∥α或b与α相交 9*4,6,7,8
10*解
（1）
（2）（3）的图形画法都不正确*正确画法如下图：
（1）直线a在平面α内：
（2）直线a与平面α相交：
（3）直线a与平面α平行：
11*解 由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，
由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，
∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点*
又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b*
∵α∥β，∴α与β无公共点，
又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β*
12*平行或相交
13*解
图
（1）
由点Q在线段DD1上移动，当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图
（1）所示；
当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图
（2）所示；
图
（2）
当点Q不与点D，D1重合时，
截面图形为等腰梯形AQRB1，如图（3）所示*
图（3）
2 直线、平面平行的判定及其性质
2?
1 直线与平面平行的判定
【课时目标】 1*理解直线与平面平行的判定定理的含义*2*会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用*3*能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题*
1*直线与平面平行的定义：
直线与平面______公共点*
2*直线与平面平行的判定定理：
______________一条直线与________________的一条直线平行，则该直线与此平面平行*用符号表示为____________________________*
1*以下说法（其中a，b表示直线，α表示平面）
①若a∥b，b⊂α，则a∥α；
②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a∥b，b∥α，则a∥α；
④若a∥α，b⊂α，则a∥b*
其中正确说法的个数是（ ）
2*已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是（ ）
A*b∥αB*b与α相交
C*b⊂αD*b∥α或b与α相交
3*如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是（ ）
A*平行B*相交
C*平行或相交D*AB⊂α
4*在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是（ ）
C*在内D*不能确定
5*过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面（ ）
A*不存在B*只能作出一个
C*能作出无数个D*以上都有可能
6*过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有（ ）
A*4条B*6条C*8条D*12条
7*经过直线外一点有________个平面与已知直线平行*
8*如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：
（1）与直线AB平行的平面是________；
（2）与直线AA1平行的平面是______；
（3）与直线AD平行的平面是______*
9*在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是______*
10*如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点*
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