高中数学必修二知识点+例题+知识点.docx
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立体几何知识点
一、空间几何体
1.多面体：
由若干个多边形围成的几何体，叫做多面体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.
2.棱柱：
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
两个互相平行的面叫做底面,其余各面叫做侧面.
3.棱锥：
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质：
各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心。
4.棱台：
用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。
由正棱锥截得
的棱台叫做正棱台。
正棱台的性质：
各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似的正多边形
5.旋转体：
由一个平面图形绕一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴，
6.圆柱、圆锥、圆台：
分别以矩形的一边、直角三角形的直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。
圆柱、圆锥、圆台的性质：
平行于底面的截面都是圆；过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形。
注：
在处理圆锥、圆台的侧面展开图问题时，经常用到弧长公式
7.球:
以半圆的直径为旋转轴，旋转一周所成的曲面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体（简称球）
8.简单空间图形的三视图：
一个投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到这个平面内的图形叫做俯视图。
一个投影面放置在正前方，这个投影面叫做直立投影面，投影到这个平面内的图形叫做主视图（正视图）。
和直立、水平两个投影面都垂直的投影面叫做侧立投影面，通常把这个平面放在直立投影面的右面，投影到这个平面内的图形叫做左视图（侧视图）。
三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形。
（1）.三视图画法规则：
高平齐：
主视图与左视图的高要保持平齐
正视图
侧视图
俯视图
1
1
1
2
长对正：
主视图与俯视图的长应对正
宽相等：
俯视图与左视图的宽度应相等
（2）.空间几何体三视图：
正视图（从前向后的正投影）；
侧视图（从左向右的正投影）；
俯视图（从上向下正投影）．
例题1.某四棱锥底面为直角梯形，
一条侧棱与底面垂直，四棱锥的三视图如右图所示，
则其体积为．
例题2.右图是底面为正方形的四棱锥，
其中棱垂直于底面，它的三视图正确的是（）
[来源:
学|科|网Z|X|X|K]
[来源:
学_科_网]
（3）.空间几何体的直观图——斜二测画法特点：
①斜二测坐标系的轴与轴正方向成角；②原来与x轴平行的线段仍然与x平行,长度不变；③原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半．
常用结论：
平面图形面积与其斜二侧直观图面积之比为：
1．
例．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）．
A．2＋ B． C． D．
9.特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线）：
S=
10.柱体、锥体、台体和球的体积公式：
V=
例题3:
已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
例4.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）
A．B．C．D．
例5．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为_____.
练习：
．已知一个几何体的三视图及其大小如图1,这个几何体的体积（）
A． B． C． D．
侧（左）视图
正（主）视图
俯视图
．右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是（）
. ...
．某几何体的三视图如图所示,其俯视图是由一个半侧（左）视图
4
2
1
俯视图
2
正（主）视图
（第3题图）
圆与其直径组成的图形,则此几何体的体积是 （ ）
A． B． C． D．
．一个几何体的三视图是三个边长为1的正方形和对角线,
如图所示,则此几何体的体积为（）
A． B． C．D．1
．一个空间几何体的三视图如图所示,根据图标出的尺寸,可得这个几何体的体积为（）
A． B． C． D．
．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体积为（）
A． B．6C． D．
二、立体几何点线面的位置关系
平行关系
平面几何知识
线线平行
线面平行
面面平行
垂直关系
平面几何知识
线线垂直
线面垂直
面面垂直
判定
性质
判定推论
性质
判定
判定
性质
判定
面面垂直定义
1.
2.
3.
4.
5.
平行与垂直关系可互相转化
例1．如图，在正四棱柱中，E、F分别是的
中点，则以下结论中不成立的是（）
A．B.
C. D.
例2.已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）
A． B．
C． D．
练习：
1.设直线与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是（）
A．在平面内有且只有一条直线与直线垂直B．过直线有且只有一个平面与平面垂直
C．与直线垂直的直线不可能与平面平行D．与直线平行的平面不可能与平面垂直
2.设为两条直线,为两个平面,下列四个命题中，正确的命题是（）
A．若与所成的角相等，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，则
3.给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行.
②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
③若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行.
④若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线.
其中假命题的个数是（）
（A）1（B）2（C）3（D）4
4.设为平面，为直线，则的一个充分条件是（）
（A） （B）
（C） （D）
5．设、是不同的直线,、、是不同的平面,有以下四个命题:
①若则②若,,则
③若,则④若,则
其中真命题的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③
三、线线平行的判断：
（1）三角形中位线定理；
（2）构造平行四边形，其对边平行；
（3）对应线段成比例，两直线平行；
（4）平行于同一直线的两直线平行；（平行的传递性）
（5）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；（线面平行的性质）
（6）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，所得交线平行；（面面平行的性质）
（7）垂直于同一平面的两直线平行；（线面垂直的性质）
线面平行的判断：
（1）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（2）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
A1
E
D1
C1
B1
D
C
B
A
例1、（三角形中位线定理）如图，在正方体中，是的中点，求证：
平面。
证明：
连接交于，连接，
∵为的中点，为的中点
∴为三角形的中位线∴
又在平面内，在平面外
∴平面。
例2、（证明是平行四边形）已知正方体，是底对角线的交点.求证：
C1O∥面；
证明：
（1）连结，设，连结
∵是正方体是平行四边形
∴A1C1∥AC且
又分别是的中点，∴O1C1∥AO且
是平行四边形面，面∴C1O∥面
3、面面平行的判断：
（1）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。
（2）垂直于同一条直线的两个平面平行。
例4、如图，在正方体中，、、分别是
、、的中点.求证：
平面∥平面.
证明：
∵、分别是、的中点，∥
又平面，平面∥平面
∵四边形为平行四边形，∥
又平面，平面∥平面，平面∥平面
练习：
A
F
P
D
C
B
1、（利用三角形中位线）如图,已知四棱锥的底面是菱形,平面,点为的中点.求证:
平面;
D
B
C
E
B1
C1
A
A1
2、（构造平行四边形）如图,在三棱柱中,每个侧面均为正方形,为底边的中点,为侧棱的中点，求证:
∥平面;
3、（线面平行的性质）如图，四面体A—BCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形.
C
A
B
E
H
F
G
D
求证：
CD∥平面EFGH.
（1）证明：
∵截面EFGH是一个矩形，
∴EF∥GH，又GHÌ平面BCD.
∴EF∥面BCD，而EFÌ面ACD，
面ACD∩面BCD=CD.
∴EF∥CD，∴CD∥平面EFGH.
4．（对应线段成比例，两直线平行，面面平行得到线面平行）如下图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PD上的点，且=，求证：
直线MN∥平面PBC。
分析：
要证直线MN∥平面PBC，只需证明MN∥平面PBC内的一条直线或MN所在的某个平面∥平面PBC
证法一：
过N作NR∥DC交PC于点R，连结RB，依题意得
====NR=MB
∵NR∥DC∥AB，∴四边形MNRB是平行四边形
∴MN∥RB.又∵RB平面PBC，∴直线MN∥平面PBC
证法二：
过N作NQ∥AD交PA于点Q，连结QM，
∵==，∴QM∥PB又NQ∥AD∥BC，∴平面MQN∥平面PBC∴直线MN∥平面PBC
（第1题图）
5、（中位线定理、平行四边形）如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E、F分别为棱AB、PD的中点．求证：
AF∥平面PCE；
分析：
取PC的中点G，连EG.，FG，则易证AEGF是平行四边形
6、（平行的传递性）已知正方体ABCD-A`B`C`D`中，E，F分别是A`B`，B`C`的中点。
求证：
EF∥面AD`C。
A
B
C
D
A`
B`
C`
D`
E
F
四、立体几何垂直总结
1、线线垂直的判断：
线面垂直的定义：
若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
补充：
一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。
2、线面垂直的判断：
（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
（4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。
3、面面垂直的判断：
一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
证明线线垂直的常用方法：
A
E
D
B
C
例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形中，，是的中点。
求证：
（1）平面CDE;
（2）平面平面。
证明：
（1）同理，
又∵∴平面
（2）由
（1）有平面
又∵平面，∴平面平面
例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥的底面是菱形．，为的中点．（Ⅰ）求证：
∥平面；（Ⅱ）求证：
平面平面．
例3、（线线、线面垂直相互转化）已知中,面,,求证：
面．
证明：
°
又面面
又面
图2
例4、（直径所对的圆周角为直角）如图2所示，已知垂直于圆O在平面，是圆O的直径，是圆O的圆周上异于、的任意一点，且，点是线段的中点.求证：
平面.
证明：
∵所在平面，是的弦，∴.
又∵是的直径，是直径所对的圆周角，∴.
∵平面，平面.
∴平面，平面，∴.
∵，点是线段的中点.∴.
∵,平面，平面.
∴平面.
例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.求证：
BD⊥平面AED；
证明 因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，
所以∠ADC＝∠BCD＝120°.
又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，
因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.
又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD⊂平面AED，
所以BD⊥平面AED.
例6、（勾股定理的逆定理）如图7－7－5所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．
求证：
（1）DE∥平面ABC；
（2）B1F⊥平面AEF.
例7、（三垂线定理）证明：
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D
证明：
连结AC
∴AC为A1C在平面AC上的射影
练习；
1、如图在三棱锥P—ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上.证明：
AP⊥BC；
2、直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.证明：
DC1⊥BC。
3．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.
（1）求证：
AB⊥DE；
（2）求三棱锥EABD的侧面积．
4、在正三棱柱中，若AB=2，，求点A到平面的距离。
5、如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA＝AD.
求证：
（1）CD⊥PD；
（2）EF⊥平面PCD.
五、直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：
x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
（2）直线的斜率
①定义：
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k表示。
即。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当（时，；当时，；当时，不存在。
②过两点的直线的斜率公式：
注意下面四点：
（1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；
（2）k与P1、P2的顺序无关；
（3）以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
（4）求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程
①点斜式：
直线斜率k，且过点
注意：
当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：
，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b
③两点式：
（）直线两点，
④截矩式：
其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。
⑤一般式：
（A，B不全为0）
注意：
1各式的适用范围
2特殊的方程如：
平行于x轴的直线：
（b为常数）；平行于y轴的直线：
（a为常数）；
（4）直线系方程：
即具有某一共同性质的直线
（一）平行直线系
平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：
（C为常数）
（二）过定点的直线系
（ⅰ）斜率为k的直线系：
，直线过定点；
（ⅱ）过两条直线，的交点的直线系方程为（为参数），其中直线不在直线系中。
（5）两直线平行与垂直
当，时，；
注意：
利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（6）两条直线的交点
相交
交点坐标即方程组的一组解。
方程组无解；方程组有无数解与重合
（7）两点间距离公式：
设是平面直角坐标系中的两个点，则
（8）点到直线距离公式：
一点到直线的距离
（9）两平行直线距离公式：
在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
六、圆的方程
1、圆的定义：
平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程
（1）标准方程，圆心，半径为r；
（2）一般方程
当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为
当时，表示一个点；当时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：
先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，
若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：
如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：
（1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；；
（2）设直线，圆，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有；；
注：
如果圆心的位置在原点，可使用公式去解直线与圆相切的问题，其中表示切点坐标，r表示半径。
（3）过圆上一点的切线方程：
①圆x2+y2=r2，圆上一点为（x0，y0），则过此点的切线方程为（课本命题）．
②圆（x-a）2+（y-b）2=r2，圆上一点为（x0，y0），则过此点的切线方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2（课本命题的推广）．
4、圆与圆的位置关系：
通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
设圆，
两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
当时两圆外离，此时有公切线四条；
当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
当时，两圆内含；当时，为同心圆。
直线与圆数学练习题
1．过点且垂直于直线的直线方程为（）
A．B．C．D．
2．已知过点和的直线与直线平行，
则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知点，则线段的垂直平分线的方程是（）
A．B．C．D．
4．两直线与平行，则它们之间的距离为（）
A． B． C． D．
5．若动点到点和直线的距离相等，则点的轨迹方程为（）
A．B．C．D．
6．已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）
A． B． C． D．
7．与直线平行，并且距离等于的直线方程是___
8．点到直线的距离是________________.
9．点在直线上，则的最小值是____________.
10．求经过直线的交点且平行于直线
的直线方程。
１．的圆心坐标与半径分别为（ ）
，，，，
２．圆心为且与直线相切的圆的方程为（ ）
３．圆的周长和面积分别为（）
４．若点在圆的内部,则实数的取值范围是（）
5．自点作圆的切线，则切线长为（ ）
6．圆上的点到直线的距离最大值是（）
ABCD
7．已知两圆方程为，则两圆的位置关系是
A内切B外切C相交D相离
8求直线被圆所截得的弦长
9已知两圆，
求
（1）它们的公共弦所在直线的方程；
（2）公共弦长
16
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